ENS Physique C PC 2016Sujet et corrigé

(Durée : 6 heures)

L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Le sujet comprend 19 pages numérotées de 1 à 19
Dans le cas où un(e) candidat(e) repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il (elle) le signale lisiblement sur sa copie, propose la correction et poursuit l'épreuve en conséquence.

Au début du 19^(ième) siècle, les prises d'images de mouvements mécaniques étaient réalisées à l'aide de dispositifs photographiques, dont les temps d'expositions étaient contrôlés par des obturateurs mécaniques. Ces derniers permettaient de "figer" un mouvement avec des durées d'exposition minimales de typiquement 1 ms . Tout mouvement s'effectuant sur des échelles de temps inférieures donne alors une image floue.

Afin de réaliser des prises de vue de mouvements rapides, un changement de paradigme a été proposé durant les années 1940 par Harold Eugene Edgerton, professeur de génie électrique au MIT. Plutôt que de développer des capteurs plus rapides avec un objet éclairé continûment, il proposa la technique de photographie stroboscopique. Le principe consiste alors à utiliser un capteur lent, mais d'éclairer l'objet avec un flash lumineux. Ainsi, malgré la lenteur du détecteur, la durée d'exposition est limitée désormais par la durée du flash lumineux, soit typiquement 1μ s. Cette technique a permis de produire les premières images de phénomènes mécaniques rapides, comme par exemple l'impact d'une balle dans une pomme, réalisée avec un flash de 0.3μ s (MIT Museum Collections, Bullet through apple (1964)).
Le dévelopement récent des technologies laser a permis de produire des impulsions lumineuses dites "ultracourtes" offrant alors la possibilité, de façon similaire à H. E. Edgerton, d'étudier la dynamique moléculaire ultrarapide à l'échelle microscopique. Le prix Nobel de Chimie a été attribué en 1999 au professeur Ahmed H. Zewail (California Institute of Technology) pour avoir montré qu'il est possible ainsi d'observer le mouvement des atomes d'une molécule au cours des réactions chimiques à l'aide de telles sources lumineuses.
L'objet de ce problème est d'étudier différents systèmes physiques permettant de produire des impulsions ultracourtes, et les contraintes liées à leur manipulation.

Ce sujet est constitué de trois parties indépendantes. Chacune est divisée en sous-parties elles-mêmes largement indépendantes les unes des autres.

Vitesse de la lumière dans le vide

Constante de Planck

Constante d'Avogadro

Charge de l'électron

Masse de l'électron

Permittivité du vide

On adopte la notation complexe G(t) pour toute grandeur G(t) réelle dépendant du temps selon

Formule du double produit vectoriel pour (u⃗, v⃗, w⃗) ∈ (ℝ^3)^3

Pour A⃗ un champ de vecteur quelconque,

Intégrales diverses
Pour a ∈ ℂ tel que Re(a) > 0, b ∈ ℝ et n ∈ ℕ,

La fonction erreur, notée erf( x ), est définie selon

et on a la propriété suivante

Représentation graphique de la fonction erreur.
Equation différentielle du première ordre avec second membre - méthode de la variation de la constante _–
On considère l'équation différentielle (1) sur la fonction réelle y définie sur ℝ, de variable réelle x selon

où a et b sont deux fonctions réelles. Soit A une primitive de a et (x_0, y_0) ∈ ℝ^2. Il existe une solution unique y de l'équation (1) telle que y(x_0) = y_0; elle est définie selon

Dans cette section, on considère le mouvement relatif de deux atomes d'une molécule diatomique. On adopte une description phénoménologique du potentiel d'interaction V(r⃗) entre ces deux atomes. Soit r⃗ le vecteur position relative des deux atomes, de masse réduite notée μ. Une modélisation courante de la liaison covalente est constituée par le potentiel dit de Morse selon la loi suivante

où D et a sont deux constantes réelles positives, et r = ‖r⃗‖.
Q1. Déterminer la position d'équilibre r_(éq) de la liaison.
On considère les petits mouvements autour de la position d'équilibre ( r = r_(éq) + ε, ε≪r_(éq) ).
Q2. Développer le potentiel V(r⃗) à l'ordre 2 en ε, et montrer que la force résultante est équivalente à un ressort de raideur k, dont on donnera l'expression. En déduire la fréquence angulaire ω_0 d'oscillation correspondante.

