Feuille d'entraînement : Description d'un système thermodynamique

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique-Chimie TSI 2026, Q31

   Pour un système fermé constitué d'une quantité de matière n_e de gaz parfait, la relation de Mayer reliant les capacités thermiques à pression constante C_p et à volume constant C_v s'écrit :

   \boxed{C_p - C_v = n_e R}

   où R est la constante molaire des gaz parfaits.

   Résultat

   $$C_p-C_v=n_{e}R$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique-Chimie TSI 2026, Q20

   Considérons la méthode d'intégration numérique par la méthode des rectangles à gauche (ou méthode du point gauche) pour approcher l'intégrale :

   I = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

   1. Discrétisation du domaine : On subdivise l'intervalle [a, b] en N sous-intervalles de même largeur (le pas d'intégration) :

   h = \frac{b - a}{N}

   Les points de discrétisation sont définis par :

   x_k = a + k\,h \quad \text{pour } k \in \{0, 1, \dots, N\}

   2. Approximation locale : Sur chaque tranche [x_k, x_{k+1}], la fonction f est approchée par une constante égale à sa valeur à la borne gauche, f(x_k). L'intégrale élémentaire est alors assimilée à l'aire d'un rectangle de base h et de hauteur f(x_k) :

   \int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x)\,\mathrm{d}x \approx h\,f(x_k)

   3. Sommation globale : L'intégrale totale s'obtient en sommant les aires de tous les rectangles :

   \boxed{\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \approx \sum_{k=0}^{N-1} f(x_k)\,h = \frac{b-a}{N}\sum_{k=0}^{N-1} f(a + k\,h)}

   Résultat

   $${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\approx \sum _{k=0}^{N-1}f(x_k)h=\frac{b-a}{N}\sum _{k=0}^{N-1}f(a+kh)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique-Chimie TSI 2026, Q23

   L'air étant modélisé comme un gaz parfait à la température uniforme T_0, l'équation d'état s'écrit pour un volume V contenant une quantité de matière n :

   P(z) \, V = n \, R \, T_0

   En introduisant la densité molaire (quantité de matière par unité de volume) n_v(z) = \dfrac{n}{V} = \dfrac{\mu(z)}{M_{\text{air}}}, il vient directement :

   n_v(z) = \frac{P(z)}{R T_0}

   En utilisant l'expression de la pression P(z) établie à la question Q22 :

   P(z) = P_{\text{atm}} \exp\left(-\frac{z}{H}\right)

   On en déduit l'expression de la densité de quantité de matière en fonction de l'altitude :

   \boxed{n_v(z) = \frac{P_{\text{atm}}}{R T_0} \exp\left(-\frac{z}{H}\right)}

   Résultat

   $$n_v(z)=\frac{P_{\text{atm}}}{R{T}_0}\exp \left(-\frac{z}{H}\right)$$

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4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2026, Q38

   La masse molaire du dioxyde de carbone \mathrm{CO}_2 est :

   M(\mathrm{CO}_2) = M(\mathrm{C}) + 2\,M(\mathrm{O}) = 12{,}0 + 2 \times 16{,}0 = 44{,}0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}

   La quantité de matière de gaz libérée par la cartouche s'écrit donc :

   n_{\text{gaz}} = \frac{m_{\text{gaz}}}{M(\mathrm{CO}_2)}

   En assimilant le dioxyde de carbone à un gaz parfait à la température T = 20\text{ }^\circ\text{C} = 293\text{ K}, l'équation d'état donne la pression finale P_{\mathrm{f}} du gaz dans le gilet :

   P_{\mathrm{f}} V_{\mathrm{f}} = n_{\text{gaz}} R T = \frac{m_{\text{gaz}}}{M(\mathrm{CO}_2)} R T

   d'où, en utilisant l'expression du volume minimal V_{\mathrm{f}} = \dfrac{\Pi}{\rho g} obtenue en Q37 :

