Feuille d'entraînement : Cristallographie

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Modelisation PC 2026, Q38

   Dans une maille cubique :

   • un atome situé sur un sommet est partagé entre 8 mailles adjacentes et compte pour une fraction \frac{1}{8} ;
   • un atome situé au centre d'une face est partagé entre 2 mailles adjacentes et compte pour une fraction \frac{1}{2}.

   D'après le descriptif de la maille :

   • Atomes de nickel : ils occupent les 8 sommets du cube et le centre de 4 faces. Le nombre d'atomes de nickel appartenant en propre à la maille est donc :

     N(\mathrm{Ni}) = 8 \times \frac{1}{8} + 4 \times \frac{1}{2} = 1 + 2 = 3

   • Atomes de chrome : ils occupent le centre des 2 autres faces opposées. Le nombre d'atomes de chrome appartenant en propre à la maille est donc :

     N(\mathrm{Cr}) = 2 \times \frac{1}{2} = 1

   \boxed{N(\mathrm{Ni}) = 3 \quad \text{et} \quad N(\mathrm{Cr}) = 1}

   Résultat

   $$N(\mathrm{Ni})=3\text{et}N(\mathrm{Cr})=1$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2E3A Physique-Chimie PC 2025, QChimie-Problème 1-III-Q34

   D'après la figure du document 2 et sa légende :

   • Ions étain \mathrm{Sn^{4+}} (cercles noirs) :

     • 8 ions occupent les sommets de la maille, chacun étant partagé par 8 mailles ;
     • 1 ion est situé au centre de la maille, appartenant entièrement à celle-ci.

     Le nombre d'ions \mathrm{Sn^{4+}} en propre par maille est donc :

     N(\mathrm{Sn^{4+}}) = 8 \times \frac{1}{8} + 1 \times 1 = 2

   • Ions oxyde \mathrm{O^{2-}} :

     • 4 ions sont situés sur des faces de la maille (cercles grisés hachurés), chacun étant partagé par 2 mailles voisines ;
     • 2 ions sont situés à l'intérieur de la maille (cercles avec une croix), appartenant entièrement à la maille.

     Le nombre d'ions \mathrm{O^{2-}} en propre par maille est donc :

     N(\mathrm{O^{2-}}) = 4 \times \frac{1}{2} + 2 \times 1 = 4

   Le rapport stœchiométrique au sein de la maille s'écrit :

   \frac{N(\mathrm{O^{2-}})}{N(\mathrm{Sn^{4+}})} = \frac{4}{2} = 2

   \boxed{\text{La maille contient 2 motifs formulaires }\mathrm{SnO_2}\text{ (soit } Z = 2 \text{), ce qui est bien en accord avec la stœchiométrie du dioxyde d'étain.}}

   Résultat

   $$\text{La maille contient 2 motifs formulaires }\mathrm{Sn}{\mathrm{O}}_2\text{ (soit }Z=2\text{), ce qui est bien en accord avec la stœchiomeˊtrie du dioxyde d’eˊtain.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3E3A Physique-Chimie PC 2025, QChimie-Problème 1-III-Q36

   La maille élémentaire est un parallélépipède rectangle d'angles droits (\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ) et de paramètres de maille a = b = 0{,}474\text{ nm} et c = 0{,}318\text{ nm}. Son volume s'écrit :

   V = a^2 c

   V = (0{,}474 \times 10^{-9}\text{ m})^2 \times (0{,}318 \times 10^{-9}\text{ m}) \approx 7{,}145 \times 10^{-29}\text{ m}^3

   D'après la question Q34, la maille contient Z = 2 unités formulaires de dioxyde d'étain \mathrm{SnO_2}. La masse molaire du dioxyde d'étain vaut :

   M(\mathrm{SnO_2}) = M(\mathrm{Sn}) + 2\,M(\mathrm{O}) = 118{,}7 + 2 \times 16{,}0 = 150{,}7\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 0{,}1507\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}

   La masse volumique \rho du dioxyde d'étain est donnée par le rapport de la masse de la maille sur son volume :

   \rho = \frac{Z \cdot M(\mathrm{SnO_2})}{N_{\mathrm{A}} \cdot a^2 c}

   En effectuant l'application numérique avec N_{\mathrm{A}} = 6{,}02 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1} :

   \begin{aligned} \rho &= \frac{2 \times 0{,}1507}{6{,}02 \times 10^{23} \times 7{,}145 \times 10^{-29}} \\ &= 7{,}01 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} = 7{,}01\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3} \end{aligned}

   \boxed{\rho = 7{,}01 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} = 7{,}01\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}}

   Résultat

   $$\rho =7,01\times 10^3\text{ kg}\cdot {\text{m}}^{-3}=7,01\text{ g}\cdot {\text{cm}}^{-3}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4ENS Physique-Chimie L PC 2025, Q12