Q3. Tracer le potentiel de Morse et le potentiel harmonique approché en unité de D. Donner une interprétation physique de D.

En mécanique quantique, le confinement d'une particule résulte en une quantification des niveaux énergétiques accessibles. La liaison chimique correspondant au confinement de la particule fictive du problème à deux corps associé, l'énergie de vibration de la liaison est donc quantifiée. Dans le cas du potentiel de Morse, les valeurs propres de l'énergie sont associées à un nombre quantique noté v selon

où ω_0 est la fréquence angulaire calculée dans la question précédente. Dans le cas d'un oscillateur harmonique, la quantification des énergies de vibration à la pulsation ω_0 s'exprime uniquement par le premier terme

Le second terme est alors un facteur correctif tenant compte des anharmonicités du potentiel.
On note Δ_v = E_(v + 1) − E_v, l'écart énergétique entre deux niveaux énergétiques vibrationnels successifs, et E_(v_1 → v_2) l'énergie associée à la transition d'un niveau v_1 vers un niveau v_2.
Q4. Expliciter E_(v_1 → v_2) pour le potentiel de Morse et en déduire Δ_v dans le cas d'un potentiel harmonique, et dans le cas d'un potentiel de Morse. Commenter le comportement de l'écart énergétique avec v dans les deux cas.

Les techniques de spectroscopie moderne permettent d'accéder aux fréquences des transitions entre les différents niveaux énergétiques.

Q5. Exprimer, sans approximation, D et ℏω_0 en fonction de E_(0 → 1) et E_(0 → 2).
En spectroscopie, on exprime usuellement les valeurs des transitions en nombre d'onde σ = 1/λ, où λ est la longueur d'onde associée. On note σ_(v_1 → v_2) le nombre d'onde associé à la transition d'un niveau v_1 vers un niveau v_2. Pour la molécule HCl , on mesure σ_(0 → 1) = 2870 cm^(− 1), et σ_(0 → 2) = 5638 cm^(− 1).

Q6. Rappeler la relation entre la longueur d'onde λ et l'énergie E d'une transition donnée. Calculer les valeurs λ_(0 → 1)^– et λ_(0 → 2) associées à respectivement E_(0 → 1) et E_(0 → 2).

Q7. Calculer D et f_0 = ω_0/2π dans le cas de la molécule de HCl . En déduire les ordres de grandeurs typiques d'énergie et de temps mis en jeu dans les mouvements de vibrations atomiques au sein d'une molécule.

Une protéine est une macromolécule composée d'un assemblage d'acides aminés en chaîne, liés les uns aux autres par une liaison covalente dite peptidique. Lorsque la chaîne peptidique est suffisamment longue, les interactions internes à la molécule par liaisons hydrogènes donnent une conformation tridimensionnelle à la chaîne que l'on appelle structure ternaire. Les structures locales les plus courantes sont des structures en forme d'hélice (appelées hélices- α ) et des structures en feuillets (appelées feuillets- β ). Ces structures en hélices et en feuillets interagissent entre elles, toujours par liaisons hydrogènes, pour donner la structure tridimensionnelle finale à la protéine, appelée structure quaternaire.
La structure quaternaire d'une protéine joue un rôle fondamental dans sa fonctionnalité biologique, et donc les interactions entre feuillets β et hélices α sont de première importance. Dans cette section, nous nous proposons d'étudier dans le cadre d'un modèle simple la dynamique de vibration d'une protéine afin d'en exhiber les échelles de temps et les énergies caractéristiques.
On considère une classe de protéines formées uniquement de feuillets β, en conformation "baril" : elle est formée de μ feuillets β répartis sur un cercle de rayon constant (voir Fig. 4.a)). Entre deux feuillets (supposés identiques, de masse m_β ), on note λ le nombre de liaisons hydrogènes ( λ ∈ ℕ^∗ ). On modélise chaque liaison

