Diagonalisabilité d'une matrice bloc-triangulaire

Soient $A$ et $B$ deux matrices appartenant à $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ .

On considère la matrice $M \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})$ définie par la structure de blocs suivante :

M = \begin{pmatrix} 0_n & 0_n B & A \end{pmatrix}

Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les matrices $A$ et $B$ pour que $M$ soit diagonalisable.

1.

Commencer par calculer les puissances successives de $M$ , à savoir $M^k$ pour $k \in \mathbb{N}^*$ .

2.

Utiliser le critère de diagonalisabilité par les polynômes annulateurs : une matrice est diagonalisable si et seulement s'il existe un polynôme scindé à racines simples qui l'annule.

3.

Pour un polynôme $P$ , exprimer le bloc inférieur gauche de $P(M)$ à l'aide de $A$ , $B$ et du polynôme $Q(X) = \frac{P(X)-P(0)}{X}$ .

4.

Montrer que si $A$ est diagonalisable, alors l'image de l'endomorphisme associé à $Q(A)$ est reliée à celle de $A$ .

Idées clés

•

Lien entre diagonalisabilité et polynômes annulateurs scindés à racines simples.

•

Calcul matriciel par blocs.

•

Étude des noyaux et images d'un endomorphisme diagonalisable.

1. Calcul des puissances de $M$ .

Calculons les premières puissances de la matrice $M$ pour identifier une relation de récurrence :

M^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 B & A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 B & A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 AB & A^2 \end{pmatrix}

M^3 = M \cdot M^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 B & A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 AB & A^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 A^2B & A^3 \end{pmatrix}

Par une récurrence immédiate, on montre que pour tout entier $k \geq 1$ :

\boxed{ M^k = \begin{pmatrix} 0_n & 0_n A^{k-1}B & A^k \end{pmatrix} }

2. Utilisation d'un polynôme annulateur.

La matrice $M$ est diagonalisable si et seulement s'il existe un polynôme $P(X) = \sum_{k=0}^d a_k X^k$ scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ tel que $P(M) = 0$ .

En utilisant l'expression des puissances de $M$ , nous avons :

P(M) = a_0 I_{2n} + \sum_{k=1}^d a_k M^k = \begin{pmatrix} a_0 I_n & 0 \sum_{k=1}^d a_k A^{k-1}B & a_0 I_n + \sum_{k=1}^d a_k A^k \end{pmatrix}

Pour que $P(M) = 0$ , le bloc en haut à gauche impose $a_0 = 0$ . Ceci signifie que $0$ est une racine du polynôme $P$ .

\boxed{ P(0) = 0 }

Posons alors $P(X) = X Q(X)$ , où $Q(X) = \sum_{k=1}^d a_k X^{k-1}$ . Puisque les racines de $P$ sont simples, on a $Q(0) = a_1 \neq 0$ . L'équation $P(M) = 0$ équivaut alors au système :

\begin{cases} P(A) = 0 Q(A)B = 0 \end{cases}

3. Analyse des conditions nécessaires.

Si $M$ est diagonalisable, il existe un tel polynôme $P$ scindé à racines simples. D'après la première condition $P(A)=0$ , $A$ admet un polynôme annulateur scindé à racines simples.

\boxed{ A \text{ est diagonalisable} }

Puisque $A$ est diagonalisable, on a la décomposition $\mathbb{C}^n = \ker(A) \oplus \text{Im}(A)$ . L'endomorphisme induit par $A$ sur $\text{Im}(A)$ est un automorphisme. Comme $A Q(A) = P(A) = 0$ , la restriction de $Q(A)$ à l'image de $A$ est nulle.

Sur $\ker(A)$ , l'endomorphisme $A$ agit comme l'application nulle, donc $Q(A)$ agit comme l'homothétie $Q(0) \cdot \text{Id}$ . Comme $Q(0) \neq 0$ , $Q(A)$ est injectif sur $\ker(A)$ .

On en déduit que $\ker(Q(A)) = \text{Im}(A)$ . La condition $Q(A)B = 0$ signifie que $\text{Im}(B) \subset \ker(Q(A))$ , d'où :

\boxed{ \text{Im}(B) \subset \text{Im}(A) }

4. Synthèse.

Réciproquement, supposons que $A$ soit diagonalisable et que $\text{Im}(B) \subset \text{Im}(A)$ . Soit $R$ le polynôme minimal de $A$ . $R$ est scindé à racines simples.

Si $0$ est racine de $R$ , on pose $P(X) = R(X)$ . Alors $P(0)=0$ et $P$ est scindé à racines simples.
Si $0$ n'est pas racine de $R$ , on pose $P(X) = X R(X)$ . $P$ est encore scindé à racines simples car $R(0) \neq 0$ .

Dans les deux cas, on a $P(A)=0$ et $P(X)=XQ(X)$ avec $Q(A)$ s'annulant sur $\text{Im}(A)$ (car $A Q(A) = 0$ et $A$ inversible sur son image). Comme $\text{Im}(B) \subset \text{Im}(A)$ , on a bien $Q(A)B = 0$ . Ainsi $P(M)=0$ et $M$ est diagonalisable.

Conclusion :

\boxed{ M \text{ est diagonalisable} \iff A \text{ est diagonalisable et } \text{Im}(B) \subset \text{Im}(A) }

Une erreur fréquente est d'oublier la condition sur $B$ en pensant que la structure triangulaire par blocs et la diagonalisabilité de $A$ suffisent. Or, la présence du bloc $B$ peut créer des blocs de taille supérieure dans la décomposition de l'espace si l'image de $B$ n'est pas "absorbée" par celle de $A$ .