Feuille d'entraînement : Description d'un système thermodynamique

9 questions · filière MPSI · durée estimée environ 27 min

Seulement 9 questions corrigées pour ces critères à ce jour.

Énoncés

Exercice 1ENAC Physique MPSI 2025, Q19· Application directe· Incontournable· ≈ 2 min
Quelle est la variation d'énergie interne $Δ_{A}^{B} U$ du gaz lors de la transformation $A \to B$ ? A) $Δ_{A}^{B} U = 0$ B) $Δ_{A}^{B} U = C_{P} Δ T$ C) $Δ_{A}^{B} U = C_{V} Δ T$ D) $Δ_{A}^{B} U = (C_{P} - C_{V}) Δ T$
Exercice 2ENAC Physique MPSI 2026, Q19· Application directe· ≈ 2 min
On note $M$ la masse molaire du gaz, et dans l'état (1): $ρ_{1}$ sa masse volumique, $p_{1}$ sa pression et $V_{1}$ son volume. Exprimer $p_{1}$ et $V_{1}$ :
A) $p_{1} = \frac{ρ _{1} R T _{1}}{M}$ B) La pression n'est pas définie. C) $V_{1} = \frac{n R T _{1}}{p _{0}^{γ}}$ D) $V_{1} = \frac{n R T _{1}}{p _{0}}$
Exercice 3ENAC Physique MPSI 2025, Q24· Exigeant· ≈ 6 min
Déterminer l'expression de $Δ V /Δ T$ en fonction de $V_{A}$ et $T_{A}$ , puis en écrivant le bilan d'énergie interne sur le cycle de transformations, en déduire la relation entre $C_{P}$ et $C_{V}$ . A) $\frac{Δ V}{Δ T} = \frac{2 V _{A}}{T _{A}}$ B) $\frac{Δ V}{Δ T} = \frac{V _{A}}{T _{A}}$ C) $C_{P} - C_{V} = p_{A} \frac{Δ V}{Δ T}$ D) $C_{P} - C_{V} = 2 p_{A} \frac{Δ V}{Δ T}$
Exercice 4ENAC Physique MPSI 2024, Q19· Intermédiaire· ≈ 3 min
Exprimer $T_{2}$ et $T_{4}$ en fonction de $κ$ et $T_{1}$ :
A) $T_{2} = κ T_{1}$ B) $T_{2} = \frac{T _{1}}{κ}$ C) $T_{4} = κ T_{1}$ D) $T_{4} = \frac{T _{1}}{κ}$
Exercice 5ENAC Physique MPSI 2023, Q19· Application directe· ≈ 3 min
Quelles sont, en fonction de $V_{i}$ , $ε$ et $γ$ , les expressions de $V^{'}$ et de $V_{f}$ ?
A) $V^{'} = V_{i} (1 + ε)^{- \frac{1}{γ}}$ B) $V^{'} = V_{i} (1 + ε)^{\frac{1}{γ}}$ C) $V_{f} = V_{i} (1 + ε)$ D) $V_{f} = \frac{V _{i}}{1 + ε}$
Exercice 6ENAC Physique MPSI 2022, Q31· Intermédiaire· ≈ 3 min
Exprimer $V_{1}$ et $V_{2}$ :
A) $V_{1} = \frac{T _{1}}{T _{0} + T _{1}} V_{0}$ B) $V_{1} = \frac{T _{1}}{T _{0} + T _{1}} V_{t}$ C) $V_{2} = \frac{T _{0}}{T _{0} + T _{1}} V_{0}$ D) $V_{2} = \frac{T _{0}}{T _{0} + T _{1}} V_{t}$
Exercice 7ENAC Physique MPSI 2022, Q32· Application directe· ≈ 2 min
Que peut-on affirmer ?
A) $p_{2} = p_{1}$ B) $p_{1} = \frac{n R ( T _{0} + T _{1} )}{V _{t}}$ C) $p_{1} = \frac{n R ( T _{0} + T _{1} )}{V _{0}}$ D) $p_{2} \neq = p_{1}$
Exercice 8ENAC Physique MPSI 2021, Q19· Application directe· ≈ 2 min
Donner l'équation d'état d'une masse d'air en faisant apparaître explicitement sa masse volumique $ρ$ . A) $p = \frac{ρ}{M _{a}} R T$ B) $p = ρR T$ C) $p = \frac{M _{a}}{ρ} R T$ D) $p = ρ M_{a} R T$
Exercice 9ENAC Physique MPSI 2021, Q23· Intermédiaire· ≈ 4 min
Le profil vertical de la masse volumique s'écrit:
$ρ (z) = ρ_{0} (1 - \frac{z}{H})^{α}$
où $α$ est un facteur et $ρ_{0}$ la masse volumique au niveau du sol. Exprimer $α$ . A) $α = 1$ B) $α = γ^{- 1}$ C) $α = (1 - γ)^{- 1}$ D) $α = (γ - 1)^{- 1}$