hydrogène par un ressort de raideur k (voir Fig. 3). On néglige la dynamique selon u⃗_z, et on assimile ainsi chaque feuillet à un point matériel ponctuel de masse m_β, se déplaçant dans le plan Oxy. Chaque feuillet est lié élastiquement à ses deux plus proches voisins par un ressort de raideur K = λk (voir Fig. 4.b)). Les feuillets sont équirépartis sur un cercle de centre O. On associe l'indice j à toutes les grandeurs physiques du j^(ieme) feuillet, ainsi qu'une base orthonormée locale ( u⃗_j, v⃗_j ). Par convention, le feuillet j = 1 est celui situé sur l'axe des x, avec une abscisse positive. On note θ = (2π)/μ, que l'on suppose suffisamment faible pour approximer cosθ ≈ 1. On note d⃗_j(t) le déplacement instantané du feuillet m_j par rapport à sa position d'équilibre.
Q8. Montrer que l'interaction de λ liaisons hydrogènes est équivalente à un ressort unique de raideur K = λk.
Q9. Établir l'équation vectorielle du mouvement du déplacement d⃗_j(t) en fonction de m_β, K et des d⃗_i(t).
On cherche des solutions orthoradiales, de la forme d⃗_j(t) = ζ_j(t)v⃗_j.
Q10. En déduire l'équation régissant ζ_j(t).
On cherche les modes propres solutions du système, c'est-à-dire les solutions oscillantes de la forme

Q11. Déterminer le système linéaire de μ équations vérifié par les {z_j}. À quelle condition ce système possède-t-il une solution non triviale? Combien, au maximum, de pulsations ω peuvent satisfaire ces conditions?

On propose de tester une famille de p solutions (appelées modes) de la forme

Q12. Établir une relation entre φ_p et ω_p, la pulsation du mode p considéré.
Q13. En exploitant la symétrie de révolution du système selon l'axe z, expliciter φ_p et confirmer le nombre de modes obtenus en Q11.

Q14. En déduire l'expression de ω_p, ainsi que ω_(min) et ω_(max), les fréquences angulaires minimale et maximale associées à la dynamique du système. On exprimera ces grandeurs en fonction des paramètres k, λ, μ, m_β.

L'immunoglobuline G est le principal type d'anticorps trouvé dans le sang et dans le liquide interstitiel. Il permet de contrôler les infections des tissus du corps. Il se lie à divers types de pathogènes afin de protéger le corps

contre ces derniers, par différents mécanismes immunitaires. L'immunoglobuline G est une protéine sécrétée par les plasmocytes, issus des lymphocytes B plasmatiques. La concanavaline A est une glycoprotéine de la famille des lectines. Elle est aussi appelée hémaglutinine, en raison de sa capacité à précipiter les érythrocytes. La concanavaline A interagit avec divers récepteurs contenant des carbohydrates à mannose. Elle est produite par le haricot sabre (Canavalia ensiformis) où elle s'accumule dans le fruit.
Ces deux protéines ne possédent pas de structure en hélice α, mais contiennent de nombreux feuillets β dont la conformation est de type baril. Cependant, les différents feuillets ne sont pas strictement identiques. Une approximation pour tenir compte de cette irrégularité de structure consiste à effectuer la substitution suivante

où Λ est le nombre total de liaisons hydrogène et M la masse totale de la structure en feuillet β considérée. On donne les valeurs numériques correspondant à ces deux protéines dans la table 5 . On donne également la constante de raideur élastique d'une liaison hydrogène dans un feuillet β, k ≈ 13 N ⋅ m^(− 1).

