Autosimilitude et matrices nilpotentes

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\lambda$ un nombre complexe qui n'est pas une racine de l'unité (c'est-à-dire que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ , $\lambda^k \neq 1$ ).

On s'intéresse aux matrices $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telles que $M$ et $\lambda M$ sont semblables.

Montrer que cette propriété est vérifiée si, et seulement si, la matrice $M$ est nilpotente.

1.

Pour le sens direct, étudier l'action de la multiplication par $\lambda$ sur le spectre de $M$ .

2.

Utiliser la finitude du spectre pour en déduire que la seule valeur propre possible est 0.

3.

Pour la réciproque, on pourra utiliser le fait que toute matrice nilpotente est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte avec des coefficients spécifiques, ou raisonner sur la structure des endomorphismes nilpotents.

Idées clés

•

Invariance du spectre par similitude.

•

Étude d'une orbite multiplicative dans un ensemble fini (le spectre).

•

Caractérisation des matrices nilpotentes sur $\mathbb{C}$ par leur spectre.

1. Sens direct : Nécessité de la nilpotence.

Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telle que $M$ soit semblable à $\lambda M$ .

Deux matrices semblables ayant le même spectre, on en déduit que :

\mathrm{Sp}(M) = \mathrm{Sp}(\lambda M)

Or, par linéarité du déterminant, il est immédiat que $\mathrm{Sp}(\lambda M) = \{ \lambda \mu \mid \mu \in \mathrm{Sp}(M) \}$ . On a donc l'égalité d'ensembles :

\boxed{\mathrm{Sp}(M) = \lambda \mathrm{Sp}(M)}

Soit $\mu \in \mathrm{Sp}(M)$ . Par une récurrence immédiate, l'égalité précédente implique que :

\forall k \in \mathbb{N},   \lambda^k \mu \in \mathrm{Sp}(M)

L'ensemble des valeurs propres $\mathrm{Sp}(M)$ est un ensemble fini (il contient au plus $n$ éléments). Par conséquent, l'ensemble $\{ \lambda^k \mu \mid k \in \mathbb{N} \}$ doit être fini.

Si $\mu \neq 0$ , alors il existe deux entiers distincts $p$ et $q$ (supposons $p > q$ ) tels que :

\lambda^p \mu = \lambda^q \mu

En simplifiant par $\mu \neq 0$ et $\lambda^q$ (car $\lambda^k = 1 \implies \lambda \neq 0$ ), on obtient :

\lambda^{p-q} = 1

Ceci contredit l'hypothèse selon laquelle $\lambda$ n'est pas une racine de l'unité. Ainsi, la seule valeur propre possible pour $M$ est 0 :

\boxed{\mathrm{Sp}(M) = \{0\}}

Sur $\mathbb{C}$ , le polynôme caractéristique de $M$ est scindé. Puisque 0 est l'unique valeur propre, on a $\chi_M(X) = X^n$ . D'après le théorème de Cayley-Hamilton, $M^n = 0$ , donc $M$ est nilpotente.

2. Sens réciproque : Suffisance de la nilpotence.

Supposons $M$ nilpotente. Montrons que $M$ est semblable à $\lambda M$ pour tout $\lambda \in \mathbb{C}^*$ .

Il est connu que toute matrice nilpotente $M$ est semblable à une matrice diagonale par blocs $N = \mathrm{diag}(J_{n_1}, \dots, J_{n_k})$ où chaque bloc $J_r$ est une matrice de la forme :

J_r = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \vdots & \ddots & 1 & \ddots & \vdots \vdots & & \ddots & \ddots & 0 \vdots & & & \ddots & 1 0 & \dots & \dots & \dots & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_r(\mathbb{C})

Il suffit donc de montrer que $J_r$ est semblable à $\lambda J_r$ . Considérons la matrice de passage diagonale $P = \mathrm{diag}(1, \lambda, \lambda^2, \dots, \lambda^{r-1})$ . La matrice $P$ est inversible car $\lambda \neq 0$ .

Calculons les coefficients de $M' = P J_r P^{-1}$ . Par les règles de multiplication des matrices diagonales :

(M')_{i,j} = P_{i,i} (J_r)_{i,j} (P^{-1})_{j,j} = \lambda^{i-1} (J_r)_{i,j} \lambda^{-(j-1)} = \lambda^{i-j} (J_r)_{i,j}

Le coefficient $(J_r)_{i,j}$ est non nul (égal à 1) si et seulement si $j = i+1$ . Dans ce cas, $\lambda^{i-j} = \lambda^{-1}$ . On obtient donc :

P J_r P^{-1} = \lambda^{-1} J_r

Ceci prouve que $J_r$ est semblable à $\lambda^{-1} J_r$ pour tout $\lambda \neq 0$ . En changeant $\lambda$ en $\lambda^{-1}$ , on a bien $J_r$ semblable à $\lambda J_r$ .

Par concaténation des blocs, $M$ est semblable à $\lambda M$ .

L'argument sur le spectre ne suffit pas à prouver la similitude dans le sens réciproque ! Deux matrices peuvent avoir le même spectre (par exemple $\{0\}$ ) sans être semblables (par exemple la matrice nulle et un bloc de Jordan). Il faut donc utiliser une forme réduite ou un argument sur les rangs des puissances.