La mission Planck : fond diffus cosmologique, émission des poussières galactiques, détection bolométrique et architecture cryogénique
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Le sujet explore plusieurs aspects de la physique de la mission spatiale Planck, dédiée à la cartographie du fond diffus cosmologique (CMB). La première partie établit les grandeurs photométriques fondamentales (intensité spécifique, loi de Planck du corps noir) et étudie le refroidissement du CMB avec l'expansion de l'Univers, son anisotropie dipolaire due au mouvement de l'observateur et ses fluctuations primordiales. La deuxième partie modélise l'émission thermique des poussières interstellaires et son influence sur le rayonnement observé.
1Partie I : le fond diffus cosmologiqueDéfinir les grandeurs radiométriques (intensité spécifique, densités d'énergie et de flux), établir la loi de Planck et la loi de Stefan-Boltzmann par des arguments thermodynamiques, puis étudier le refroidissement du CMB avec l'expansion de l'Univers, son anisotropie dipolaire et ses fluctuations primordiales.
2Partie II : l'émission thermique des poussières de la GalaxieModéliser l'absorption et l'émission thermique de grains de poussière interstellaire, déterminer leur température d'équilibre sous le rayonnement d'une étoile, et évaluer leur contribution au rayonnement observé par Planck.
3Partie III : détection bolométriqueÉtudier la réponse thermique d'un bolomètre à un flux de rayonnement, la limite de résolution angulaire imposée par la diffraction du télescope, et la chaîne de mesure électrique par thermistance, pour évaluer la sensibilité de l'instrument HFI.
4Partie IV : architecture cryogéniqueÉtudier le principe de la détente de Joule-Thomson à l'aide de l'équation d'état de Van der Waals, le refroidissement par évaporation, puis le réfrigérateur à dilution hélium 3 - hélium 4 permettant d'atteindre les températures de fonctionnement des détecteurs.
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.
Le sujet comprend 18 pages numérotées de 1 à 18
La mission Planck
La mission spatiale Planck, menée par l'agence spatiale européenne ESA, et lancée de Kourou le 14 mai 2009, a observé le ciel dans le domaine des micro-ondes, entre 25 GHz et 1 THz , avec une sensibilité et une résolution angulaire sans précédent. Son objectif principal est de cartographier les fluctuations du fond diffus cosmologique (Cosmic Microwave Background, CMB), une émission de très faible amplitude quasiment isotrope, qu'on interprète comme étant le reliquat du Big Bang.
Ce problème s'intéresse à quelques-uns des aspects de la physique mise en jeu au cours de la mission Planck. La première partie traite de l'émission du fond diffus cosmologique. La deuxième partie aborde l'émission des poussières dans notre Galaxie, qui contribue au rayonnement observé par Planck. La troisième partie concerne le système de détection de l'un des instruments à bord de Planck. La quatrième et
dernière partie traite des systèmes de refroidissement permettant d'amener les détecteurs à des températures suffisamment basses pour leur assurer un fonctionnement optimal. Si la problématique est commune aux différentes parties du problème, celles-ci sont néanmoins très largement indépendantes.
Formulaire
Constantes fondamentales _–
Vitesse de la lumière dans le vide
c = 3 × 10^8 m s^(− 1)
Constante de Planck
h = 6.62 × 10^(− 34) J s^(− 1)
Constante de Boltzmann
k = 1.38 × 10^(− 23) J K^(− 1)
Constante de la gravitation
G = 6.67 × 10^(− 11) m^3 kg^(− 1) s^(− 2)
Constante des gaz parfaits
R = 8.31 J mol^(− 1) K^(− 1)
Valeurs numériques utiles _–
Rayon du Soleil
R_⊙ = 7 × 10^8 m
Masse du Soleil
M_⊙ = 2 × 10^(30) kg
Température de surface du Soleil
T_⊙ = 5778 K
Rayon de la Terre
R_T = 6.4 × 10^6 m
Masse de la Terre
M_T = 6 × 10^(24) kg
Distance moyenne Terre-Soleil
D_T = 1.5 × 10^(11) m
Distance du Soleil au centre Galactique
D_⊙ = 2.6 × 10^(20) m
Période orbitale du système solaire autour du centre Galactique
La grandeur photométrique fondamentale en astrophysique est l'intensité spécifique I_ν, qu'on définit en écrivant la quantité dE_ν d'énergie électromagnétique de fréquence ν à dν près qui traverse pendant un temps dt un élément de surface dA = dAn dans un cône d'angle solide dΩ autour d'une direction donnée par un vecteur unitaire u(θ, φ). On peut en effet écrire cette énergie sous la forme
dE_ν = I_ν u ⋅ dA dt dΩ dν = I_ν cosθdA dt dΩ dν,
ce qui définit I_ν. On se placera toujours dans le cas stationnaire, pour lequel I_ν est indépendante du temps t. En revanche, elle peut dépendre de la fréquence ν, de la position r et de la direction ( θ, φ ), où θ ∈ [0, π] et φ ∈ [0, 2π] sont les deux angles repérant la direction u(θ, φ), définis sur la figure ci-dessous.
On rappelle que l'angle solide élémentaire en coordonnées sphériques est donné par dΩ = sinθdθdφ.