Q15. Application numérique : calculer la fréquence du mode de vibration le plus lent, et en déduire l'échelle de temps caractéristique du mouvement conformationnel de la structure quaternaire d'une protéine. Les techniques de spectroscopie montrent une raie d'absorption large à 28 cm^(− 1) pour l'immunoglobuline G et à 20 cm^(− 1) pour la concanavaline A. Commenter.

Dans cette section, on s'intéresse à l'interaction entre une impulsion femtoseconde et une surface métallique ou semiconductrice. On modélise le métal comme une maille cristalline fixe, constituée d'ions positifs immobiles, et d'un gaz d'électrons libres.

Q16. Connaissez-vous des applications des lasers à impulsions? On répondra succinctement.

On adopte le modèle de Drude de la description d'un métal : un électron de vitesse v⃗ est soumis à une force de frottement visqueuse − (m_e)/τv⃗ traduisant l'interaction avec la maille cristalline. On considère que cet électron est soumis à un champ électrique extérieur de pulsation ω, d'amplitude complexe E→(r⃗, t) = E→_0(r⃗)e^(− iωt). On note n la densité d'électrons libres du métal considéré.
Q17. Montrer que le vecteur densité de courant vérifie une loi d'Ohm généralisée j⃗ = σ(ω)E→, où σ(ω) est une conductivité complexe que l'on explicitera.
Q18. Justifier que la densité de charge complexe ρ est nulle.
Q19. Montrer que l'équation de propagation dans le métal s'exprime sous la forme

où l'on explicitera ε_r(ω) en fonction de τ, ω et ω_p la fréquence plasma du métal définie selon

Q20. Évaluer τ et ω_p pour le cuivre. Le cuivre permet-il de faire des bons miroirs d'ondes térahertz? d'ondes optiques dans le domaine visible? d'ondes ultraviolettes lointaines (que l'on rencontrera dans les impulsions ultracourtes dites "attosecondes") ? Discuter brièvement du cas des autres métaux comme l'or ou l'aluminium. On argumentera en tenant compte des résultats de la question précédente, ainsi que des propriétés optiques des métaux données en début de sujet.

Un matériau semi-conducteur est un matériau dans lequel chaque électron est lié à un ion de la maille cristalline. Du fait de l'agitation thermique, une faible proportion d'atomes est excitée avec une énergie suffisante pour être ionisés. L'électron issu de cette ionisation peut se déplacer librement dans la maille cristalline, comme dans un métal : on parle de porteur de charge libre. L'interaction avec les autres électrons et la maille cristalline se modélise par une modification de la masse de ces électrons, que l'on note désormais m_(e1)^∗, appelée masse effective. Les ions positifs correspondant à ces électrons devenus libres portent une charge positive. Cette dernière peut se propager de proche en proche par transfert d'électrons liés. On modélise cette "lacune" électronique comme une particule appelée "trou", de charge + e et de masse effective m_(trou)^∗.
La dynamique des électrons et des trous est décrite par un modèle de Drude. Sous l'action d'un champ électrique, chaque électron (resp. trou) est soumis à une force de frottement fluide de la forme − (m_(el)^∗ v⃗_(el))/(τ_(el)) (resp. − (m_(trou)^∗ v⃗_(trou))/(τ_(trou)) ), où v⃗_(el) (resp. v⃗_(trou) ) est la vitesse d'un électron (resp. d'un trou).
On se place dans un régime avec une constante de temps caractéristique du champ électrique notée τ_0.
Q21. Dans la limite où τ_0≫τ_(el), τ_(trou), montrer que le vecteur densité de courant j⃗ peut se mettre sous la forme

où n_(el) (resp. n_(trou) ) est la densité volumique d'électrons (resp. de trous), et μ_(el) (resp. μ_(el) ) est appelé mobilité des électrons (resp. des trous). Dans le cas de l'arséniure de gallium GaAs, à partir des données proposées en début de sujet, justifier que l'on puisse négliger la contribution des trous dans une première approche.

