Endomorphismes préservant le groupe linéaire

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère un endomorphisme $\varphi$ de l'espace vectoriel $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ tel que l'image de toute matrice inversible par $\varphi$ est encore une matrice inversible :

\varphi(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})) \subset \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})

Montrer qu'une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ est nilpotente si, et seulement si, pour tout $\mu \in \mathbb{C}$ , la matrice $I_n - \mu A$ appartient à $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ .
Exhiber des exemples d'endomorphismes $\varphi$ vérifiant cette propriété.
Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ $M \in M_{n} (C)$ . On suppose que $\operatorname{rg}(M) < n$ $rg (M) < n$ .
1. Montrer qu'il existe une matrice $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ telle que pour tout $\lambda \in \mathbb{C}$ , $P - \lambda M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ .
2. En déduire que pour toute matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ , on a l'équivalence : $M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C}) \iff \varphi(M) \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$
Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ $M \in M_{n} (C)$ une matrice de rang $r$ $r$ .
1. Montrer qu'il existe $Q \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ tel que la matrice $Q - \lambda M$ soit non inversible pour exactement $r$ valeurs distinctes de $\lambda$ .
2. En déduire que pour tout $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ , on a $\operatorname{rg}(\varphi(M)) \geqslant \operatorname{rg}(M)$ .
Conclure que l'endomorphisme $\varphi$ conserve le rang, c'est-à-dire que pour tout $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ : $\operatorname{rg}(\varphi(M)) = \operatorname{rg}(M)$

1.

Pour la question 1, relier l'inversibilité de $I-\mu A$ (pour $\mu \neq 0$ ) au spectre de $A$ .

2.

Pour la question 3(a), utiliser le fait que toute matrice de rang $r < n$ est équivalente à une matrice strictement triangulaire supérieure bien choisie.

3.

Pour la question 3(b), montrer d'abord que $\varphi$ est un automorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .

4.

Pour la question 4(a), chercher $Q$ sous la forme $U D V$ où $D$ est diagonale et $U, V$ sont les matrices d'équivalence ramenant $M$ à sa forme canonique $J_r$ .

5.

Pour la question 5, appliquer le résultat de 4(b) à $\varphi$ et à $\varphi^{-1}$ .

Idées clés

•

Caractérisation spectrale de la nilpotence sur $\mathbb{C}$ .

•

Utilisation de la forme canonique de l'équivalence ( $J_r$ ) pour construire des matrices aux propriétés souhaitées.

•

Lien entre le degré du polynôme $\det(A + \lambda B)$ et le rang de $B$ .

Résolution.

