Feuille d'entraînement : Cristallographie

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2026, Q32

   D'après la description de la structure cristalline (figure 9) :

   • Les ions \mathrm{Cl}^- occupent les 8 sommets et les 6 centres de faces de la maille cubique :

     N(\mathrm{Cl}^-) = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4

   • Les ions \mathrm{Na}^+ occupent les milieux des 12 arêtes et le centre du cube :

     N(\mathrm{Na}^+) = 12 \times \frac{1}{4} + 1 \times 1 = 3 + 1 = 4

   La maille contient donc Z = 4 motifs \mathrm{NaCl} en propre.

   La masse molaire du chlorure de sodium vaut :

   M(\mathrm{NaCl}) = M(\mathrm{Na}) + M(\mathrm{Cl}) = 23{,}0 + 35{,}5 = 58{,}5\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 58{,}5 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}

   La masse de la maille est donnée par m_{\text{maille}} = \frac{Z\,M(\mathrm{NaCl})}{\mathcal{N}_A}, et son volume cubique est V = a^3. La masse volumique \mu s'écrit donc :

   \mu = \frac{m_{\text{maille}}}{V} = \frac{Z\,M(\mathrm{NaCl})}{\mathcal{N}_A\,a^3}

   On en déduit l'expression du paramètre de maille a :

   \boxed{a = \left(\frac{Z\,M(\mathrm{NaCl})}{\mu\,\mathcal{N}_A}\right)^{1/3}}

   Application numérique :

   \begin{aligned} a &= \left(\frac{4 \times 58{,}5 \times 10^{-3}}{2{,}16 \times 10^3 \times 6{,}02 \times 10^{23}}\right)^{1/3} \\ &= \left(\frac{0{,}234}{1{,}300 \times 10^{27}}\right)^{1/3} \\ &\approx 5{,}65 \times 10^{-10}\text{ m} = 565\text{ pm} \end{aligned}

   \boxed{a = 5{,}65 \times 10^{-10}\text{ m} = 565\text{ pm}}

   Résultat

   $$a={\left(\frac{ZM(\mathrm{NaCl})}{\mu {\mathcal{N}}_A}\right)}^{1/3}$$

   $$a=5,65\times 10^{-10}\text{ m}=565\text{ pm}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2025, Q33

   La population N (ou multiplicité) d'une maille représente le nombre d'atomes appartenant en propre à cette maille conventionnelle.

   Dans une structure cubique centrée (figure 9 de l'énoncé), les atomes de lithium occupent :

   • les 8 sommets du cube, chacun étant partagé entre 8 mailles adjacentes, soit une contribution de \frac{1}{8} par sommet ;
   • le centre du cube, qui appartient intégralement à la maille, soit une contribution de 1.

   On en déduit la population de la maille :

   N = 8 \times \frac{1}{8} + 1 \times 1

   \boxed{N = 2}

   Il y a donc 2 atomes de lithium par maille élémentaire.

   Résultat

   $$N=2$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2025, Q34

   La masse volumique \rho_{\text{Li}} du lithium solide est le rapport de la masse contenue dans une maille élémentaire sur le volume de celle-ci :

   \rho_{\text{Li}} = \frac{m_{\text{maille}}}{V_{\text{maille}}}

   Une maille cubique de paramètre a possède un volume V_{\text{maille}} = a^3. Elle contient N = 2 atomes de lithium en propre (d'après la question Q33), de masse molaire atomique M(\text{Li}), soit une masse :

   m_{\text{maille}} = N \cdot \frac{M(\text{Li})}{\mathcal{N}_A}

   On en déduit l'expression littérale :

   \boxed{\rho_{\text{Li}} = \frac{N \, M(\text{Li})}{\mathcal{N}_A \, a^3}}

   Application numérique : Avec N = 2, M(\text{Li}) = 6{,}93\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 6{,}93 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}, \mathcal{N}_A = 6{,}022 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1} et a = 351\text{ pm} = 351 \times 10^{-12}\text{ m} :

   \begin{aligned} \rho_{\text{Li}} &= \frac{2 \times 6{,}93 \times 10^{-3}}{6{,}022 \times 10^{23} \times (351 \times 10^{-12})^3} \\ &= 532\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} = 0{,}532\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3} \end{aligned}

