Similitude entre une matrice et ses multiples

Résolution.

1. Cas où $A \sim 2A$.
   1. Supposons que $A$ et $2A$ sont semblables. Leurs spectres sont donc identiques. Or, on sait que pour tout $\lambda \in \mathbb{C}$, $\text{Sp}(2A) = \{ 2\mu \mid \mu \in \text{Sp}(A) \}$. On a donc l'égalité d'ensembles :
      $$\boxed{\text{Sp}(A) = 2\text{Sp}(A)}$$

      Supposons qu'il existe $\lambda \in \text{Sp}(A)$ tel que $\lambda \neq 0$. Par une récurrence immédiate, on aurait :

      $$\forall k \in \mathbb{N},   2^k \lambda \in \text{Sp}(A)$$

      Comme $\lambda \neq 0$, les éléments de la suite $(2^k \lambda)_{k \in \mathbb{N}}$ sont tous distincts deux à deux. Cela impliquerait que le spectre de $A$ est infini, ce qui est impossible puisque $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ possède au plus $n$ valeurs propres distinctes. On en conclut que la seule valeur propre possible est $0$.

      $$\boxed{\text{Sp}(A) = \{0\}}$$

   2. Puisque le spectre de $A$ est réduit à $\{0\}$, son polynôme caractéristique est $\chi_A(X) = X^n$. D'après le théorème de Cayley-Hamilton, on a $\chi_A(A) = 0$, donc :
      $$\boxed{A^n = 0}$$
      La matrice $A$ est donc nilpotente.

2. Étude de l'ensemble $K$ pour une matrice non nilpotente.

   Soit $A$ non nilpotente. Son spectre contient au moins une valeur propre non nulle $\alpha \in \mathbb{C}^*$. Si $\lambda \in K$, alors $A$ et $\lambda A$ sont semblables, donc :

   $$\text{Sp}(A) = \text{Sp}(\lambda A) = \{ \lambda \mu \mid \mu \in \text{Sp}(A) \}$$

   En particulier, puisque $\alpha \in \text{Sp}(A)$, on doit avoir $\lambda \alpha \in \text{Sp}(A)$. Considérons l'application :

   $$\phi : K \longrightarrow \text{Sp}(A),   \lambda \longmapsto \lambda \alpha$$

   Puisque $\alpha \neq 0$, cette application est injective : $\lambda \alpha = \lambda' \alpha \implies \lambda = \lambda'$. L'ensemble $K$ est donc en bijection avec un sous-ensemble de $\text{Sp}(A)$. Comme $\text{Sp}(A)$ est un ensemble fini (de cardinal au plus $n$), on en déduit que :

   $$\boxed{\text{card}(K) \le n}$$
   L'ensemble $K$ est bien fini.

3. Réciproque : Cas où $A$ est nilpotente.

   Soit $A$ une matrice nilpotente et $\mu \in \mathbb{C}^*$. Nous voulons montrer que $A$ et $\mu A$ sont semblables. Une méthode consiste à utiliser le résultat suivant : deux matrices nilpotentes sont semblables si et seulement si elles ont les mêmes rangs pour toutes leurs puissances. Soit $k \in \{1, \dots, n\}$. On a :

   $$(\mu A)^k = \mu^k A^k$$

   Comme $\mu \neq 0$, on a aussi $\mu^k \neq 0$. La multiplication par un scalaire non nul ne modifie pas le rang d'une matrice. Ainsi :

   $$\forall k \in \mathbb{N},   \boxed{\text{rg}((\mu A)^k) = \text{rg}(A^k)}$$

   D'après le théorème de classification des endomorphismes nilpotents (souvent abordé via la réduction de Jordan ou l'étude des noyaux itérés), cette égalité des rangs des puissances successives suffit à garantir que $A$ et $\mu A$ sont semblables.

   Alternative (construction directe) : On peut décomposer l'espace en somme directe de sous-espaces cycliques $V_i$ de dimensions $d_i$. Sur chaque $V_i$, il existe une base $(e_1, \dots, e_{d_i})$ telle que $u(e_1)=0$ et $u(e_j)=e_{j-1}$ pour $j > 1$. En définissant $v$ par $v(e_j) = \mu^{j-1} e_j$, on vérifie que $u \circ v = \mu (v \circ u)$.