   1. Volume par atome dans le fer \alpha (cubique centré) :

   La maille cubique centrée possède des atomes aux 8 sommets et 1 au centre de la maille. La population par maille vaut :

   Z_\alpha = 8 \times \frac{1}{8} + 1 \times 1 = 2 \text{ atomes par maille}

   Le volume disponible par atome de fer dans la phase \alpha est donc :

   v_\alpha = \frac{V_\alpha}{Z_\alpha} = \frac{2{,}3 \times 10^{-2}\text{ nm}^3}{2} = 1{,}15 \times 10^{-2}\text{ nm}^3 \simeq 1{,}2 \times 10^{-2}\text{ nm}^3

   2. Volume par atome dans le fer \gamma (cubique à faces centrées) :

   La maille cubique à faces centrées comporte des atomes aux 8 sommets et au centre des 6 faces. La population par maille vaut :

   Z_\gamma = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 4 \text{ atomes par maille}

   Le volume disponible par atome de fer dans la phase \gamma est donc :

   v_\gamma = \frac{V_\gamma}{Z_\gamma} = \frac{4{,}5 \times 10^{-2}\text{ nm}^3}{4} = 1{,}125 \times 10^{-2}\text{ nm}^3 \simeq 1{,}1 \times 10^{-2}\text{ nm}^3

   \boxed{v_\alpha \simeq 1{,}2 \times 10^{-2}\text{ nm}^3 = 1{,}2 \times 10^{-29}\text{ m}^3 \quad \text{et} \quad v_\gamma \simeq 1{,}1 \times 10^{-2}\text{ nm}^3 = 1{,}1 \times 10^{-29}\text{ m}^3}

   3. Conclusion sur l'apparition de craquelures :

   On constate que v_\gamma < v_\alpha : la transition allotropique du fer \alpha vers le fer \gamma s'accompagne d'une contraction volumique (diminution du volume molaire d'environ 2 à 3\,\%, liée à la plus grande compacité de la structure CFC par rapport à la structure CC).

   Au cours du soudage, la zone proche du cordon de soudure atteint une température supérieure à 912\ ^\circ\text{C} et subit cette contraction, tandis que les zones adjacentes plus froides demeurent sous forme de fer \alpha sans subir cette réduction de volume. Cette discontinuité dimensionnelle et l'empêchement du retrait par la matrice environnante engendrent de très fortes contraintes mécaniques de traction et de cisaillement à l'interface, ce qui peut dépasser la limite de rupture du matériau et provoquer l'apparition de craquelures (fissuration).

   Résultat

   $$v_{\alpha }\simeq 1,2\times 10^{-2}{\text{ nm}}^3=1,2\times 10^{-29}{\text{ m}}^3\text{et}{v}_{\gamma }\simeq 1,1\times 10^{-2}{\text{ nm}}^3=1,1\times 10^{-29}{\text{ m}}^3$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5E3A Physique-Chimie PC 2023, Q4

   Le fer métallique cristallise à température et pression ambiantes dans une structure cubique centrée (variété allotropique \alpha).

   La maille élémentaire est un cube d'arête a comportant :

   • un atome de fer à chacun des 8 sommets du cube ;
   • un atome de fer au centre du cube.

   Pour déterminer le nombre d'atomes de fer par maille (multiplicité ou population N) :

   • chaque atome situé sur un sommet est partagé entre 8 mailles adjacentes, sa contribution propre à la maille est donc de \frac{1}{8} ;
   • l'atome situé au centre du cube est totalement contenu dans la maille, sa contribution propre est de 1.

   On en déduit :

   N = 8 \times \frac{1}{8} + 1 \times 1 = 1 + 1 = 2

   \boxed{N = 2 \text{ atomes de fer par maille}}

   Résultat

   $$N=2\text{ atomes de fer par maille}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6E3A Physique-Chimie PC 2021, Q16

   Dans la structure fluorine \mathrm{CaF_2} :

   • Les cations \mathrm{Ca^{2+}} occupent les sommets et les centres des faces d'un réseau cubique à faces centrées (CFC) de paramètre de maille a.
   • Les anions \mathrm{F^{-}} occupent les 8 sites tétraédriques, situés au centre des 8 sous-cubes d'arête a/2, de coordonnées réduites \left(\pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{4}\right) par rapport au centre de chaque sous-cube, soit de coordonnées (x/a, y/a, z/a) \in \left\{\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\right\}^3.

   1. Vue en perspective légendée de la maille élémentaire :

   2. Projection dans le plan (xOy) avec indication des cotes z/a :

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7E3A Physique-Chimie PC 2021, Q18

   Dans la maille de la fluorine \mathrm{CaF_2}, les ions fluorure \mathrm{F^-} occupent les 8 sites tétraédriques, situés chacun au centre d'un des huit petits cubes d'arête \frac{a}{2}.