   \boxed{\rho_{\text{Li}} \simeq 532\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}}

   Résultat

   $${\rho }_{\text{Li}}=\frac{NM(\text{Li})}{{\mathcal{N}}_A{a}^3}$$

   $${\rho }_{\text{Li}}\simeq 532\text{ kg}\cdot {\text{m}}^{-3}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2024, Q16

   Dans une structure cubique à faces centrées (CFC), les atomes de cuivre occupent :

   • les 8 sommets du cube, chacun étant partagé par 8 mailles adjacentes, soit une contribution de :

     8 \times \frac{1}{8} = 1\text{ atome en propre} ;

   • les centres des 6 faces du cube, chacun étant partagé par 2 mailles adjacentes, soit une contribution de :

     6 \times \frac{1}{2} = 3\text{ atomes en propre}.

   Le nombre total d'atomes appartenant en propre à une maille cubique à faces centrées (la multiplicité Z) vaut ainsi :

   Z = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 1 + 3

   \boxed{Z = 4}

   Résultat

   $$Z=4$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2024, Q17

   Dans le modèle des sphères dures, les atomes sont assimilés à des sphères indéformables de rayon r_{\mathrm{Cu}}. Dans une structure cubique à faces centrées (CFC), la condition de contact (ou tangence) la plus serrée est réalisée le long des diagonales des faces du cube.

   Considérons une face carrée de la maille de côté a :

   • Par le théorème de Pythagore, la longueur d de la diagonale d'une face vaut :

     d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}
   • Le long de cette diagonale, l'atome situé au sommet contribue pour son rayon r_{\mathrm{Cu}}, l'atome situé au centre de la face est entièrement traversé et contribue pour son diamètre 2r_{\mathrm{Cu}}, et l'atome situé au sommet opposé contribue pour r_{\mathrm{Cu}}.

   À la tangence des sphères le long de cette diagonale, on a donc :

   d = r_{\mathrm{Cu}} + 2r_{\mathrm{Cu}} + r_{\mathrm{Cu}} = 4r_{\mathrm{Cu}}

   On en déduit la relation de contact recherchée :

   \boxed{4r_{\mathrm{Cu}} = \sqrt{2}a}

   Résultat

   $$4r_{\mathrm{Cu}}=\sqrt{2}a$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q78

   Dans une structure cubique à faces centrées (cfc), les atomes de nickel occupent deux types de sites dans la maille conventionnelle :

   • les 8 sommets du cube, chacun étant partagé par 8 mailles adjacentes, ce qui confère une contribution de :

     8 \times \frac{1}{8} = 1 \text{ atome}

   • les centres des 6 faces du cube, chacun étant partagé par 2 mailles adjacentes, ce qui confère une contribution de :

     6 \times \frac{1}{2} = 3 \text{ atomes}

   Le nombre total d'atomes propres à la maille (ou multiplicité de la maille), noté N, est donc :

   N = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 1 + 3

   \boxed{N = 4 \text{ atomes par maille}}

   Résultat

   $$N=4\text{ atomes par maille}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q79

   Dans le modèle des sphères dures appliqué à la structure cubique à faces centrées (CFC), les atomes de nickel se touchent le long des diagonales des faces du cube.

   Considérons une face carrée de la maille, de côté a. La longueur de sa diagonale d vaut :

   d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}

   Le long de cette diagonale se succèdent :

   • un rayon atomique issu de l'atome au premier sommet ;
   • un diamètre entier (2 R_{\mathrm{Ni}}) pour l'atome situé au centre de la face ;
   • un rayon atomique issu de l'atome au sommet opposé.