   P_{\mathrm{f}} = \frac{m_{\text{gaz}} R T \rho g}{M(\mathrm{CO}_2) \Pi}

   Application numérique :

   \begin{aligned} n_{\text{gaz}} &= \frac{33}{44{,}0} = 0{,}75\text{ mol} \\ P_{\mathrm{f}} &= \frac{0{,}75 \times 8{,}3 \times 293{,}15}{1{,}53 \times 10^{-2}} \approx 1{,}19 \times 10^5\text{ Pa} \approx 1{,}2\text{ bar} \end{aligned}

   \boxed{P_{\mathrm{f}} \approx 1{,}2 \times 10^5\text{ Pa} = 1{,}2\text{ bar}}

   Commentaire : La pression finale est légèrement supérieure à la pression atmosphérique (P_0 \approx 1{,}0\text{ bar}). Cette surpression relative (\Delta P \approx 0{,}2\text{ bar}) est idéale en pratique :

   • elle permet de maintenir l'enveloppe du gilet parfaitement tendue et rigide, évitant son affaissement sous le poids de la personne et la faible surpression hydrostatique de l'eau à la surface ;
   • elle reste suffisamment modérée pour ne pas faire éclater l'enveloppe et ne pas nécessiter de parois trop lourdes ou rigides ;
   • elle justifie a posteriori l'utilisation du modèle du gaz parfait, la pression étant faible devant les pressions caractéristiques de liquéfaction du \mathrm{CO}_2 à 20 °C (qui sont de l'ordre de 57\text{ bar}).

   Résultat

   $$P_{\mathrm{f}}\approx 1,2\times 10^5\text{ Pa}=1,2\text{ bar}$$

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5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2025, Q4

   Le méthane étant assimilé à un gaz parfait, la quantité de matière contenue dans un volume V = 1{,}0\text{ m}^3 à la température T = 0~^{\circ}\text{C} = 273\text{ K} et sous la pression p = 1{,}013\text{ bar} = 1{,}013 \times 10^5\text{ Pa} est donnée par :

   n(\mathrm{CH}_4) = \frac{p V}{R T}

   Application numérique :

   n(\mathrm{CH}_4) = \frac{1{,}013 \times 10^5 \times 1{,}0}{8{,}314 \times 273} \approx 44{,}63\text{ mol}

   La transformation s'effectuant à pression constante, le transfert thermique reçu par le système réactionnel vaut \Delta H = n(\mathrm{CH}_4)\,\Delta_r H^\circ. L'énergie thermique libérée vers l'extérieur (pouvoir calorifique inférieur) correspond à l'opposé de ce transfert :

   \mathrm{PCI} = - \Delta H = - n(\mathrm{CH}_4)\,\Delta_r H^\circ

   D'après la question Q3, \Delta_r H^\circ = -802{,}5\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} (l'eau étant à l'état de vapeur). Ainsi :

   \begin{aligned} \mathrm{PCI} &= 44{,}63 \times 802{,}5 \times 10^3 \\ &= 3{,}582 \times 10^7\text{ J} = 35{,}8\text{ MJ} \end{aligned}

   D'après la définition fournie dans l'énoncé, 1\text{ kW}\cdot\text{h} = 10^3\text{ W} \times 3\,600\text{ s} = 3{,}60 \times 10^6\text{ J}. On en déduit la valeur du PCI en \text{kW}\cdot\text{h} pour ce mètre cube :

   \mathrm{PCI} = \frac{3{,}582 \times 10^7}{3{,}60 \times 10^6} \approx 9{,}95\text{ kW}\cdot\text{h}

   Soit une valeur volumique :

   \boxed{\mathrm{PCI} = 9{,}95\text{ kW}\cdot\text{h}\cdot\text{m}^{-3} = 35{,}8\text{ MJ}\cdot\text{m}^{-3}}

   Comparaison : La valeur obtenue pour le méthane pur se situe bien dans l'intervalle tabulé pour le gaz naturel commercial, compris entre 9{,}2 et 10{,}2\text{ kW}\cdot\text{h}\cdot\text{m}^{-3}. Le méthane en étant le constituant très largement majoritaire (généralement plus de 90\,\%), cette excellente concordance valide l'approximation faite.