Corrigés

Exercice 1ENAC Physique MPSI 2025, Q19
Le fluide étudié est un gaz parfait, il vérifie donc la première loi de Joule : son énergie interne U ne dépend que de sa température thermodynamique T. Pour une transformation quelconque entre deux états à des températures T_A et T_B, la variation d'énergie interne s'écrit :
\Delta_A^B U = C_V (T_B - T_A)
où C_V est la capacité thermique à volume constant du gaz.
La transformation B \rightarrow C étant une isotherme à la température T_B = T_C, la température de l'état B est égale à celle de l'état C :
T_B - T_A = T_C - T_A = \Delta T
On en déduit immédiatement :
\boxed{\Delta_A^B U = C_V \Delta T}
La réponse correcte est la proposition C.
Résultat
$Δ_{A}^{B} U = C_{V} Δ T$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 2ENAC Physique MPSI 2026, Q19
La masse totale du gaz enfermé dans l'enceinte est m_{\text{gaz}} = n M. Par définition de la masse volumique dans l'état (1) :
\rho_1 = \frac{m_{\text{gaz}}}{V_1} = \frac{n M}{V_1} \implies n = \frac{\rho_1 V_1}{M}
En injectant cette relation dans l'équation d'état des gaz parfaits p_1 V_1 = n R T_1, on obtient :
p_1 V_1 = \frac{\rho_1 V_1}{M} R T_1 \implies p_1 = \frac{\rho_1 R T_1}{M}
L'affirmation A est donc correcte (l'affirmation B est fausse).
D'autre part, le piston est mobile selon la verticale, sans frottement, et sa masse est négligée. Dans l'état initial (1), aucune masse supplémentaire n'est posée sur le piston. La condition d'équilibre mécanique du piston, soumis à la force pressante du gaz intérieur p_1 \mathcal{A}\,\mathbf{e}_z et à la force pressante de l'atmosphère extérieure -p_0 \mathcal{A}\,\mathbf{e}_z, s'écrit :
(p_1 - p_0)\mathcal{A} = 0 \implies p_1 = p_0
D'après l'équation d'état du gaz parfait :
V_1 = \frac{n R T_1}{p_1} = \frac{n R T_1}{p_0}
L'affirmation D est donc correcte (l'affirmation C est fausse).
\boxed{\text{Réponses A et D}}
Résultat
$R \overset{e}{ˊ} ponses A et D$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 3ENAC Physique MPSI 2025, Q24
1. Expression de \Delta V / \Delta T :
La transformation C \to A est isobare à la pression p_C = p_A. L'équation d'état du gaz parfait pour les états A et C s'écrit :
\begin{aligned} p_A V_A &= n R T_A \\ p_A V_C &= n R T_C \end{aligned}
En effectuant la différence membre à membre :
p_A (V_C - V_A) = n R (T_C - T_A) \iff p_A \Delta V = n R \Delta T
On en déduit :
\frac{\Delta V}{\Delta T} = \frac{n R}{p_A} = \frac{V_A}{T_A}
La proposition B est donc correcte (et A est fausse).
2. Relation entre C_P et C_V :
L'énergie interne U étant une fonction d'état, sa variation sur le cycle complet A \to B \to C \to A est nulle :
\Delta_{\text{cycle}} U = \Delta_A^B U + \Delta_B^C U + \Delta_C^A U = 0
Rappelons les résultats obtenus précédemment :
- Pour l'isochore A \to B (Q19) : \Delta_A^B U = C_V \Delta T ;
- Pour l'isotherme B \to C (Q22) : \Delta_B^C U = 0.
Pour la compression isobare C \to A, le premier principe donne :
\Delta_C^A U = W_{CA} + Q_{CA}
D'après les résultats de la question Q23, W_{CA} = p_A \Delta V et Q_{CA} = -C_P \Delta T, d'où :
\Delta_C^A U = p_A \Delta V - C_P \Delta T
Le bilan sur le cycle s'écrit alors :
C_V \Delta T + 0 + p_A \Delta V - C_P \Delta T = 0
Soit, en réorganisant les termes :
(C_P - C_V) \Delta T = p_A \Delta V \iff C_P - C_V = p_A \frac{\Delta V}{\Delta T}
La proposition C est donc correcte (et D est fausse).