La propriété fondamentale de l'intensité spécifique - qu'on ne cherchera pas à démontrer ici - est qu'elle se conserve en l'absence de processus altérant le rayonnement (absorption, émission, diffusion, ...). Partant de l'intensité spécifique, on définit ensuite la densité spectrale et volumique d'énergie u_ν, la densité spectrale de flux F_ν et la densité spectrale de pression de radiation p_ν par
les intégrales étant prises sur toutes les directions, soit 4π stéradians (sr) puisque
∫dΩ = ∫_0^π sinθdθ∫_0^(2π) dφ = 4π.
Q1. Quelles sont les unités de I_ν, u_ν et F_ν dans le système international (SI)?
Q2. Le rayonnement peut également être décrit en termes de particules, les photons. Chacun d'eux porte une énergie hν, où h est la constante de Planck et ν la fréquence. En écrivant dE_ν en fonction du nombre de photons par unité de volume dont la fréquence est ν à dν près et la direction de propagation est u(θ, φ) à dΩ près, quantité qu'on écrira N_ν(θ, φ)dνdΩ, montrer que I_ν = hνcN_ν.
Q3. On se place pour toute la suite du problème dans le cas d'un rayonnement isotrope, ce qui signifie que I_ν ne dépend pas de θ et φ. Relier alors I_ν à n_ν, nombre total de photons par intervalle de fréquence et par unité de volume.
Q4. Calculer u_ν et p_ν en fonction de I_ν. En définissant la densité volumique d'énergie du rayonnement u et la pression de radiation p comme les intégrales de u_ν et p_ν sur toutes les fréquences ν ⩾ 0, quelle relation existe-t-il entre p et u ?
Q5. Montrer que la densité spectrale de flux traversant la petite surface dA dans le sens du vecteur normal n est F_ν^+ = πI_ν. Que vaut la densité spectrale de flux F_ν^−traversant dA dans le sens opposé? Que vaut la densité spectrale de flux totale F_ν ?
Chaque source astrophysique peut être caractérisée par l'intensité spécifique du rayonnement qu'elle émet. En particulier, un corps noir est une source dont le rayonnement est en équilibre thermodynamique à une température T. Ce rayonnement est isotrope et son intensité spécifique est donnée par la loi de Planck:
Pour une source de rayonnement quelconque à la température T, on appelle émissivité ε_ν = I_ν/B_ν(T) le rapport de son intensité spécifique I_ν à celle du corps noir à la même température. L'émissivité dépend en général de la fréquence, souvent selon une loi de puissance, ε_ν = Λν^β où Λ et β sont des constantes positives. La seconde est appelée indice spectral. Dans les trois questions qui suivent, on considère ce modèle d'émissivité et on cherche à déterminer la fréquence ν_(m, β), dont on admet l'existence, pour laquelle l'intensité spécifique I_ν = ε_ν B_ν(T) est maximale.
Q6. Quelle équation doit vérifier x = hν/kT au maximum cherché ? On la mettra sous la forme e^x = f_β(x) en précisant la fonction f_β.
Q7. La solution de cette équation est très légèrement inférieure à 3 + β. En déduire, à l'aide d'un développement limité, que ν_(m, β) est approximativement donnée par
ν_(m, β) = (kT)/h(3 + β)[1 − e^(− (3 + β))]
Comment ν_(m, β) varie-t-elle qualitativement avec β ? Dans le cas du corps noir, soit (Λ, β) = (1, 0), calculer numériquement le rapport ν_(m, 0)/T, qu'on exprimera en GHzK^(− 1).
Q8. On définit le flux total F émis dans un demi-espace comme étant l'intégrale de F_ν^+sur toutes les fréquences ν ⩾ 0. Montrer que ce flux total s'écrit F = σ_(β, Λ)T^(4 + β) en exprimant la constante σ_(β, Λ) à l'aide de la fonction Q donnée dans le formulaire, des constantes fondamentales, et de Λ.
Q9. Pour un corps noir, la relation précédente constitue la loi de Stefan-Boltzmann. Calculer numériquement la constante de Stefan σ = σ_(0, 1).
Q10. En déduire la densité volumique d'énergie u du rayonnement d'un corps noir en fonction de c, σ, et de la température T. On s'appuiera notamment sur les résultats des questions Q4 et Q5.
Q11. Représenter graphiquement les courbes B_ν(T_1) et B_ν(T_2) en fonction de ν, pour deux températures T_1 et T_2 > T_1. On ne demande pas une étude complète de fonction, mais uniquement l'allure des courbes et leur placement l'une par rapport à l'autre.
Q12. Donner les expressions approchées de B_ν(T) aux basses fréquences ( hν≪kT, loi de Rayleigh-Jeans) puis aux hautes fréquences ( hν≫kT, loi de Wien).
On souhaite, par des raisonnements de thermodynamique classique, établir quelques résultats utiles pour le rayonnement du corps noir. Pour cela, on considère une enceinte de volume V, vide de toute matière, mais dans laquelle le rayonnement est à l'équilibre thermodynamique à la température T.
Q13. Quelle est la relation entre u et l'énergie interne U(T, V) du gaz de photons dans l'enceinte?
Q14. La quantité de chaleur élémentaire en variables T et V s'écrit δQ = C_v dT + l dV. En écrivant le premier principe de la thermodynamique, exprimer les coefficients calorimétriques C_v et l en fonction de u, T et V. On fera appel au résultat de Q4. En déduire, en utilisant le second principe, la variation infinitésimale de l'entropie S en fonction des mêmes quantités.