   Résultat

   $$\mathrm{PCI}=9,95\text{ kW}\cdot \text{h}\cdot {\text{m}}^{-3}=35,8\text{ MJ}\cdot {\text{m}}^{-3}$$

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6. Exercice 6CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q41

   La molécule de dioxyde de carbone \mathrm{CO}_2 est constituée d'un atome de carbone et de deux atomes d'oxygène. Sa masse molaire moléculaire M(\mathrm{CO}_2) s'exprime donc par :

   M(\mathrm{CO}_2) = M(\mathrm{C}) + 2\,M(\mathrm{O})

   D'après les données fournies en fin d'énoncé :

   • M(\mathrm{C}) = 12\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} ;
   • M(\mathrm{O}) = 16\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}.

   On obtient :

   \begin{aligned} M(\mathrm{CO}_2) &= 12 + 2 \times 16 = 44\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} \end{aligned}

   Convertie dans l'unité demandée (\text{kg}\cdot\text{mol}^{-1}), correspondant aux unités du système international (SI) :

   \boxed{M(\mathrm{CO}_2) = 44 \cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} = 4,4 \cdot 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}}

   Résultat

   $$M({\mathrm{CO}}_2)=44\cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot {\text{mol}}^{-1}=4,4\cdot 10^{-2}\text{ kg}\cdot {\text{mol}}^{-1}$$

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7. Exercice 7CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q42

   La température absolue de l'atmosphère martienne vaut :

   T = -63 + 273 = 210\text{ K}

   D'après l'énoncé, la célérité du son dans un gaz parfait est donnée par :

   c = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}

   avec d'après la question Q41 :

   • \gamma = 1{,}4 ;
   • R = 8{,}31\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} ;
   • T = 210\text{ K} ;
   • M = 44\cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}.

   Calculons le carré de la célérité :

   \begin{aligned} c^2 &= \frac{1{,}4 \times 8{,}31 \times 210}{44 \cdot 10^{-3}} \\ &= \frac{294 \times 8{,}31}{44} \cdot 10^3 \\ &= \frac{147}{22} \times 8{,}31 \cdot 10^3 \end{aligned}

   Comme \dfrac{147}{22} \approx 6{,}68 et 6{,}68 \times 8{,}31 \approx 55{,}5 :

   c^2 \approx 5{,}55 \cdot 10^4\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-2}

   Or :

   \begin{aligned} 230^2 &= 5{,}29 \cdot 10^4\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-2} \\ 240^2 &= 5{,}76 \cdot 10^4\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-2} \end{aligned}

   La racine carrée donne donc c \approx 236\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, ce qui conduit bien à la valeur attendue :

   \boxed{c \approx 240\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

   Résultat

   $$c\approx 240\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$$

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8. Exercice 8CCINP Physique-Chimie TSI 2023, Q62

   La masse molaire du dihydrogène gazeux \mathrm{H}_2 vaut :

   M(\mathrm{H}_2) = 2\,M(\mathrm{H}) = 2{,}0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 2{,}0\cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}

   La quantité de matière correspondante pour une masse m = 1{,}5\text{ kg} est donc :

   n = \frac{m}{M(\mathrm{H}_2)} = \frac{1{,}5}{2{,}0\cdot 10^{-3}} = 750\text{ mol}

   \boxed{n = 750\text{ mol} = 7{,}5\cdot 10^2\text{ mol}}

   En assimilant le dihydrogène à un gaz parfait, le volume occupé vérifie :

   p_{\text{atm}} V = n R T \implies V = \frac{n R T}{p_{\text{atm}}}

   Avec T = 20 + 273 = 293\text{ K}, p_{\text{atm}} = 1{,}0\cdot 10^5\text{ Pa} et l'aide au calcul qui donne 750 \times 8{,}31 \times 293 \approx 1{,}8\cdot 10^6 :

   V = \frac{1{,}8\cdot 10^6}{1{,}0\cdot 10^5} = 18\text{ m}^3

   \boxed{V = 18\text{ m}^3 = 1{,}8\cdot 10^4\text{ L}}

   Commentaire : Un volume de 18\text{ m}^3 (soit 18\,000\text{ L}) est considérable par rapport au volume total d'une voiture (le volume d'un réservoir de carburant standard est d'environ 50\text{ L}). Il est donc impossible d'embarquer le dihydrogène à pression atmosphérique. Pour être utilisable dans un véhicule, le dihydrogène doit être stocké à très haute pression (généralement à 700\text{ bar} = 7\cdot 10^7\text{ Pa}, ce qui réduit le volume à environ 25\text{ L}) ou sous forme cryogénique liquide à 20\text{ K}.

