Classes de similitude en dimension 3

L'objectif de cet exercice est de décrire les classes de similitude des matrices de $\mathcal{M}_{3}(\mathbb{K})$ pour $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ puis $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ .

Étude du cas nilpotent : Déterminer, à l'aide de l'indice de nilpotence et du rang, les différentes classes de similitude des matrices nilpotentes de $\mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})$ . On donnera un représentant pour chaque classe.
Classification sur $\mathbb{C$ $C$ :} En utilisant la réduction de Dunford ou l'étude des polynômes caractéristiques et minimaux, classer les éléments de $\mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})$ par similitude.
Classification sur $\mathbb{R$ $R$ :} Quelles sont les classes de similitude supplémentaires apparaissant dans $\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ par rapport au cas complexe ? On s'intéressera particulièrement au cas où le polynôme caractéristique n'est pas scindé sur $\mathbb{R}$ .

1.

Deux matrices de $\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ sont semblables si et seulement si elles ont le même polynôme caractéristique $\chi_A$ et le même polynôme minimal $\pi_A$ .

2.

Pour les matrices nilpotentes, l'indice de nilpotence $k$ (tel que $N^k=0$ et $N^{k-1}\neq 0$ ) peut valoir 1, 2 ou 3.

3.

Sur $\mathbb{R}$ , si $\chi_A$ n'est pas scindé, il possède une racine réelle $\lambda$ et deux racines complexes conjuguées $a \pm ib$ . Utiliser la forme réduite d'un endomorphisme ayant un plan stable sans droite stable.

Idées clés

•

Invariants de similitude en dimension 3 : $(\chi_A, \pi_A)$ .

•

Lien entre structure des noyaux itérés et classes de similitude.

•

Représentation réelle des valeurs propres complexes : bloc $\begin{pmatrix} a & -b b & a \end{pmatrix}$ .

1. Cas des matrices nilpotentes dans $\mathcal{M$ _3(\mathbb{C}) $M_{3} (C)$ }

Soit $N \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ une matrice nilpotente. Son unique valeur propre est 0, donc $\chi_N = X^3$ . Le polynôme minimal $\pi_N$ est de la forme $X^k$ avec $1 \le k \le 3$ .

Cas $k=1$ : $\pi_N = X$ , donc $N = 0$ . La classe est réduite à $\{\mathbf{0}_3\}$ . $\boxed{ N_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }$
Cas $k=2$ : $\pi_N = X^2$ . $N^2=0$ mais $N \neq 0$ . Le rang de $N$ est nécessairement 1 (car $\text{rg}(N) < 3$ et si $\text{rg}(N)=2$ , l'indice serait 3). Un représentant est : $\boxed{ N_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }$
Cas $k=3$ : $\pi_N = X^3$ . $N^2 \neq 0$ et $N^3=0$ . Le rang de $N$ est 2. Un représentant est : $\boxed{ N_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }$

2. Classification générale sur $\mathbb{C$ $C$ }

En dimension 3, deux matrices sont semblables si et seulement si elles ont même $\chi_A$ et même $\pi_A$ . Soient $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ les racines de $\chi_A$ .

Cas 1 : Trois racines distinctes. $A$ est diagonalisable. La classe est caractérisée par $\{\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\}$ .

\boxed{ A \sim \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) }

Cas 2 : Une racine double $\lambda_1$ et une racine simple $\lambda_2$ . $\chi_A = (X-\lambda_1)^2(X-\lambda_2)$ .

Si $\pi_A = (X-\lambda_1)(X-\lambda_2)$ , $A$ est diagonalisable : $A \sim \text{diag}(\lambda_1, \lambda_1, \lambda_2)$ .
Si $\pi_A = \chi_A$ , $A$ n'est pas diagonalisable. $A$ est semblable à : $\boxed{ \begin{pmatrix} \lambda_1 & 1 & 0 0 & \lambda_1 & 0 0 & 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} }$

Cas 3 : Une racine triple $\lambda$ . $\chi_A = (X-\lambda)^3$ . On pose $N = A - \lambda I$ , qui est nilpotente. On retrouve les trois cas précédents :

$\pi_A = (X-\lambda)$ : $A = \lambda I$ .
$\pi_A = (X-\lambda)^2$ : $A \sim \lambda I + N_2$ .
$\pi_A = (X-\lambda)^3$ : $A \sim \lambda I + N_3$ .

3. Classification sur $\mathbb{R$ $R$ }

Si $\chi_A$ est scindé sur $\mathbb{R}$ , les classes sont les mêmes que sur $\mathbb{C}$ (car deux matrices réelles semblables sur $\mathbb{C}$ le sont sur $\mathbb{R}$ ).

Si $\chi_A$ n'est pas scindé, alors $\chi_A = (X-\lambda)(X^2 - 2aX + a^2 + b^2)$ avec $b \neq 0$ . Les racines sont $\lambda \in \mathbb{R}$ et $z = a + ib, \bar{z} = a - ib \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$ .

Le polynôme minimal est alors nécessairement égal au polynôme caractéristique (car il doit être divisible par chaque facteur irréductible). L'endomorphisme possède une droite stable (propre) et un plan stable sur lequel l'induite n'a pas de droite stable.

En choisissant une base adaptée, on obtient le représentant :

\boxed{ A \sim \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 0 & a & -b 0 & b & a \end{pmatrix} }

Chaque triplet

(\lambda, a, b)

avec

b > 0

définit une classe de similitude distincte.

Ne pas oublier que sur $\mathbb{R}$ , deux matrices peuvent avoir le même polynôme caractéristique sans être semblables si leurs polynômes minimaux diffèrent. Cependant, si $\chi_A$ n'est pas scindé sur $\mathbb{R}$ , en dimension 3, $\pi_A$ est forcé d'être égal à $\chi_A$ .