Q15. En utilisant le résultat de Q10 ainsi que le troisième principe de la thermodynamique, selon lequel S = 0 à température nulle, montrer que l'entropie du rayonnement dans l'enceinte s'écrit
S = (16σ)/(3c)VT^3.
Détectée pour la première fois en 1964 par Arno Penzias et Robert Wilson, l'émission du fond diffus cosmologique semble provenir de tout le ciel avec une intensité sensiblement isotrope, et son spectre en fréquence suit de manière remarquable celui d'un corps noir, dit corps noir cosmologique, comme l'ont montré les résultats de l'instrument FIRAS, à bord de la mission COBE, en 1992.
Q16. En admettant dans la suite que l'expansion de l'Univers, attestée observationnellement par la récession des galaxies (Hubble, 1929), puisse être modélisée par une détente adiabatique réversible de l'enceinte précédente, comment varie la température T du rayonnement fossile en fonction du volume V de l'Univers? À quel exposant de Laplace γ ceci correspond-il?
Q17. Les modèles actuels de l'expansion de l'Univers, dits Λ-CDM, donnent l'expression du facteur d'échelle (quantité sans dimension assimilable au "rayon" de l'Univers) sous la forme suivante
R(t) = [(sinh(bt/t_0))/(sinh(b))]^(2/3)
en fonction du temps t, où t_0 = 13.82 × 10^9 ans est l'âge actuel de l'Univers et b = 1.17584 est un paramètre dépendant de son contenu matériel. Sachant que lorsque le rayonnement fossile a été émis, à t_(LSS) = 3.8 × 10^5 ans, sa température était T_(LSS) = 3000 K, calculer sa température actuelle T_(CMB). Pour toute la suite du problème, on utilisera la valeur plus précise T_(CMB) = 2.725 K.
Q18. En déduire la fréquence d'émission maximum ν_(max) du CMB.
Q19. Les neuf bandes de fréquences choisies pour Planck sont centrées sur 30, 44, 70, 100, 143, 217, 353, 545 et 857 GHz . Commenter ce choix.
Le spectre d'émission du CMB n'est isotrope que pour un observateur fixe dans le référentiel lié à la source du CMB. Pour un observateur se déplacant à la vitesse v dans ce référentiel, deux effets de relativité restreinte doivent être pris en compte. D'une part, la fréquence ν_o du rayonnement observé est liée à celle ν_e du rayonnement émis par la relation de Doppler-Fizeau
(ν_o)/(ν_e) = (√(c^2 − v^2))/(c − vcosθ)
où θ est l'angle entre le vecteur v et la direction n d'observation, et v = ‖v‖. D'autre part, la densité de photons (définie à la question Q2) N_o reçus par l'observateur en mouvement est liée à celle N_e dans le référentiel du CMB par N_o = N_e(ν_o/ν_e)^2, relation qu'on ne cherchera pas à démontrer.
Q20. Montrer que l'intensité spécifique I_o(θ) du CMB observé dans la direction θ est celle d'un corps noir à une température T(θ) qu'on exprimera en fonction de T_(CMB), θ et du rapport v/c. On suggère d'appliquer la relation établie en Q2 à I_o(θ) et d'y faire apparaître l'intensité émise I_e = B_ν(T_(CMB)).
Q21. En supposant que v≪c, faire un développement limité de T(θ) au premier ordre en v/c. Justifier l'appellation de dipôle pour cette anisotropie du CMB.
Q22. Le satellite WMAP a mesuré l'amplitude crête-à-crête du dipôle et a trouvé ΔT_(dipole) = 6.692mK. En déduire la vitesse v du système solaire par rapport au référentiel du CMB.
Q23. Donner un ordre de grandeur de la vitesse de la Terre autour du Soleil, et de celle du système solaire dans son mouvement approximativement circulaire uniforme autour du centre Galactique.
Après correction de cet effet systématique, le rayonnement du fond diffus cosmologique n'est cependant pas parfaitement isotrope : il présente des fluctuations relatives de l'ordre de δT_(CMB)/T_(CMB) ∼ 10^(− 5). Ces fluctuations, dites primordiales, sont interprétées comme étant les graines à partir desquelles se sont formées les grandes structures de l'Univers.
Q24. Montrer que les variations relatives de B_ν correspondantes s'écrivent
où g est une fonction qu'on précisera. Faire l'application numérique pour ν = 143GHz.
II. L'émission thermique des poussières de la Galaxie
Le fond diffus cosmologique n'est pas la seule source de rayonnement aux fréquences observées par Planck. L'une des contributions majeures à l'émission observée est celle des poussières de notre propre Galaxie. Ces grains de poussière, dont la taille varie entre ∼ 1 nm (soit quelques atomes) et ∼ 0.3μ m, sont constitués essentiellement de matériaux carbonés ou silicatés, et sont souvent recouverts d'un manteau de glaces (d'eau ou d'autres espèces comme CO_2 ). Ils peuvent absorber les photons émis par les étoiles situées en arrière-plan, ce qui a pour effet de rendre "sombres" les nuages où ces poussières se concentrent. L'absorption des photons a également pour effet de porter ces grains à des températures T_d non nulles (typiquement 10 à 20 K dans le champ de rayonnement moyen de la Galaxie). Ainsi chauffés, les grains émettent un rayonnement infrarouge qui est l'objet de cette partie. Dans tout ce qui suit, on considèrera que les poussières sont des objets homogènes et sphériques de rayon a, tous identiques, et on ignorera la diffusion possible du rayonnement par les grains.
