Comportement asymptotique d'une exponentielle d'endomorphisme

Soit $E$ un espace vectoriel complexe de dimension finie. On munit $E$ d'une norme $\| \cdot \|$ et on note $\| | \cdot | \|$ la norme d'endomorphisme associée. Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme tel que $\| | u | \| \leq 1$ .

Démontrer que pour tout réel $t \geq 0$ , on a l'inégalité : $\| | \exp(t(u - \text{Id}_E)) | \| \leq 1$
On considère la suite d'endomorphismes $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : $\forall n \in \mathbb{N}, v_n = (u - \text{Id}_E) \exp(n(u - \text{Id}_E))$ Déterminer la limite de la suite $(v_n)$ quand $n \to +\infty$ .

1.

Pour la question 1, utiliser le fait que $t(u-\text{Id}_E) = tu - t\text{Id}_E$ et que ces deux termes commutent. Exploiter ensuite la définition de l'exponentielle en série et l'inégalité triangulaire.

2.

Pour la question 2, utiliser la décomposition de $E$ en sous-espaces caractéristiques (lemme des noyaux appliqué au polynôme caractéristique).

3.

Pour un noyau caractéristique associé à une valeur propre $\lambda$ , écrire $u$ sous la forme $\lambda \text{Id} + N$ avec $N$ nilpotent.

4.

Étudier séparément le cas $\lambda = 1$ et le cas $|\lambda| \leq 1, \lambda \neq 1$ . Pour $\lambda = 1$ , utiliser le fait que la suite $(u^k)_{k \in \mathbb{N}}$ est bornée pour montrer que la partie nilpotente est nulle.

Idées clés

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Propriété de l'exponentielle de somme d'endomorphismes qui commutent : $\exp(A+B) = \exp(A)\exp(B)$ .

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Décomposition spectrale : $E = \bigoplus_{\lambda \in \text{Sp}(u)} \ker(u - \lambda \text{Id}_E)^d$ .

•

Croissances comparées entre fonctions polynomiales et exponentielles.

Résolution.

Soit $t \geq 0$ . Comme les endomorphismes $tu$ et $-t\text{Id}_E$ commutent, on a : $\exp(t(u - \text{Id}_E)) = \exp(tu) \circ \exp(-t\text{Id}_E) = e^{-t} \exp(tu)$ En utilisant le développement en série de l'exponentielle, on obtient par inégalité triangulaire : $\| | \exp(tu) | \| = \left\| \left| \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{t^k u^k}{k!} \right| \right\| \leq \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{t^k \| | u^k | \|}{k!}$ Puisque $\| | u | \| \leq 1$ , on a par sous-multiplicativité de la norme d'endomorphisme $\| | u^k | \| \leq \| | u | \|^k \leq 1$ . Il vient alors : $\| | \exp(tu) | \| \leq \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{t^k}{k!} = e^t$ En multipliant par $e^{-t}$ , on conclut : $\boxed{ \forall t \geq 0, \| | \exp(t(u - \text{Id}_E)) | \| \leq 1 }$
Puisque $E$ est un $\mathbb{C}$ -espace vectoriel de dimension finie, le polynôme caractéristique $\chi_u$ est scindé. D'après le lemme des noyaux, on a la décomposition en sous-espaces caractéristiques : $E = \bigoplus_{\lambda \in \text{Sp}(u)} F_\lambda \text{où} F_\lambda = \ker(u - \lambda \text{Id}_E)^d$ Chaque $F_\lambda$ est stable par $u$ . Il suffit d'étudier la convergence de la suite restreinte à chaque $F_\lambda$ . Sur $F_\lambda$ , on peut écrire $u = \lambda \text{Id} + n_\lambda$ où $n_\lambda$ est un endomorphisme nilpotent. L'expression de $v_n$ restreinte à $F_\lambda$ devient : $v_{n | F_\lambda} = \left( (\lambda - 1) \text{Id} + n_\lambda \right) e^{n(\lambda - 1)} \exp(n n_\lambda)$ Premier cas : $\lambda \neq 1$ . Puisque $\| | u | \| \leq 1$ , le rayon spectral vérifie $\rho(u) \leq 1$ , donc $|\lambda| \leq 1$ . Comme $\lambda \neq 1$ , on en déduit que $\text{Re}(\lambda) < 1$ . En effet, si $\lambda = x + iy$ , alors $x^2 + y^2 \leq 1$ et $x=1$ impliquerait $y=0$ , soit $\lambda=1$ . L'endomorphisme $\exp(n n_\lambda)$ est un polynôme en $n$ puisque $n_\lambda$ est nilpotent : $\exp(n n_\lambda) = \sum_{j=0}^{d-1} \frac{n^j}{j!} n_\lambda^j$ Ainsi, $v_{n | F_\lambda}$ est le produit d'un terme exponentiel $e^{n(\lambda - 1)}$ et d'un polynôme en $n$ . Comme $|e^{n(\lambda - 1)}| = e^{n(\text{Re}(\lambda) - 1)}$ avec $\text{Re}(\lambda) - 1 < 0$ , par croissances comparées : $\lim_{n \to +\infty} v_{n | F_\lambda} = 0$ Deuxième cas : $\lambda = 1$ . Montrons que $n_1 = 0$ . Sur $F_1$ , on a $u = \text{Id} + n_1$ . Pour tout $k \in \mathbb{N}$ : $u^k = (\text{Id} + n_1)^k = \sum_{j=0}^{\min(k, d-1)} \binom{k}{j} n_1^j$ Supposons $n_1 \neq 0$ . Soit $p$ le plus grand entier tel que $n_1^p \neq 0$ ( $p \geq 1$ ). Pour tout $x \in F_1$ tel que $n_1^p x \neq 0$ , $u^k x$ est un polynôme en $k$ de degré $p$ . Le terme dominant est $\frac{k^p}{p!} n_1^p x$ , donc $\| u^k x \| \to +\infty$ . Ceci contredit $\| u^k x \| \leq \| | u^k | \| \cdot \| x \| \leq \| x \|$ . On en déduit que $n_1 = 0$ , soit $u_{| F_1} = \text{Id}_{| F_1}$ . Alors sur $F_1$ , $u - \text{Id} = 0$ , donc $v_{n | F_1} = 0$ . Conclusion : La suite $(v_n)$ converge vers 0 sur chaque sous-espace de la somme directe. $\boxed{ \lim_{n \to +\infty} (u - \text{Id}_E) \exp(n(u - \text{Id}_E)) = 0 }$

Attention à ne pas oublier que la majoration $||| \exp(A) ||| \leq e^{|||A|||}$ est toujours vraie, mais qu'ici on demande une majoration plus fine (par 1) qui dépend de la structure de l'endomorphisme $u - \text{Id}$ . L'utilisation de $\exp(A+B) = \exp(A)\exp(B)$ n'est possible que parce que $u$ et $\text{Id}$ commutent.