Nilpotence en caractéristique 2 et itérations

Soit $n \ge 2$ un entier. On considère la matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{F}_2)$ définie par :

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 1 & 1 & \ddots & & 0 0 & 1 & \ddots & \ddots & \vdots \vdots & \ddots & \ddots & 1 & 0 0 & \cdots & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

À quelle condition nécessaire et suffisante sur $n$ la matrice $A$ est-elle nilpotente ?
On définit l'application $\varphi: \mathbb{Z}^{n} \rightarrow \mathbb{Z}^{n}$ $φ : Z^{n} \to Z^{n}$ qui à un vecteur $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ $x = (x_{1}, \dots, x_{n})$ associe :
$\varphi(x) = \left(|x_{1}-x_{2}|, |x_{2}-x_{3}|, \ldots, |x_{n-1}-x_{n}|, |x_{n}-x_{1}|\right)$
Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
1. Pour tout $x \in \mathbb{Z}^n$ , il existe un entier $k \in \mathbb{N}^*$ tel que $\varphi^{(k)}(x) = 0$ .
2. $n$ est une puissance de 2.

1.

Pour la question 1, exprimer $A$ sous la forme $I + J$ où $J$ est une matrice de permutation cyclique. Utiliser le fait qu'en caractéristique 2, $(X+1)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} X^k$ .

2.

Pour la question 2, observer d'abord que $\varphi(x) \pmod 2$ s'exprime linéairement à l'aide de la matrice de la question précédente.

3.

Pour l'implication (ii) $\implies$ (i), utiliser une méthode de descente ou l'argument de divisibilité par les puissances de 2 combiné au caractère borné de la suite.

4.

Pour l'implication (i) $\implies$ (ii), si $n$ n'est pas une puissance de 2, utiliser la non-nilpotence de $A$ pour construire un vecteur dont l'orbite ne contient pas 0.

Idées clés

•

morphisme de Frobenius en caractéristique 2 : $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ .

•

Lien entre une dynamique sur $\mathbb{Z}$ et son comportement modulo $p$ .

•

Étude de la nilpotence par le polynôme caractéristique.

1. Condition de nilpotence de la matrice $A$ .

Soit $J \in \mathcal{M}_n(\mathbb{F}_2)$ la matrice de la permutation cyclique $(1, 2, \dots, n)$ , c'est-à-dire la matrice dont les coefficients sont $J_{i,j} = 1$ si $i = j+1$ (avec la convention $n+1 \equiv 1$ ) et $0$ sinon.

On remarque que la matrice $A$ s'écrit :

A = I_n + J

Une matrice est nilpotente si et seulement si son unique valeur propre est $0$ , ce qui équivaut à ce que son polynôme caractéristique soit $\chi_A(X) = X^n$ .

Le polynôme caractéristique de $J$ est $\chi_J(X) = X^n - 1$ . Comme nous sommes sur $\mathbb{F}_2$ , cela s'écrit aussi $\chi_J(X) = X^n + 1$ .

Le polynôme caractéristique de $A = I + J$ est alors :

\chi_A(X) = \det(X I - (I + J)) = \det((X-1)I - J) = \chi_J(X-1)

En utilisant $X-1 = X+1$ dans $\mathbb{F}_2$ , on obtient :

\chi_A(X) = (X+1)^n + 1

La matrice $A$ est nilpotente si et seulement si $(X+1)^n + 1 = X^n$ .

D'après la formule du binôme de Newton :

(X+1)^n + 1 = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} X^k + 1 = X^n + \sum_{k=1}^{n-1} \binom{n}{k} X^k + (1+1)

Comme $1+1 = 0$ dans $\mathbb{F}_2$ , la condition devient :

\forall k \in \{1, \dots, n-1\},   \binom{n}{k} \equiv 0 \pmod 2

C'est une propriété classique du triangle de Pascal modulo 2 : cette condition est vérifiée si et seulement si $n$ est une puissance de 2.