Q25. Lorsqu'un rayon lumineux traverse un milieu contenant n_d grains par unité de volume et qui n'émet pas par lui-même, la variation de son intensité spécifique I_ν sur une distance ds s'écrit dI_ν = − σ_ν n_d I_ν ds. La quantité σ_ν est appelée section efficace d'absorption. Quelle est sa dimension?
Q26. En supposant que le milieu traversé par le rayon lumineux est homogène, écrire l'intensité spécifique I_ν(s) à l'abscisse s en fonction de I_ν(0) et de l'épaisseur optique, définie par τ_ν(s) = σ_ν n_d s.
On note Q_ν = σ_ν/πa^2 et on appelle efficacité d'absorption le rapport de σ_ν à la section géométrique d'un grain de poussière. La loi de Kirchhoff, qu'on ne cherchera pas à démontrer, indique que Q_ν s'identifie à l'émissivité ε_ν des poussières, introduite dans la première partie. Les modèles microscopiques des poussières permettent de modéliser cette émissivité sous la forme ε_ν = ε_0 aν^β, à condition de se placer à des longueurs d'onde grandes devant la taille a des particules, c'est-à-dire typiquement λ ⩾ 100μ m. L'indice spectral β varie entre 1 et 2 suivant le type de poussières. Le préfacteur ε_0 dépend lui aussi du matériau, et vaut typiquement ε_0 ∼ 10^(− 21), dans les unités du système international (SI). On prendra cette valeur dans les applications numériques. Un grain de poussière porté à la température T_d émet ainsi un rayonnement thermique isotrope dont l'intensité spécifique est I_ν = ε_0 aν^β B_ν(T_d). Pour les applications numériques on prendra comme rayon a = 0.1μ m.
Q27. Justifier que le modèle ci-dessus pour l'émissivité des poussières est valable dans le domaine des fréquences observées par Planck.
Q28. Calculer numériquement la fréquence ν_(m, β) (voir la question Q7) pour laquelle l'intensité spécifique du rayonnement des poussières atteint son maximum, en supposant T_d = 17 K et β = 1 puis β = 2.
Q29. Montrer que la puissance rayonnée par un grain à la température T_d dans toutes les directions sortantes et dans la bande de fréquence [ν, ν + dν] s'écrit dP_e = 4π^2 a^3 ε_0 ν^β B_ν(T_d)dν.
Q30. En déduire que la puissance totale rayonnée par le grain s'écrit
Pour calculer la température T_d il est nécessaire de calculer le chauffage auquel sont soumis les grains. On considère ici le cas d'une étoile unique, de rayon R_⋆ et de température T_⋆, située à la distance d d'un grain de poussière de rayon a. On suppose cette étoile suffisamment chaude pour que le rayonnement émis se situe essentiellement dans les domaines visible et ultraviolet, entre λ = 10 nm et λ = 800 nm. Å ces longueurs d'onde, l'efficacité d'absorption des grains est sensiblement Q_ν = 1, hypothèse que l'on fera dans la suite.
Q31. Sachant qu'une étoile constitue un excellent corps noir, écrire la puissance totale qu'elle rayonne, en fonction de T_⋆ et R_⋆. Le résultat annoncé en Q8 et Q9 peut être utile.
Q32. Montrer que la puissance absorbée par le grain de poussière est alors P_a = πσT_⋆^4(aR_⋆/d)^2
Q33. En déduire que la température T_d à l'équilibre s'écrit sous la forme suivante
T_d = C_β[(T_⋆^4)/a((R_⋆)/d)^2]^(1/(4 + β))
où l'on exprimera la constante C_β en fonction de h, k, ε_0, β et de la fonction Q.
Q34. Faire l'application numérique pour un grain silicaté ( β = 2 ) de rayon a = 0.1μ m, situé à une distance d = 10D_T d'une étoile de type A0V ( T_⋆ = 9700 K et R_⋆ = 1.9R_⊙ ).
Q35. Quelle raison pouvez-vous avancer pour expliquer la différence entre la valeur de T_d trouvée à la question précédente et celles mentionnées en introduction de cette partie?
Q36. Pourquoi le raisonnement amenant au calcul de la température d'équilibre est-il fondamentalement faux dans le cas des agrégats de quelques atomes? On ignorera cette limitation dans la suite.
Avant de nous parvenir, le rayonnement du fond diffus cosmologique traverse les nuages de poussières de notre Galaxie. L'intensité observée en est modifiée, du fait de l'absorption d'une part (Q25 et Q26), mais également de l'émission propre des poussières. Pour modéliser cet effet, on considère un rayon issu du CMB traversant une couche d'épaisseur L, contenant n_d grains de poussière par unité de volume. On supposera ces grains tous identiques, de rayon a et de température T_d.
Q37. On considère une tranche d'épaisseur ds et de section dA perpendiculaire à la direction de propagation. Comment s'écrit la puissance émise par un grain contenu dans cette tranche entre les fréquences ν et ν + dν dans l'angle solide dΩ ? On s'appuiera sur le résultat de la question Q29.