\boxed{\text{Réponses B et C}}
Résultat
$R \overset{e}{ˊ} ponses B et C$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 4ENAC Physique MPSI 2024, Q19
D'après le diagramme (p,V), les quatre sommets du rectangle correspondent aux états :
- État E_1 : (p_1, V_1) ;
- État E_2 : (p_2, V_2) = (p_3, V_1) (refroidissement isochore 1 \to 2) ;
- État E_3 : (p_3, V_3) ;
- État E_4 : (p_4, V_4) = (p_1, V_3) (échauffement isochore 3 \to 4).
Le gaz étant assimilé à un gaz parfait, on applique l'équation d'état p V = n R T aux états E_1 et E_3. Comme l'énoncé indique que T_1 = T_3 :
p_1 V_1 = n R T_1 = n R T_3 = p_3 V_3
On en déduit le rapport des volumes en fonction de \kappa = \dfrac{p_1}{p_3} :
\frac{V_3}{V_1} = \frac{p_1}{p_3} = \kappa \implies V_3 = \kappa V_1
Température T_2 : Pour l'état E_2, la pression vaut p_2 = p_3 = \dfrac{p_1}{\kappa} et le volume vaut V_2 = V_1 :
T_2 = \frac{p_2 V_2}{n R} = \frac{p_3 V_1}{n R} = \frac{p_1 V_1}{\kappa\, n R} = \frac{T_1}{\kappa}
La proposition B est donc exacte (la proposition A est fausse).
Température T_4 : Pour l'état E_4, la pression vaut p_4 = p_1 et le volume vaut V_4 = V_3 = \kappa V_1 :
T_4 = \frac{p_4 V_4}{n R} = \frac{p_1 (\kappa V_1)}{n R} = \kappa \frac{p_1 V_1}{n R} = \kappa T_1
La proposition C est donc exacte (la proposition D est fausse).
\boxed{\text{Réponses B et C}}
Résultat
$R \overset{e}{ˊ} ponses B et C$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 5ENAC Physique MPSI 2023, Q19
Le diazote est modélisé par un gaz parfait de coefficient adiabatique \gamma constant.
Expression du volume V' : La transformation T1 étant adiabatique et réversible (isentropique), la loi de Laplace s'applique entre l'état initial E_i(p_i, V_i, T_i) et l'état intermédiaire E'(p', V', T') :
p_i V_i^\gamma = p' V'^\gamma
Sachant que la pression dans l'état E' vaut p' = p_i(1 + \varepsilon), il vient :
V'^\gamma = \frac{p_i}{p'} V_i^\gamma = \frac{V_i^\gamma}{1 + \varepsilon} = V_i^\gamma (1 + \varepsilon)^{-1}
D'où l'expression du volume V' :
\boxed{V' = V_i (1 + \varepsilon)^{-\frac{1}{\gamma}}}
La proposition A est donc exacte.
Expression du volume V_f : La transformation T2 étant isobare, la pression dans l'état final E_f est égale à la pression dans l'état E' :
p_f = p' = p_i(1 + \varepsilon)
De plus, la température finale est T_f = T_i. En appliquant l'équation d'état du gaz parfait aux états E_i et E_f :
\begin{aligned} p_i V_i &= n R T_i \\ p_f V_f &= n R T_f = n R T_i \end{aligned}
On en déduit que p_f V_f = p_i V_i, d'où :
\boxed{V_f = \frac{p_i V_i}{p_f} = \frac{V_i}{1 + \varepsilon}}
La proposition D est donc exacte.
Résultat
$V^{'} = V_{i} (1 + ε)^{- \frac{1}{γ}}$ $V_{f} = \frac{p _{i} V _{i}}{p _{f}} = \frac{V _{i}}{1 + ε}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 6ENAC Physique MPSI 2022, Q31
Dans l'état final d'équilibre thermodynamique :
- Le compartiment (2) est en contact thermique avec le thermostat à la température T_0 par l'intermédiaire d'une paroi diatherme, d'où :
  T_2 = T_0
- Le piston mobile athermane coulisse sans frottement, assurant l'équilibre mécanique :
  p_1 = p_2
- L'enceinte globale étant indéformable, le volume total est conservé :
  V_1 + V_2 = V_t = 2V_0
Les deux gaz étant parfaits et contenant chacun n moles, l'équation d'état s'écrit pour chaque compartiment :
\begin{aligned} p_1 V_1 &= n R T_1 \\ p_2 V_2 &= n R T_2 = n R T_0 \end{aligned}
