Feuille d'entraînement : Cinématique des fluides

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2022, Q48

   On repère le point M dans le fluide par ses coordonnées cylindriques (r, \theta, z) d'axe (Oz) :

   • Invariance temporelle : le système est en régime stationnaire, ce qui implique que le champ des vitesses ne dépend pas du temps :

     \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = \vec{0}

   • Invariance par translation axiale : les cylindres sont suffisamment longs selon l'axe (Oz) pour négliger les effets de bord. Le système physique est invariant par toute translation de vecteur h\,\vec{u}_z le long de l'axe (Oz), d'où :

     \frac{\partial \vec{v}}{\partial z} = \vec{0}

   • Invariance par rotation : la géométrie du dispositif présente une symétrie de révolution autour de l'axe (Oz), et les conditions aux limites imposées par la mise en rotation des cylindres à vitesses angulaires constantes \omega_1 et \omega_2 sont indépendantes de l'angle \theta. Le système est donc invariant par toute rotation d'angle \theta quelconque autour de (Oz) :

     \frac{\partial \vec{v}}{\partial \theta} = \vec{0}

   Par conséquent, la vitesse \vec{v} du fluide en un point M ne dépend que de la coordonnée radiale r :

   \boxed{\vec{v} = \vec{v}(r)}

   Résultat

   $$\vec{v}=\vec{v}(r)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique-Chimie TSI 2025, Q15

   L'eau est modélisée comme un fluide incompressible (\rho = \mathrm{cte}) et l'écoulement est supposé permanent (stationnaire). La conservation de la masse impose alors la conservation du débit volumique D_V à travers toute section droite de la conduite.

   La vitesse de l'écoulement étant de plus supposée uniforme sur la section S des tuyaux, le débit volumique s'écrit :

   D_V = v \cdot S

   D'après l'énoncé, la section droite utile est identique au point D et au point F :

   S_D = S_F = S = 5{,}0 \cdot 10^{-3}\text{ m}^2

   Par conséquent :

   v_D = \frac{D_V}{S_D} = \frac{D_V}{S_F} = v_F

   \boxed{v_D = v_F}

   Résultat

   $$v_D=v_F$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique-Chimie TSI 2025, Q16

   Le débit volumique s'exprime dans le système international par :

   D_V = 3,6 \cdot 10^4 \text{ L}\cdot\text{h}^{-1} = \frac{3,6 \cdot 10^4 \cdot 10^{-3} \text{ m}^3}{3600 \text{ s}} = \frac{36}{3600} \text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} = 1,0 \cdot 10^{-2} \text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}

   L'écoulement étant incompressible et la vitesse uniforme sur la section S au point de refoulement G, le débit volumique s'écrit :

   D_V = S \cdot v_G \implies v_G = \frac{D_V}{S}

   En effectuant l'application numérique :

   v_G = \frac{1,0 \cdot 10^{-2} \text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}}{5,0 \cdot 10^{-3} \text{ m}^2} = 2,0 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

   \boxed{v_G = 2,0 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

   Résultat

   $$v_G=2,0\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2024, Q3

   L'eau étant un fluide incompressible en écoulement stationnaire dans une conduite de section droite constante S, le débit volumique Q_V est relié à la vitesse moyenne d'écoulement v par :

   Q_V = v \, S = v \, \frac{\pi D^2}{4}

   où D = D_a = D_r = 0,20\text{ m} est le diamètre commun aux conduites d'aspiration et de refoulement.

   On en déduit l'expression de la vitesse de l'eau :

   v = \frac{4 Q_V}{\pi D^2}

   Application numérique avec Q_V = 40\text{ m}^3\cdot\text{h}^{-1} = \frac{40}{3600}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} \approx 1,11 \times 10^{-2}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} et D = 0,20\text{ m} :

   \begin{aligned} v &= \frac{4 \times \frac{40}{3600}}{\pi \times (0,20)^2} = \frac{1}{0,90 \, \pi} \approx 0,35\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}

   \boxed{v = 0,35\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

   Résultat

   $$v=0,35\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2023, Q3

   L'eau est modélisée comme un fluide incompressible (\rho = \text{cste}) et l'écoulement est stationnaire (ou permanent).

   En vertu de l'équation de continuité, le débit volumique Q est conservé le long de la conduite :

   Q(E) = Q(S) = Q

   En supposant l'écoulement unidimensionnel de vitesse uniforme sur chaque section droite de la conduite, le débit volumique s'exprime par :

   Q = \Sigma_E \, v_E = \Sigma_S \, v_S

   La conduite possédant une section droite constante \Sigma_E = \Sigma_S = \Sigma, on obtient directement :

   \boxed{v_E = v_S = \frac{Q}{\Sigma}}

   Résultat

   $$v_E=v_S=\frac{Q}{\Sigma }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2023, Q5

   La puissance mécanique P_{\text{meca}} fournie par la pompe au fluide s'exprime comme le produit du débit massique D_m par le travail massique w_i déterminé à la question Q4 :

   P_{\text{meca}} = D_m w_i

   Le débit massique de l'eau s'écrit en fonction du débit volumique Q :

   D_m = \rho_{\text{eau}} Q

   On en déduit l'expression littérale de la puissance mécanique :