   Le contact le plus intime entre ions de signes opposés s'établit le long de la demi-diagonale d'un de ces sous-cubes (ou le quart de la grande diagonale de la maille élémentaire), reliant un ion calcium \mathrm{Ca^{2+}} situé sur un sommet (ou centre de face) et un ion fluorure \mathrm{F^-} en site tétraédrique.

   La distance entre le centre d'un site tétraédrique et le sommet le plus proche s'écrit :

   d(\mathrm{Ca^{2+}}-\mathrm{F^-}) = \frac{1}{2} \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}

   À la limite du contact cation-anion, on a :

   r(\mathrm{Ca^{2+}}) + r(\mathrm{F^-}) = \frac{a\sqrt{3}}{4}

   On en déduit l'expression du paramètre de maille :

   a = \frac{4}{\sqrt{3}}\left(r(\mathrm{Ca^{2+}}) + r(\mathrm{F^-})\right)

   Application numérique : Avec r(\mathrm{Ca^{2+}}) = 1{,}00\cdot 10^{-10}\text{ m} et r(\mathrm{F^-}) = 1{,}36\cdot 10^{-10}\text{ m}, il vient :

   a = \frac{4}{\sqrt{3}} \times (1{,}00\cdot 10^{-10} + 1{,}36\cdot 10^{-10}) = \frac{4 \times 2{,}36\cdot 10^{-10}}{\sqrt{3}} \approx 5{,}45\cdot 10^{-10}\text{ m}

   \boxed{a = 5{,}45\cdot 10^{-10}\text{ m} = 545\text{ pm}}

   Résultat

   $$a=5,45\cdot 10^{-10}\text{ m}=545\text{ pm}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Modelisation PC 2026, Q39

   D'après la question Q38, chaque maille cubique contient N(\mathrm{Ni}) = 3 atomes de nickel et N(\mathrm{Cr}) = 1 atome de chrome.

   La masse d'une maille élémentaire s'écrit alors :

   m_{\text{maille}} = \frac{3\,M(\mathrm{Ni}) + M(\mathrm{Cr})}{\mathcal{N}_A}

   où \mathcal{N}_A désigne la constante d'Avogadro.

   La maille étant cubique d'arête a, son volume est :

   V_{\text{maille}} = a^3

   Par définition, la masse volumique de l'alliage s'exprime par le rapport :

   \mu(\mathrm{NiCr}) = \frac{m_{\text{maille}}}{V_{\text{maille}}} = \frac{3\,M(\mathrm{Ni}) + M(\mathrm{Cr})}{\mathcal{N}_A\,a^3}

   On en déduit l'expression littérale du paramètre de maille a :

   \boxed{a = \left(\frac{3\,M(\mathrm{Ni}) + M(\mathrm{Cr})}{\mathcal{N}_A\,\mu(\mathrm{NiCr})}\right)^{1/3}}

   Résultat

   $$a={\left(\frac{3M(\mathrm{Ni})+M(\mathrm{Cr})}{{\mathcal{N}}_A\mu (\mathrm{NiCr})}\right)}^{1/3}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CCINP Modelisation PC 2026, Q40

   Dans une maille cubique d'arête a, la diagonale d'une face mesure a\sqrt{2}. Dans un réseau cubique à faces centrées (CFC), les atomes les plus proches voisins sont situés à mi-diagonale d'une face (entre un atome situé à un sommet et un atome situé au centre d'une face adjacente).

   La distance d entre deux plus proches voisins vaut donc :

   d = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}

   D'après les données et l'aide aux calculs fournie en annexe :

   • a = 350\text{ pm} ;
   • \sqrt{2} \approx 1{,}4 ;
   • \dfrac{350}{1{,}4} = 250.

   On en déduit :

   d = \frac{350}{1{,}4} = 250\text{ pm}

   \boxed{d = 250\text{ pm}}

   Résultat

   $$d=250\text{ pm}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10E3A Physique-Chimie PC 2025, QChimie-Problème 1-III-Q35

    La coordinence d'un ion correspond au nombre de ses plus proches voisins de charge opposée.

    Considérons l'ion \mathrm{Sn}^{4+} situé au centre de la maille élémentaire (Document 2) :

    • il est entouré par les 2 ions \mathrm{O}^{2-} entièrement situés à l'intérieur de la maille ;
    • il est également lié aux 4 ions \mathrm{O}^{2-} situés au centre des faces latérales de la maille.

    Cet ion \mathrm{Sn}^{4+} est donc entouré par un total de 2 + 4 = 6 ions \mathrm{O}^{2-} formant un octaèdre (légèrement déformé) à son voisinage immédiat.

    \boxed{\text{Coordinence}(\mathrm{Sn}^{4+}) = 6}

    Résultat

    $$\text{Coordinence}({\mathrm{Sn}}^{4+})=6$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question