En effet, si $n=2^p$ , alors par itération du morphisme de Frobenius :

(X+1)^{2^p} = X^{2^p} + 1^{2^p} = X^{2^p} + 1

ce qui donne bien

\chi_A(X) = X^{2^p}

.

Réciproquement, si $n$ n'est pas une puissance de 2, l'écriture binaire de $n$ possède au moins deux chiffres non nuls, et le théorème de Lucas (ou une étude directe) montre qu'il existe un coefficient binomial impair.

\boxed{A \text{ est nilpotente } \iff n = 2^p, \ p \in \mathbb{N}}

2. Équivalence sur la convergence de l'itération $\varphi$ .

(ii) $\implies$ (i) : Supposons que $n = 2^p$ . Soit $x \in \mathbb{Z}^n$ . Après une itération, $\varphi(x) \in \mathbb{N}^n$ . Posons $x^{(k)} = \varphi^{(k)}(x)$ .

Remarquons que pour tout $a, b \in \mathbb{Z}$ , $|a-b| \equiv a+b \pmod 2$ . Soit $\pi : \mathbb{Z}^n \to (\mathbb{F}_2)^n$ la projection canonique. On a :

\pi(\varphi(x)) = A^T \pi(x)

Comme $A$ est nilpotente, $A^T$ l'est aussi. Ainsi, $(A^T)^n = 0$ . Cela implique qu'au bout de $n$ étapes, $\pi(x^{(n)}) = (A^T)^n \pi(x) = 0$ . Tous les coefficients de $x^{(n)}$ sont donc des entiers pairs. On peut écrire $x^{(n)} = 2 y$ avec $y \in \mathbb{Z}^n$ .

De plus, l'application $\varphi$ est homogène : $\varphi(2y) = 2\varphi(y)$ . Ainsi, $x^{(2n)} = \varphi^{(n)}(2y) = 2 \varphi^{(n)}(y)$ . Par le même raisonnement que précédemment, $\varphi^{(n)}(y)$ est un vecteur d'entiers pairs, donc $x^{(2n)}$ est un vecteur dont tous les coefficients sont divisibles par $2^2 = 4$ .

Par récurrence, pour tout $m \ge 1$ , les coefficients de $x^{(mn)}$ sont divisibles par $2^m$ .

Notons $M(x) = \max_i |x_i|$ . On a $|x_i - x_{i+1}| \le \max(|x_i|, |x_{i+1}|) \le M(x)$ dès que les $x_i$ sont positifs. Ainsi, la suite $(M(x^{(k)}))_{k \ge 1}$ est une suite décroissante d'entiers naturels. Elle est donc stationnaire. Comme $M(x^{(mn)})$ est un multiple de $2^m$ et que cette suite est bornée par $M(x^{(1)})$ , la seule valeur possible pour la limite est $0$ . On a donc bien l'existence de $k$ tel que $x^{(k)} = 0$ .

(i) $\implies$ (ii) : Supposons que $n$ ne soit pas une puissance de 2. Alors $A^T$ n'est pas nilpotente. L'endomorphisme induit par $A^T$ sur $(\mathbb{F}_2)^n$ n'est pas nilpotent, donc il existe un vecteur non nul $u \in (\mathbb{F}_2)^n$ tel que la suite $((A^T)^k u)_{k \in \mathbb{N}}$ ne s'annule jamais.

Prenons $x \in \{0, 1\}^n$ tel que $\pi(x) = u$ . Alors pour tout $k$ , $\pi(x^{(k)}) = (A^T)^k u \neq 0$ . Ceci implique que $x^{(k)} \neq 0$ pour tout $k$ . L'assertion (i) est donc fausse.

\boxed{ \text{La convergence vers 0 est universelle ssi } n = 2^p }

Ne pas oublier que $\varphi$ n'est pas linéaire sur $\mathbb{Z}^n$ à cause de la valeur absolue. C'est le passage au quotient modulo 2 qui permet de retrouver la linéarité.