Q38. En déduire que du fait de l'émission de l'ensemble des grains contenus dans la tranche d'épaisseur ds, l'intensité spécifique I_ν varie positivement le long de ds, d'une quantité dI_ν^+qu'on exprimera en fonction de σ_ν, B_ν(T_d), n_d et ds.
Q39. Montrer alors qu'en tenant compte à la fois de l'émission et de l'absorption l'intensité spécifique du rayonnement obéit à l'équation différentielle
(dI_ν)/(dτ_ν) = B_ν(T_d) − I_ν
où τ_ν est l'épaisseur optique définie à la question Q26.
Q40. Intégrer cette équation pour obtenir l'intensité en sortie du nuage en fonction de I_ν(0), B_ν(T_d) et τ_ν(L) = n_d σ_ν L. Que vaut I_ν(0) ici? Donner les comportements lorsque τ_ν(L)≫1 et τ_ν(L)≪1, cas limites appelés respectivement optiquement épais et optiquement mince. Dans ce second cas, on veillera à garder les termes d'ordre un en τ_ν(L).
Q41. L'épaisseur optique mesurée par Planck à 143 GHz vaut environ 2 × 10^(− 8) en dehors du plan Galactique, et jusqu'à 10^(− 3) en direction du centre Galactique. Calculer, pour ces deux valeurs, la contribution des poussières dans le rayonnement reçu, rapportée à l'intensité du CMB à cette même fréquence. On prendra T_d = 17 K.
Q42. Est-il nécessaire de soustraire l'émission des poussières de la Galaxie pour mesurer les fluctuations primordiales du CMB ? Justifier votre réponse.
III. Détection bolométrique
Les détecteurs utilisés sur l'instrument HFI (High-Frequency Instrument, fonctionnant entre 100 GHz et 857 GHz ) à bord de Planck sont des bolomètres. La figure ci-dessous en présente le principe de fonctionnement tel qu'étudié dans la suite. On fait l'hypothèse que la température T de l'élément absorbant est uniforme et que sa capacité calorifique C est indépendante de T. On suppose également que le fin barreau reliant l'élément absorbant au thermostat de température T_s est caractérisé par une conductance thermique G > 0 constante, dont on rappelle qu'elle est définie comme le rapport du flux de chaleur allant de l'élément absorbant au thermostat divisée par la différence de température entre les deux extrémités du barreau. Hormis via le barreau, l'élément absorbant est isolé thermiquement du reste du système. Enfin, on note P la puissance de la radiation incidente.
Dans les questions Q43 à Q53 on ignore provisoirement le rôle de la thermistance et du circuit associé.
Q43. Que vaut T en l'absence de rayonnement incident (P = 0) ? On se place dans ce cas pour t < 0.
Q44. On suppose qu'à l'instant t = 0, on impose brusquement un rayonnement de puissance P_0 constante. Écrire l'équation différentielle vérifiée par T, la résoudre et expliciter la température d'équilibre T_e et la constante de temps τ d'établissement du régime permanent en fonction de T_s, P_0, G et C.
Q45. Déterminer de même T(t) si l'on suppose que P = P_0 pour − ∞ < t < 0 et P = 0 pour t ⩾ 0.
On peut donc en principe mesurer la puissance lumineuse incidente via l'échauffement de l'absorbeur. Cependant, si P varie en fonction du temps, comme c'est le cas avec Planck puisqu'il scanne le ciel, il convient de s'assurer que le régime permanent est atteint suffisamment rapidement. On cherche donc à mettre une limite supérieure au temps de réponse acceptable pour que HFI satisfasse aux spécifications scientifiques.
Pour cela, on commence par préciser que l'observation du rayonnement d'une source ponctuelle lointaine par un télescope circulaire de diamètre D (voir la figure ci-après) peut être étudiée comme la diffraction d'une onde plane monochromatique par une ouverture circulaire de même diamètre. Cette diffraction conduit à une répartition angulaire de l'intensité du rayonnement qui s'écrit
I(θ) = I_0 J((πDνsinθ)/c) avec J(u) = 4[(J_1(u))/u]^2
où ν est la fréquence d'observation, I_0 est l'intensité du rayonnement, θ est l'angle par rapport à la direction pointée par le télescope, et J_1 est la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1. Sur la figure ci-dessous, l'image de droite représente cette fonction I(θ) en teintes de gris, θ étant alors représenté par la distance au centre de la tache de diffraction. Quelques valeurs de J sont données dans le formulaire en début d'énoncé.
Q46. Montrer que dans l'approximation des petits angles le diamètre angulaire ψ(ν) de la tache de diffraction, prise à mi-hauteur du pic central, s'écrit sous la forme
ψ(ν) = (bc)/(Dν)
où b est une constante numérique qu'on déterminera. Cette taille, appelée FWHM pour Full- Width at HalfMaximum, est une limite physique à la résolution angulaire de l'instrument. On supposera dans la suite que toute la puissance lumineuse est contenue dans cette tache de diffraction. Calculer numériquement ψ(ν) dans le cas du canal à 143 GHz de HFI, sachant que le miroir de Planck fait 1.5 m de diamètre.