Dans la suite, nous considérerons donc uniquement la contribution des électrons. On considère l'interaction entre une impulsion ultracourte femtoseconde, de longueur d'onde centrale λ_0 = 800 nm, de durée δ = 100fs et un cristal de GaAs. La géométrie considérée est schématisée Fig. 5. L'impulsion se propage selon l'axe Oz, en incidence normale sur un demi-espace ( z > 0 ) constitué de GaAs. L'origine des temps est telle que l'intensité surfacique incidente sur le semi-conducteur est

où F_0 est la fluence de l'impulsion.
Le semi-conducteur est muni d'une paire d'électrodes, auxquelles il est possible d'appliquer une différence de potentiel V_b. Ces électrodes permettent de polariser le milieu semi-conducteur par un champ électrique statique E⃗_b. Dans le cas d'un semi-conducteur, une onde lumineuse peut ioniser le matériau et augmenter ainsi le nombre d'électrons et de trous dans le matériau. Ces derniers étant générés simultanément, on parle de paire électron-trou. Dans une description corpusculaire, un photon de fréquence v pourra être absorbé et créer une paire électron-trou si son énergie est supérieure à une énergie de bande interdite E_g, c'est-à-dire l'énergie d'ionisation d'un atome de la maille.
On note R le coefficient de réflexion optique en intensité à l'interface Air-GaAs, et α le coefficient d'absorption linéique optique à λ_0 = 800 nm défini selon

Soit une tranche de GaAs de section Σ, d'épaisseur dz, soumis à une onde optique de fréquence v (telle que hv > E_g ) et d'intensité surfacique I; alors le nombre de paires électron-trou photogénérées d^2 N(z, t) pendant dt est

Après avoir été formés, les électrons et les trous peuvent se recombiner dans le matériau, à un taux de recombinaison constant défini selon

où τ_c est le temps de recombinaison des porteurs.
Q22. À partir d'un bilan local, établir l'équation d'évolution de la densité volumique d'électrons n_(el)(z, t).
Q23. En utilisant la méthode de la variation de la constante donnée en début de sujet (voir équation (2) dans le formulaire), montrer que la densité électronique au cours du temps d'exprime ainsi

Q24. Dans la suite, on se place dans la limite où δ≪τ_c. Simplifier n_(el)(z, t) et tracer son allure en fonction de t.
Ces charges sont accélérées par un champ uniforme et statique E⃗_b = E_b u⃗_x, généré par les électrodes mentionnées précédemment (voir Fig. 5). On admet qu'un champ est rayonné par ce mouvement de charge, polarisé selon u⃗_x dans cette géométrie, et que l'amplitude E⃗_(ray) de ce champ rayonné est proportionnel à la dérivée temporelle du courant électronique

dans les régions de l'espace situées à une distance r≫λ_(ray) de l'interface excitée, où λ_(ray) est la longueur d'onde caractéristique du rayonnement dans le vide.

Q25. Tracer l'allure du profil temporel du champ électrique rayonné (en valeur algébrique), et estimer l'échelle de temps caractéristique du rayonnement émis. Conclure quant à la production d'impulsions térahertz.
Q26. Donner un ordre de grandeur de la longueur d'onde associée au rayonnement émis et comparer sa valeur à la profondeur de pénétration optique de l'impulsion femtoseconde excitatrice dans GaAs.

On s'intéresse désormais à l'écrantage du champ électrique de polarisation par le champ généré et son influence sur l'amplitude du champ rayonné. On note E⃗_(r, int)(t) = E_(r, int)(t)u⃗_x et B⃗_(r, int)(t) = B_(r, int)(t)u⃗_y les champs électrique et magnétique rayonnés au niveau de l'interface à l'intérieur du semiconducteur, se propageant vers les z > 0, et E⃗_(r, out)(t) = E_(r, out)(t)u⃗_x et B⃗_(r, out)(t) = B_(r, out)(t)u⃗_y les champs électrique et magnétique rayonnés au niveau de l'interface à l'extérieur du semiconducteur, se propageant vers les z < 0.
On rappelle qu'à l'interface Air-GaAs le champ électrique est continu, soit