Nilpotence de combinaisons linéaires de matrices

Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ .

Caractérisation de la nilpotence par la trace
1. Montrer que si $A$ est une matrice nilpotente, alors pour tout $k \in \{1, \dots, n\}$ , $\operatorname{tr}(A^k) = 0$ .
2. Réciproquement, on suppose que pour tout $k \in \{1, \dots, n\}$ , $\operatorname{tr}(A^k) = 0$ . Montrer que $A$ est nilpotente. On pourra s'intéresser aux valeurs propres de $A$ et aux relations entre les sommes de Newton et les polynômes symétriques élémentaires.
Étude d'un faisceau de matrices On suppose qu'il existe un ensemble $\Lambda \subset \mathbb{C}$ $Λ \subset C$ contenant au moins $n+1$ $n + 1$ éléments tel que pour tout $\lambda \in \Lambda$ $λ \in Λ$ , la matrice $A + \lambda B$ $A + λ B$ soit nilpotente.
1. Justifier que pour tout $\lambda \in \Lambda$ , on a $(A + \lambda B)^n = 0$ .
2. En considérant les coefficients de la matrice $(A + x B)^n$ comme des polynômes en la variable $x$ , montrer que pour tout $x \in \mathbb{C}$ , la matrice $A + x B$ est nilpotente.
3. En déduire que $A$ et $B$ sont des matrices nilpotentes.
Application Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . On suppose que $A + 2^k B$ est nilpotente pour tout $k \in \{0, 1, \dots, n\}$ . Montrer que $A$ et $B$ sont nilpotentes.

1.

Pour la question 1(b), les valeurs propres d'une matrice dans $\mathbb{C}$ sont les racines de son polynôme caractéristique. Si toutes les valeurs propres sont nulles, la matrice est nilpotente.

2.

Pour la question 2(b), une matrice est nulle si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. Un polynôme de degré au plus $n$ possédant au moins $n+1$ racines est le polynôme nul.

3.

Pour la question 2(c), évaluer l'égalité matricielle pour des valeurs particulières de $x$ ou regarder le coefficient dominant.

Idées clés

•

Lien entre nilpotence et spectre : $M$ est nilpotente $\iff \operatorname{Sp}(M) = \{0\}$ .

•

Utilisation des polynômes de coefficients : l'application $x \mapsto (A+xB)^n$ est "polynomiale".

•

Argument d'interpolation : un polynôme de $\mathbb{K}_n[X]$ avec $n+1$ racines est nul.

Résolution.

Caractérisation par la trace
1. Soit $A$ une matrice nilpotente. Dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ , $A$ est trigonalisable et ses valeurs propres sont toutes nulles. Ainsi, pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ , les valeurs propres de $A^k$ sont également toutes nulles. La trace étant la somme des valeurs propres (comptées avec multiplicité), on en déduit immédiatement : $\boxed{\forall k \in \{1, \dots, n\}, \operatorname{tr}(A^k) = 0}$
2. Réciproquement, notons $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ les valeurs propres de $A$ dans $\mathbb{C}$ . L'hypothèse $\operatorname{tr}(A^k) = 0$ pour $k \in \{1, \dots, n\}$ se traduit par le système suivant sur les sommes de Newton $S_k = \sum_{i=1}^n \lambda_i^k$ : $\forall k \in \{1, \dots, n\}, S_k = 0$ D'après les relations de Newton, les coefficients $c_k$ du polynôme caractéristique $\chi_A(X) = X^n + c_{n-1}X^{n-1} + \dots + c_0$ s'expriment en fonction des $S_k$ . On montre par récurrence (ou via les formules de Newton) que $S_1 = \dots = S_n = 0$ implique $c_{n-1} = c_{n-2} = \dots = c_0 = 0$ . Par conséquent, on a : $\boxed{\chi_A(X) = X^n}$ D'après le théorème de Cayley-Hamilton, $A^n = 0$ , donc $A$ est nilpotente.
Étude du faisceau
1. Soit $\lambda \in \Lambda$ . Par hypothèse, $M_\lambda = A + \lambda B$ est une matrice nilpotente de taille $n$ . On sait que l'indice de nilpotence d'une matrice de taille $n$ est inférieur ou égal à $n$ . D'où : $\boxed{\forall \lambda \in \Lambda, (A + \lambda B)^n = 0}$
2. Considérons la matrice $P(x) = (A + x B)^n$ . Chaque coefficient $[P(x)]_{i,j}$ de cette matrice est un polynôme en la variable $x$ . Déterminons le degré de ces polynômes. En développant le produit $(A+xB) \dots (A+xB)$ , on voit que chaque coefficient est une combinaison linéaire de termes de la forme $x^k$ , où $0 \le k \le n$ . Ainsi, pour tout $(i,j) \in \{1, \dots, n\}^2$ , $x \mapsto [P(x)]_{i,j}$ est un polynôme de degré au plus $n$ . Par hypothèse, ces polynômes s'annulent pour chaque $\lambda \in \Lambda$ . Comme $\Lambda$ contient au moins $n+1$ éléments distincts, ces polynômes possèdent plus de racines que leur degré. Ils sont donc tous identiquement nuls. On en conclut : $\boxed{\forall x \in \mathbb{C}, (A + x B)^n = 0}$ Ceci prouve que pour tout $x \in \mathbb{C}$ , la matrice $A+xB$ est nilpotente.
3. En utilisant le résultat précédent : Pour $x = 0$ , on obtient immédiatement $A^n = 0$ , donc $A$ est nilpotente. Pour $B$ , on peut examiner le terme de plus haut degré en $x$ dans le développement de $(A+xB)^n$ . $(A+xB)^n = x^n B^n + x^{n-1} (\dots) + \dots + A^n$ Puisque ce polynôme matriciel est nul pour tout $x$ , son coefficient dominant (en tant que polynôme à coefficients matriciels) est nul. Ainsi, $B^n = 0$ , donc $B$ est nilpotente.
Application L'ensemble $\Lambda = \{2^0, 2^1, \dots, 2^n\} = \{1, 2, 4, \dots, 2^n\}$ contient exactement $n+1$ valeurs distinctes. L'hypothèse nous dit que $A + \lambda B$ est nilpotente pour tout $\lambda \in \Lambda$ . D'après la question 2, cela suffit pour affirmer que $A$ et $B$ sont nilpotentes.

Une erreur classique consiste à croire que la somme de deux matrices nilpotentes est nilpotente. C'est faux en général (ex: les matrices de base $E_{1,2}$ et $E_{2,1}$ ). Ici, la conclusion provient du fait que la structure de nilpotence est préservée sur tout un "faisceau" de droites.