Polynômes de Dunford et idéal de nilpotence

Résolution.

1. Structure de $I_A$.
   1. Montrons que $I_A$ est un idéal de $\mathbb{C}[X]$. Tout d'abord, le polynôme nul $0$ appartient à $I_A$ car $0(A) = 0$, qui est nilpotente. Soient $P_1, P_2 \in I_A$. Les matrices $N_1 = P_1(A)$ et $N_2 = P_2(A)$ sont nilpotentes. Comme ce sont des polynômes en $A$, elles commutent : $N_1 N_2 = N_2 N_1$. D'après la formule du binôme de Newton, si $N_1^{d_1} = 0$ and $N_2^{d_2} = 0$, alors :
      $$(N_1 + N_2)^{d_1 + d_2 - 1} = \sum_{k=0}^{d_1 + d_2 - 1} \binom{d_1 + d_2 - 1}{k} N_1^k N_2^{d_1 + d_2 - 1 - k}$$
      Pour chaque terme de la somme, soit $k \geq d_1$ (donc $N_1^k = 0$), soit $d_1 + d_2 - 1 - k \geq d_2$ (donc $N_2^{d_1 + d_2 - 1 - k} = 0$). Ainsi, $N_1 + N_2$ est nilpotente, donc $P_1 + P_2 \in I_A$. Soient $P \in I_A$ et $Q \in \mathbb{C}[X]$. Notons $N = P(A)$ qui est nilpotente. La matrice $(PQ)(A) = P(A)Q(A) = N Q(A)$ commute avec $N$. Comme $N$ et $Q(A)$ commutent, on a $((PQ)(A))^k = N^k (Q(A))^k$. Pour $k$ assez grand, $N^k = 0$. Donc $PQ \in I_A$. L'ensemble $I_A$ est bien un idéal.

   2. D'après le théorème de Cayley-Hamilton, le polynôme caractéristique $\chi_A$ annule $A$. Comme la matrice nulle est nilpotente, on a $\chi_A(A) = 0$, donc $\chi_A \in I_A$.
      $$\boxed{ I_A \neq \{0\} }$$

2. Caractérisation des éléments de $I_A$.
   1. Le théorème de l'image spectrale stipule que pour toute matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et tout polynôme $P$ :
      $$\boxed{ \text{Sp}(P(A)) = \{ P(\lambda) \mid \lambda \in \text{Sp}(A) \} }$$
   2. Une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ est nilpotente si et seulement si son unique valeur propre est $0$. Par conséquent, $P(A)$ est nilpotente si et seulement si :
      $$\forall \mu \in \text{Sp}(P(A)), \mu = 0$$
      En utilisant le résultat de la question précédente, cela équivaut à :
      $$\boxed{ \forall \lambda \in \text{Sp}(A), P(\lambda) = 0 }$$

   3. Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ les valeurs propres distinctes de $A$. La condition précédente signifie que $P$ est un multiple du polynôme :
      $$\boxed{ Q = \prod_{j=1}^k (X - \lambda_j) }$$
      C'est le polynôme réduit associé au polynôme caractéristique (ou minimal) de $A$. On a donc $I_A = Q \mathbb{C}[X]$.

3. Existence d'un tel polynôme (Dunford). Soit $\chi_A = \prod_{i=1}^k (X - \lambda_i)^{n_i}$ le polynôme caractéristique de $A$. D'après le lemme des noyaux :
   $$\mathbb{C}^n = \bigoplus_{i=1}^k \ker(A - \lambda_i I)^{n_i}$$
   On cherche un polynôme $D(X)$ tel que $D(A)$ soit la composante diagonalisable de $A$. On impose par le théorème des restes chinois (ou par interpolation de Lagrange-Sylvester) les conditions :
   $$\forall i \in \{1, \dots, k\},   D(X) \equiv \lambda_i \pmod{(X - \lambda_i)^{n_i}}$$
   Soit $Q(A) = D(A)$. Sur chaque sous-espace $\ker(A - \lambda_i I)^{n_i}$, $Q(A)$ agit comme l'homothétie $\lambda_i \text{Id}$ car $D(X) - \lambda_i$ est un multiple de $(X - \lambda_i)^{n_i}$. Ainsi, $Q(A)$ est diagonalisable. Considérons $P(X) = X - D(X)$. On a $A - P(A) = Q(A)$ qui est diagonalisable. Vérifions que $P \in I_A$. Pour chaque $i$ :
   $$P(X) = X - D(X) \equiv \lambda_i - \lambda_i \equiv 0 \pmod{(X - \lambda_i)}$$
   Ainsi, pour tout $\lambda \in \text{Sp}(A)$, $P(\lambda) = 0$. D'après la question 2(b), $P(A)$ est nilpotente.
   $$\boxed{ \exists P \in I_A, \text{ tel que } A - P(A) \text{ est diagonalisable} }$$