Comme p_1 = p_2, le rapport de ces équations donne :
\frac{V_1}{V_2} = \frac{T_1}{T_0}
On en déduit :
\frac{V_1}{V_1 + V_2} = \frac{T_1}{T_0 + T_1} \quad \implies \quad \boxed{V_1 = \frac{T_1}{T_0 + T_1} V_t}
et :
\frac{V_2}{V_1 + V_2} = \frac{T_0}{T_0 + T_1} \quad \implies \quad \boxed{V_2 = \frac{T_0}{T_0 + T_1} V_t}
En fonction de V_0, on aurait V_1 = \frac{2T_1}{T_0 + T_1}V_0 et V_2 = \frac{2T_0}{T_0 + T_1}V_0, ce qui exclut les propositions A et C.
Les propositions correctes sont donc B et D.
Résultat
$V_{1} = \frac{T _{1}}{T _{0} + T _{1}} V_{t}$ $V_{2} = \frac{T _{0}}{T _{0} + T _{1}} V_{t}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 7ENAC Physique MPSI 2022, Q32
À l'état d'équilibre final, le piston est immobile. En l'absence de frottement solide avec les parois, le bilan des forces appliquées au piston selon l'axe horizontal impose l'égalité des forces pressantes exercées par les deux gaz :
p_1 S = p_2 S \implies p_1 = p_2
La proposition A est donc vraie (et la proposition D est fausse).
Les deux compartiments contiennent chacun n moles de gaz parfait. À l'état final, les équations d'état s'écrivent :
\begin{aligned} p_1 V_1 &= n R T_1 \\ p_2 V_2 &= n R T_0 \end{aligned}
Puisque p_1 = p_2, on additionne membre à membre ces deux relations :
p_1 (V_1 + V_2) = n R (T_0 + T_1)
Comme le volume total est V_t = V_1 + V_2, il vient directement :
\boxed{p_1 = \frac{n R (T_0 + T_1)}{V_t}}
La proposition B est donc vraie (et la proposition C est fausse, le dénominateur étant V_t = 2V_0 et non V_0).
Résultat
$p_{1} = \frac{n R ( T _{0} + T _{1} )}{V _{t}}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 8ENAC Physique MPSI 2021, Q19
Pour un échantillon d'air de masse m occupant un volume V, assimilé à un gaz parfait de masse molaire M_a, l'équation d'état s'écrit :
p V = n R T = \frac{m}{M_a} R T
En divisant par le volume V et en introduisant la masse volumique de l'air \rho = \dfrac{m}{V}, on obtient :
\boxed{p = \frac{\rho}{M_a} R T}
La proposition exacte est donc l'affirmation A.
Résultat
$p = \frac{ρ}{M _{a}} R T$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 9ENAC Physique MPSI 2021, Q23
Pour une masse d'air subissant une évolution isentropique, les lois de Laplace s'appliquent. En utilisant la relation entre la pression et la masse volumique :
\frac{p}{\rho^\gamma} = \text{Cte}
D'après l'équation d'état du gaz parfait (question Q19), la pression s'écrit p = \dfrac{\rho R T}{M_a}. En substituant cette expression, il vient :
\frac{\rho R T}{\rho^\gamma} = \text{Cte} \quad \implies \quad T\,\rho^{1-\gamma} = \text{Cte} \quad \implies \quad \rho \propto T^{\frac{1}{\gamma - 1}}
En prenant pour référence les grandeurs au niveau du sol (z = 0) où la température vaut T_0 et la masse volumique \rho_0, on obtient :
\rho(z) = \rho_0 \left(\frac{T(z)}{T_0}\right)^{\frac{1}{\gamma - 1}}
En introduisant le profil de température linéaire obtenu à la question Q22, T(z) = T_0 \left(1 - \dfrac{z}{H}\right), l'expression de \rho(z) devient :
\rho(z) = \rho_0 \left(1 - \frac{z}{H}\right)^{\frac{1}{\gamma - 1}}
Par identification avec l'expression donnée \rho(z) = \rho_0 \left(1 - \dfrac{z}{H}\right)^\alpha, on en déduit :
\boxed{\alpha = (\gamma - 1)^{-1}}
La réponse correcte est donc l'affirmation D.
Résultat
$α = (γ - 1)^{- 1}$
Indice, stratégie et pièges de cette question

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