Q47. En réalité, chaque canal laisse passer une bande de fréquences de largeur Δν égale à 30% de la fréquence centrale ν_0. Calculer numériquement la variation Δψ du diamètre angulaire sur l'étendue de la bande pour ν_0 = 143GHz. Dans la suite, on ignorera cet effet et on prendra ψ(ν) = ψ(ν_0).
Q48. Montrer que dans la limite ψ(ν)≪1 l'angle solide correspondant est Ω(ν) ≃ πψ(ν)^2/4.
Planck est placé au point de Lagrange L_2, situé sur l'axe Soleil-Terre et dans l'ombre de la Terre, comme indiqué sur la figure ci-après. Il est en rotation propre autour de cet axe avec une vitesse angulaire ω_s, et observe dans une direction perpendiculaire. Il scanne donc de grands cercles sur le ciel.
Q49. Le critère de Shannon impose de mesurer le signal avec un pas angulaire au plus égal à ψ(ν)/2. En déduire le temps de réponse maximum acceptable τ_(max) en fonction de ψ et ω_s. On considérera que pour chaque mesure, le régime permanent est atteint au bout de δt = 5τ.
Q50. Faire l'application numérique pour τ_(max) à 143 GHz , sachant que ω_s vaut un tour par minute.
Q51. Le satellite est constamment aligné sur l'axe Soleil-Terre. Calculer sa vitesse angulaire ω_P de révolution autour du Soleil.
Q52. À l'aide d'un schéma, montrer que pour maintenir le satellite dans la bonne position il est nécessaire d'appliquer périodiquement une correction angulaire δθ_P de sa direction de pointage. Déterminer la valeur de δθ_P permettant d'effectuer ces corrections le moins souvent possible tout en respectant le critère de Shannon. Quel est l'intervalle de temps δt_P entre deux corrections successives?
Q53. Calculer le temps nécessaire Δt_(survey) pour effectuer un relevé complet du ciel. Sachant que HFI a fonctionné de manière nominale de début août 2009 à fin janvier 2012, combien de relevés complets du ciel a-t-il effectué?
Pour mesurer la température T de l'élément absorbant, on lui accole une thermistance, composant semiconducteur dont la résistance R dépend fortement de la température. On fait l'hypothèse que celle-ci est égale à T. Pour mesurer la résistance R(T), on mesure la tension V aux bornes de la thermistance
lorsqu'elle est traversée par un courant constant i_0. On tient maintenant également compte du fait que la puissance du rayonnement reçu par le bolomètre comporte une partie constante et une partie variable de moyenne temporelle nulle, soit P(t) = P_0 + δP(t), avec ⟨δP⟩ = 0.
Q54. Montrer que l'équation différentielle de la question Q44 devient
τ(dT)/(dt) + T = T_e + 1/G[δP + R(T)i_0^2]
Écrire l'équation implicite donnant la température d'équilibre T_0 en l'absence de perturbations ( δP = 0 ).
Q55. La variation temporelle du rayonnement incident induit une variation de la température T, qu'on écrit donc sous la forme T = T_0 + δT(t). En supposant que l'on peut linéariser le comportement de R(T) au voisinage de T_0, montrer que le temps de réponse effectif est
τ_e = C/(G − R^′(T_0)i_0^2) avec R^′(T) = (dR)/(dT).
Q56. La résistance de mesure de la température est un composant semi-conducteur constitué de germanium dopé, dont on peut modéliser le comportement en température par la loi
R(T) = R_0 exp(√((T_g)/T))
avec R_0 = 11Ω et T_g = 18 K. Justifier que le comportement est stable, c'est-à-dire qu'en annulant la perturbation on revient à l'équilibre. Sachant que les bolomètres opèrent à T_0 = 0.1 K, calculer la résistance à cette température.
Q57. Montrer que l'amplitude des fluctuations de tension aux bornes de la thermistance lorsque le rayonnement varie sinusoïdalement avec une pulsation ω s'écrit
(δV)/(δP) = (S_0)/(√(1 + (ωτ_e)^2))
en précisant l'expression de S_0 en fonction de R^′(T_0), G et i_0. On pourra faire appel à une représentation en complexes.
Q58. Calculer numériquement τ_e et S_0 pour T_0 = 0.1 K et T_0 = 4 K, étant donné le courant i_0 = 1nA, la conductance G = 7.4 × 10^(− 11) W K^(− 1) et la capacité calorifique C = 10^(− 12) J K^(− 1).
Q59. On considère un rayonnement incident isotrope sur le miroir de Planck, d'intensité spécifique I_ν (voir la première partie pour la définition de cette quantité). Ce rayonnement passe par des filtres de transmission spectrale T(ν), avant d'atteindre le bolomètre où il est absorbé avec une probabilité η indépendante de la fréquence ν. Montrer que la puissance lumineuse P_0 absorbée par le bolomètre s'écrit
P_0 = η((πbc)/4)^2∫_0^∞(I_ν T(ν))/(ν^2) dν
Q60. On suppose la transmission spectrale de la forme
où ν_0 est la fréquence centrale de la bande et Δν sa largeur, et on fait l'hypothèse que l'intensité I_ν varie peu sur l'étendue de la bande. Simplifier l'expression de P_0 étant données ces hypothèses, et en admettant que le bolomètre absorbe toute la puissance incidente.
Q61. Calculer numériquement P_0 dans le cas du CMB , pour ν_0 = 143GHz et Δν = 43GHz.