   \boxed{P_{\text{meca}} = \rho_{\text{eau}} Q w_i = Q \left( P_S - P_0 + \rho_{\text{eau}} g h \right)}

   Application numérique :

   \begin{aligned} D_m &= 1000 \text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} \times 1{,}0 \times 10^{-3}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} = 1{,}0\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} \\ P_{\text{meca}} &= 1{,}0\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} \times 344\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1} = 344\text{ W} \end{aligned}

   En ne conservant que deux chiffres significatifs :

   \boxed{P_{\text{meca}} = 3{,}4 \times 10^2\text{ W}}

   Résultat

   $$P_{\text{meca}}={\rho }_{\text{eau}}Q{w}_i=Q\left(P_S-P_0+{\rho }_{\text{eau}}gh\right)$$

   $$P_{\text{meca}}=3,4\times 10^2\text{ W}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2022, Q43

   Le débit volumique cardiaque D_v représente le volume total de sang éjecté par le cœur par unité de temps. La fréquence cardiaque f correspondant au nombre de battements par cette même unité de temps, le volume d'éjection systolique V à chaque battement s'exprime par :

   D_v = f \times V \iff V = \frac{D_v}{f}

   Application numérique : Avec les données exprimées dans la même unité de temps (la minute) :

   • D_v = 5{,}4\text{ L}\cdot\text{min}^{-1}
   • f = 70\text{ min}^{-1}

   V = \frac{5{,}4}{70} \approx 7{,}7 \times 10^{-2}\text{ L} = 77\text{ mL}

   \boxed{V \approx 77\text{ mL} = 7{,}7 \times 10^{-5}\text{ m}^3}

   Résultat

   $$V\approx 77\text{ mL}=7,7\times 10^{-5}{\text{ m}}^3$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2022, Q49

   D'après les invariances établies à la question Q48, la vitesse ne dépend que de la variable radiale r. De plus, l'énoncé précise que les effets de bord sont négligés le long de (Oz), ce qui impose v_z = 0. Le champ des vitesses s'écrit donc :

   \vec{v}(r) = v_r(r)\,\vec{u}_r + v_\theta(r)\,\vec{u}_\theta

   D'après le formulaire, la divergence en coordonnées cylindriques s'exprime par :

   \operatorname{div}\vec{v} = \frac{1}{r}\frac{\partial(r v_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial v_z}{\partial z}

   Comme v_\theta est indépendant de \theta et que v_z = 0, les deux derniers termes sont nuls. L'incompressibilité du fluide (\operatorname{div}\vec{v} = 0) conduit alors à :

   \frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}(r v_r)}{\mathrm{d}r} = 0

   En intégrant par rapport à r, il vient :

   r\,v_r(r) = K \quad \text{soit} \quad v_r(r) = \frac{K}{r} \quad (K \in \mathbb{R})

   Les parois cylindriques en r = R_1 et r = R_2 étant solides et imperméables, le fluide ne peut pas les traverser. La composante normale de la vitesse s'annule donc au contact de la paroi :

   v_r(R_1) = 0 \quad (\text{ou } v_r(R_2) = 0)

   On en déduit immédiatement que K = 0, ce qui assure :

   v_r(r) = 0 \quad \text{pour tout } r \in [R_1, R_2]

   La composante radiale de la vitesse est donc identiquement nulle :

   \boxed{\vec{v}_r = \vec{0}}

   L'écoulement est par conséquent purement orthoradial : \vec{v}(r) = v_\theta(r)\,\vec{u}_\theta.

   Résultat

   $${\vec{v}}_r=\vec{0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q1

   D'après le préambule de l'énoncé, l'oléoduc est prévu pour transporter un volume V = 10^6\text{ barils} par jour (\Delta t = 1\text{ jour}).

   En utilisant les données numériques :

   • 1\text{ baril} = 159\text{ L} = 0{,}159\text{ m}^3 ;
   • \Delta t = 24 \times 3600\text{ s} = 86\,400\text{ s}.

   Le débit volumique D_v s'exprime par le rapport du volume transporté sur la durée correspondante :

   D_v = \frac{V}{\Delta t}

   L'application numérique donne :

   D_v = \frac{10^6 \times 159 \times 10^{-3}}{86\,400} \approx 1{,}84\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}

   \boxed{D_v = 1{,}84\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}}

   Résultat

   $$D_v=1,84{\text{ m}}^3\cdot {\text{s}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2021, Q2

    Par définition de la vitesse débitante v_m, pour un écoulement à travers une section droite S :

    D_v = v_m S = v_m \, \frac{\pi D^2}{4}

    d'où l'expression de la vitesse débitante :

    v_m = \frac{4 D_v}{\pi D^2}

    D'après l'énoncé, sur sa plus grande longueur, l'oléoduc a un diamètre D = 1070\text{ mm} = 1{,}070\text{ m}. Avec la valeur du débit volumique obtenue à la question Q1 (D_v \approx 1{,}84\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}) :

    \begin{aligned} v_m &= \frac{4 \times 1{,}84}{\pi \times (1{,}070)^2} \approx 2{,}05\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}

    \boxed{v_m \approx 2{,}0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

    Résultat

    $$v_m\approx 2,0\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question