   La condition de contact s'écrit donc :

   4\,R_{\mathrm{Ni}} = a\sqrt{2}

   On en déduit l'expression littérale du rayon atomique du nickel :

   \boxed{R_{\mathrm{Ni}} = \frac{a\sqrt{2}}{4} = \frac{a}{2\sqrt{2}}}

   Résultat

   $$R_{\mathrm{Ni}}=\frac{a\sqrt{2}}{4}=\frac{a}{2\sqrt{2}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q80

   Par définition, la masse volumique \rho_{\mathrm{Ni}} du cristal de nickel est le quotient de la masse m_{\text{maille}} contenue dans une maille élémentaire par le volume V_{\text{maille}} de cette maille :

   \rho_{\mathrm{Ni}} = \frac{m_{\text{maille}}}{V_{\text{maille}}}

   Pour une maille cubique de paramètre a, le volume s'écrit :

   V_{\text{maille}} = a^3

   D'après la question Q78, la maille conventionnelle cubique à faces centrées (CFC) contient en propre N = 4 atomes de nickel.

   La masse d'un atome de nickel est donnée par le rapport de sa masse molaire atomique M(\mathrm{Ni}) au nombre d'Avogadro N_A :

   m_{\text{atome}} = \frac{M(\mathrm{Ni})}{N_A}

   La masse de la maille s'exprime donc par :

   m_{\text{maille}} = N\, m_{\text{atome}} = \frac{N\, M(\mathrm{Ni})}{N_A} = \frac{4\, M(\mathrm{Ni})}{N_A}

   En combinant ces résultats, on obtient l'expression littérale de la masse volumique :

   \boxed{\rho_{\mathrm{Ni}} = \frac{4\, M(\mathrm{Ni})}{N_A\, a^3}}

   Résultat

   $${\rho }_{\mathrm{Ni}}=\frac{4M(\mathrm{Ni})}{N_A{a}^3}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2023, Q15

   D'après la figure 4 et sa légende :

   • Les atomes de fer (disques noirs) occupent les 8 sommets du cube et les centres des 6 faces :

     N(\mathrm{Fe}) = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4

   • Les ions oxygène \mathrm{O}^{2-} (cercles blancs) occupent le centre du cube et les milieux des 12 arêtes :

     N(\mathrm{O}) = 1 \times 1 + 12 \times \frac{1}{4} = 1 + 3 = 4

   Une maille contient donc 4 entités de fer pour 4 entités d'oxygène, soit une proportion stœchiométrique de 1 : 1.

   La formule chimique de ce pigment est donc :

   \boxed{\mathrm{FeO}}

   Résultat

   $$\mathrm{FeO}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2022, Q25

    D'après la figure 6, la maille est cubique et contient deux types d'ions :

    • Ions oxyde \mathrm{O}^{2-} (sphères gris foncé) :

      • 8 ions situés aux sommets du cube, comptant pour \frac{1}{8} :

        8 \times \frac{1}{8} = 1

      • 6 ions situés aux centres des faces, comptant pour \frac{1}{2} :

        6 \times \frac{1}{2} = 3

      Le nombre effectif d'ions oxyde par maille est donc :

      N(\mathrm{O}^{2-}) = 1 + 3 = 4

      Les ions oxyde forment ainsi un réseau cubique à faces centrées (cfc).

    • Ions sodium \mathrm{Na}^{+} (sphères gris clair) : Ils occupent la totalité des 8 sites tétraédriques situés au centre des 8 petits sous-cubes d'arête a/2. Étant entièrement à l'intérieur de la maille, ils comptent chacun pour 1 :

      N(\mathrm{Na}^{+}) = 8 \times 1 = 8

    Le rapport stœchiométrique des ions dans la maille s'écrit :

    \frac{N(\mathrm{Na}^{+})}{N(\mathrm{O}^{2-})} = \frac{8}{4} = \frac{2}{1}

    Il y a donc deux cations \mathrm{Na}^{+} pour un anion \mathrm{O}^{2-}, ce qui assure l'électroneutralité du cristal :

    2 \times (+1) + 1 \times (-2) = 0

    \boxed{\mathrm{Na}_2\mathrm{O}}

    Résultat

    $${\mathrm{Na}}_2\mathrm{O}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question