Q62. La chaîne de détection en aval du bolomètre est capable de mesurer des variations de tension aux bornes de la thermistance de l'ordre de 10 nV . En déduire la sensibilité relative δP/P_0 accessible à T_0 = 0.1 K et T_0 = 4 K, en régime continu ( ω → 0 ).
Q63. Conclure quant à la capacité de Planck HFI de mesurer les fluctuations du fond diffus cosmologique.
IV. Architecture cryogénique
Pour atteindre la sensibilité requise, les détecteurs de Planck HFI doivent être refroidis à T_0 = 0.1 K. Ceci est réalisé grâce à une succession de systèmes de refroidissement. Cette partie du problème est consacrée à l'étude de deux des principes de fonctionnement de ces systèmes : le refroidissement Joule-Thomson d'une part et le refroidissement par dilution ^3 He − ^4 He d'autre part.
Pour présenter le principe du refroidissement Joule-Thomson, on considère un fluide s'écoulant dans un tuyau calorifugé de section S au travers d'un tampon poreux, comme indiqué sur le schéma ci-dessous. En amont du tampon, la pression du fluide est P_1, sa température T_1 et sa vitesse c_1. En aval, celles-ci prennent les valeurs P_2, T_2 et c_2. Cette transformation est une détente ( P_2 < P_1 ), ce qu'on ne demande pas de justifier. On suppose l'écoulement lent et on se place en régime permanent.
Q64. En considérant le passage d'une mole de fluide au travers du tampon poreux, montrer que cette détente se fait à enthalpie molaire h = H/n constante.
Q65. On admet que la chaleur δQ reçue par un volume molaire v = V/n du fluide (caractérisé par sa pression P et sa température T ) lors d'une transformation élémentaire peut s'écrire sous la forme
δQ = c_p dT − T((∂v)/(∂T))_P dP
où c_p = C_p/n est la capacité calorifique molaire à pression constante. Montrer que le coefficient de Joule-Thomson μ_(JT), défini comme dérivée partielle de T par rapport à P à h constante, s'écrit
Q66. Que vaut μ_(JT) dans le cas d'un gaz parfait?
On rappelle que l'équation d'état pour une mole d'un gaz de van der Waals s'écrit
(P + a/(v^2))(v − b) = RT
où a et b sont des coefficients qui dépendent du gaz considéré. La figure ci-après représente quelques isothermes d'un gaz de van der Waals, pour trois températures respectivement inférieure, égale, et supérieure à la température critique T_c. On rappelle que pour T > T_c les phases liquide et vapeur sont indistinguables. Sur les isothermes dans le plan ( v, P ), le point critique C est repéré comme étant le seul point d'inflexion à tangente horizontale.
Q67. Déterminer la pression P_c, la température T_c et le volume molaire v_c du point critique pour un gaz de van der Waals, en fonction de a, b et R.
Q68. Réécrire l'équation de van der Waals en utilisant les variables réduites P_r = P/P_c, v_r = v/v_c et T_r = T/T_c. Quel est l'intérêt de cette écriture?
Q69. Exprimer le coefficient de Joule-Thomson d'un gaz de van der Waals en fonction de v_r, T_r, b et c_p. Montrer que μ_(JT) s'annule pour
T_(r, i) = (27)/4(1 − 1/(3v_r))^2
appelée température réduite d'inversion.
Q70. En déduire la courbe d'inversion dans le plan ( P_r, T_r ), qu'on mettra sous une forme paramétrique, de paramètre v_r. Elle est représentée sur la figure ci-dessous.
Q71. À quelle condition la détente de Joule-Thomson aboutit-elle à un refroidissement?
Q72. À bord de Planck se trouvent deux réfrigérateurs Joule-Thomson, l'un à hydrogène, l'autre à hélium ^4 He. Sachant que T_c(H) = 33.20 K et T_c(^4 He) = 5.19 K, quelles sont les températures maximales autorisées en entrée de chacun de ces réfrigérateurs Joule-Thomson? Quelles températures minimales peut-on espérer atteindre en sortie?
Le dernier étage de refroidissement des détecteurs de Planck HFI est un réfrigérateur à dilution utilisant un mélange liquide ^3 He − ^4 He. Pour en comprendre le principe, il est utile de rappeler d'abord quelques résultats sur le refroidissement par évaporation. On considère donc un système fermé constitué d'un corps pur sous deux phases (liquide et vapeur) en équilibre. On ignore ici le fait que dans l'espace la stratification par la gravité est impossible, et on suppose donc que la phase vapeur se trouve au dessus de la phase liquide dans l'enceinte considérée.
Q73. Définir la chaleur latente molaire de vaporisation L_v(T) à partir des enthalpies molaire h_l et h_g des deux phases, puis des entropies molaires s_l et s_g.
Q74. Comment s'écrit la condition d'équilibre entre les deux phases, en termes de leurs enthalpies libres molaires respectives g_l et g_g ?
Q75. En déduire la formule de Clapeyron donnant la pression de vapeur saturante P_s(T) sous la forme
(dP_s)/(dT) = (L_v)/(T(v_g − v_l))
où v_g et v_l sont les volumes molaires de la phase vapeur et de la phase liquide, respectivement.