   Résultat

   $$n=750\text{ mol}=7,5\cdot 10^2\text{ mol}$$

   $$V=18{\text{ m}}^3=1,8\cdot 10^4\text{ L}$$

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9. Exercice 9CCINP Physique-Chimie TSI 2022, Q13

   La masse molaire moléculaire du dioxyde de carbone \mathrm{CO_2} s'exprime à partir des masses molaires atomiques fournies :

   M(\mathrm{CO_2}) = M(\mathrm{C}) + 2\,M(\mathrm{O})

   Soit numériquement :

   M(\mathrm{CO_2}) = 12 + 2 \times 16 = 44\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}

   D'après le texte introductif, la cartouche préconisée contient une masse de dioxyde de carbone :

   m_{\mathrm{CO_2}} = 33\text{ g}

   La quantité de matière n de \mathrm{CO_2} présente dans la cartouche est alors :

   n = \frac{m_{\mathrm{CO_2}}}{M(\mathrm{CO_2})} = \frac{33}{44} = \frac{3}{4}\text{ mol}

   \boxed{n = 0{,}75\text{ mol}}

   Résultat

   $$n=0,75\text{ mol}$$

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10. Exercice 10CCINP Physique-Chimie TSI 2022, Q15

    D'après le modèle du gaz parfait, la pression régnant dans la cartouche de volume V contenant la quantité de matière n de \text{CO}_2 à la température T s'écrit :

    P = \frac{n R T}{V}

    D'après la question Q13, n = 0{,}75\text{ mol}.
    Données numériques :

    • R = 8{,}3\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} ;
    • T = 300\text{ K} ;
    • V = 15\text{ mL} = 15\cdot 10^{-6}\text{ m}^3 = 1{,}5\cdot 10^{-5}\text{ m}^3.

    On effectue l'application numérique :

    \begin{aligned} P &= \frac{0{,}75 \times 8{,}3 \times 300}{15\cdot 10^{-6}} = \frac{0{,}75 \times 300}{15} \times 8{,}3 \cdot 10^6 \\ &= 15 \times 8{,}3 \cdot 10^6 = 124{,}5\cdot 10^6\text{ Pa} \approx 1{,}2\cdot 10^8\text{ Pa} \end{aligned}

    Comme 1\text{ bar} = 10^5\text{ Pa}, on obtient :

    \boxed{P \approx 1{,}2\cdot 10^3\text{ bar} \quad (\text{ou } 125\text{ MPa})}

    Conclusion quant à l'état physique : À la température T = 300\text{ K} (\theta = 27\text{ }^\circ\text{C}), la pression de vapeur saturante lue dans le tableau 1 est de l'ordre de P_{\text{sat}} \approx 67\text{ bar} (comprise entre 64{,}32\text{ bar} à 25\text{ }^\circ\text{C} et 71{,}92\text{ bar} à 30\text{ }^\circ\text{C}).

    La pression calculée (P \approx 1\,245\text{ bar}) est immensément supérieure à la pression de saturation P_{\text{sat}} :

    • L'hypothèse selon laquelle le fluide serait entièrement gazeux est donc impossible ;
    • Dans le diagramme (P, T) de la figure 3, ce point se situerait largement dans le domaine liquide (1) ;
    • Une partie au moins du dioxyde de carbone est donc nécessairement condensée sous forme liquide dans la cartouche.

    Résultat

    $$P\approx 1,2\cdot 10^3\text{ bar}(\text{ou }125\text{ MPa})$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question