Q76. On note P_a = 1.013 bar la pression atmosphérique et T_a la température du corps pour laquelle P_s(T_a) = P_a. Dans le domaine des températures considérées, on peut faire l'hypothèse que la chaleur latente est indépendante de la température. Exprimer P_s(T) en fonction de R, L_v, P_a et T_a et tracer l'allure de cette courbe. On précisera avec soin les hypothèses faites.
Q77. On pompe lentement la vapeur au sommet de l'enceinte, la phase liquide étant en contact thermique avec un composant à refroidir, et tout le reste de l'enceinte étant calorifugé. Décrire l'évolution du système.
Q78. On admet qu'au cours de ce processus, le débit molaire n˙ ( enmols^(− 1) ) de la phase liquide vers la phase gazeuse est proportionnel à la pression de vapeur saturante P_s. Comment varie alors la puissance de refroidissement q˙_E(T), prise au composant à refroidir en contact thermique avec le réfrigérateur, en fonction de la température T ?
Q79. En pratique, on ne peut pas pomper en dessous de P_(min) = 1mbar. En déduire la température minimale T_(min) accessible, en fonction de L_v, R, T_a, P_a et P_(min).
Q80. Calculer T_(min) pour ^4 He(T_a = 4.22 K, L_v = 83 J mol^(− 1)) et ^3 He(T_a = 3.19 K, L_v = 26 J mol^(− 1)).
Pour retirer efficacement la chaleur à plus basse température, Planck HFI fait appel à un réfrigérateur à dilution utilisant un mélange liquide ^3 He − ^4 He. Lorsque T < T_λ ≃ 0.9 K, ce mélange se sépare en deux phases distinctes, l'une dite concentrée et l'autre dite diluée, pour lesquelles les fractions molaires respectives en ^3 He s'écrivent
où les a_i sont des constantes strictement positives. On donne a_0 = 0.85, a_1 = 0.56, a_2 = 0.066 et a_3 = 0.55 dans les unités du système international. On peut par ailleurs modéliser les capacités calorifiques molaires de l'hélium ^3 He dans ces deux phases sous la forme c_(3, c)(T) = b_c T et c_(3, d)(T) = b_d T, où b_c et b_d sont des constantes, avec b_d > b_c. L'hélium ^4 He est quant à lui superfluide aux températures considérées, de sorte que c_4(T) = 0.
Q81. Tracer l'allure de x_(3, c) et x_(3, d) dans le plan ( T, x_3 ). Indiquer la température T_λ sur ce diagramme. Calculer numériquement x_(3, c)(T_0) et x_(3, d)(T_0) à la température de fonctionnement du système T_0 = 0.1 K. Quelles sont les limites de x_(3, c) et x_(3, d) pour T → 0 ? On assimilera les valeurs à T_0 à ces limites.
Q82. Exprimer l'enthalpie molaire h_(3, c) de ^3 He dans la phase concentrée, en fonction de b_c, T et de h_(3, c)(0). On supposera qu'on peut ignorer les variations de pression.
Q83. Exprimer de même les entropies molaires de ^3 He dans les deux phases, notées s_(3, c) et s_(3, d), en fonction de b_c, b_d et T. On prendra les entropies nulles à T = 0.
Q84. Écrire la condition d'équilibre entre les deux phases, et en déduire que l'enthalpie molaire h_(3, d) de ^3 He dans la phase diluée s'écrit
h_(3, d)(T) = h_(3, c)(0) + (b_d − (b_c)/2)T^2.
Q85. Comme dans le réfrigérateur à évaporation, on construit le réfrigérateur à dilution de manière à éliminer constamment l'hélium ^3 He qui passe de la phase concentrée à la phase diluée. En déduire la puissance de refroidissement associée q˙_D(T) en fonction de b_c, b_d, T et du débit molaire n˙_3 de l'hélium ^3 He passant dans la phase diluée.
Q86. Calculer numériquement q˙_D(T_0) pour T_0 = 0.1 K et n˙_3 = 7μ mol s^(− 1). On donne b_c = 22 J mol^(− 1) K^(− 2) et b_d = 106 J mol^(− 1) K^(− 2). Conclure, sachant qu'à cette température et pour ce débit molaire, la puissance de refroidissement par évaporation, qu'il s'agisse d'hélium ^3 He ou d'hélium ^4 He, est q˙_E(T_0)≪1μ W.
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de physique C des ENS PC 2014 ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet de physique C des ENS PC 2014 ?
+
Il porte sur le rayonnement du corps noir et la thermodynamique du rayonnement, le transfert radiatif, la diffraction, la réponse d'un capteur thermique (bolomètre) et la thermodynamique des changements d'état (Joule-Thomson, réfrigération à dilution).
Les quatre parties de ce sujet sont-elles indépendantes ?
+
L'énoncé précise que si la problématique est commune aux différentes parties, celles-ci sont néanmoins très largement indépendantes.
Ce sujet permet-il de comprendre le fonctionnement d'un bolomètre ?
+
Oui, la partie III étudie en détail la réponse thermique et électrique d'un bolomètre, du chauffage par le rayonnement incident jusqu'à la mesure de tension aux bornes d'une thermistance.
Ce sujet aborde-t-il la thermodynamique des basses températures ?
+
Oui, la partie IV étudie les techniques de refroidissement cryogénique utilisées à bord de Planck : détente de Joule-Thomson et réfrigération par dilution d'un mélange hélium 3 - hélium 4.
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