Caractérisation de la nilpotence. Supposons $A$ nilpotente. Il existe $k \in \mathbb{N}^*$ tel que $A^k = 0$ . Alors $(\mu A)^k = 0$ . Par l'identité géométrique, pour tout $\mu \in \mathbb{C}$ : $(I_n - \mu A) \sum_{j=0}^{k-1} (\mu A)^j = I_n - (\mu A)^k = I_n$ Ainsi $I_n - \mu A$ est inversible. Réciproquement, supposons que $I_n - \mu A$ soit inversible pour tout $\mu \in \mathbb{C}$ . Si $\mu \neq 0$ , alors $I_n - \mu A = -\mu (A - \frac{1}{\mu} I_n)$ . Dire que cette matrice est inversible revient à dire que $1/\mu$ n'est pas valeur propre de $A$ . Ceci étant vrai pour tout $\mu \in \mathbb{C}^*$ , l'ensemble des valeurs propres de $A$ est inclus dans $\{0\}$ . Comme le polynôme caractéristique de $A$ est scindé sur $\mathbb{C}$ , on a nécessairement $\chi_A(X) = X^n$ . D'après le théorème de Cayley-Hamilton : $\boxed{A^n = 0}$
Exemples. On peut citer les applications de la forme $M \mapsto P M Q$ ou $M \mapsto P M^T Q$ où $P$ et $Q$ sont des matrices inversibles fixées. En effet, le produit de matrices inversibles est inversible, et la transposition conserve l'inversibilité.
Équivalence sur l'inversibilité.
1. Soit $M$ de rang $r < n$ . $M$ est équivalente à la matrice $N = \sum_{i=1}^r E_{i,i+1}$ qui est strictement triangulaire supérieure. Il existe donc $U, V \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ telles que $M = U N V$ . Posons $P = U V$ . $P$ est inversible car produit de matrices inversibles. Alors $P - \lambda M = U V - \lambda U N V = U (I_n - \lambda N) V$ . Comme $N$ est nilpotente, $I_n - \lambda N$ est inversible pour tout $\lambda$ d'après la question 1. Par produit, $\boxed{P - \lambda M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})}$ pour tout $\lambda \in \mathbb{C}$ .
2. Montrons d'abord que $\varphi$ est injective. Si $\varphi(M) = 0$ , alors pour toute matrice $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ , $\varphi(A + \lambda M) = \varphi(A) + \lambda \varphi(M) = \varphi(A) \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ . Or, si $M \neq 0$ , le polynôme $P(\lambda) = \det(A + \lambda M)$ n'est pas constant (son degré est $\operatorname{rg}(M) \ge 1$ pour un choix de $A$ bien fait), donc il s'annule pour au moins une valeur de $\lambda$ , contredisant l'inversibilité de $A+\lambda M$ . Ainsi $\ker(\varphi) = \{0\}$ et $\varphi$ est un automorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . Le sens $M \in \mathrm{GL}_n \implies \varphi(M) \in \mathrm{GL}_n$ est l'hypothèse. Réciproquement, supposons $M \notin \mathrm{GL}_n$ . Par 3(a), il existe $P \in \mathrm{GL}_n$ tel que $P - \lambda M$ est toujours inversible. Alors $\varphi(P - \lambda M) = \varphi(P) - \lambda \varphi(M)$ est toujours inversible par hypothèse sur $\varphi$ . En notant $A = \varphi(P) \in \mathrm{GL}_n$ , on a $A - \lambda \varphi(M)$ inversible pour tout $\lambda$ , soit $I_n - \lambda A^{-1}\varphi(M)$ inversible pour tout $\lambda$ . D'après 1., $A^{-1}\varphi(M)$ est nilpotente, donc non inversible. Comme $A$ est inversible, $\varphi(M)$ ne l'est pas. D'où : $\boxed{M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C}) \iff \varphi(M) \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})}$
Inégalité sur le rang.
1. Soient $U, V \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ tels que $M = U J_r V$ où $J_r = \sum_{i=1}^r E_{i,i}$ . Choisissons $D = \mathrm{diag}(d_1, \dots, d_n)$ une matrice diagonale avec $d_i$ non nuls et distincts. Posons $Q = U D V \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ . $Q - \lambda M = U (D - \lambda J_r) V$ . $\det(Q - \lambda M) = \det(U)\det(V) \prod_{i=1}^r (d_i - \lambda) \prod_{j=r+1}^n d_j$ . Ce polynôme en $\lambda$ possède exactement les $r$ racines distinctes $\{d_1, \dots, d_r\}$ . Ainsi, $Q - \lambda M$ est non inversible pour exactement $r$ valeurs de $\lambda$ .
2. D'après 3(b), $Q - \lambda M$ est non inversible si et seulement si $\varphi(Q) - \lambda \varphi(M)$ est non inversible. Le polynôme $P(\lambda) = \det(\varphi(Q) - \lambda \varphi(M))$ possède donc $r$ racines distinctes. C'est un polynôme non nul car $P(0) = \det(\varphi(Q)) \neq 0$ . Le degré de $P$ est donc au moins égal au nombre de ses racines, soit $\deg P \geqslant r$ . Or, par la formule du déterminant, le degré de $P$ est au plus le rang de la matrice $\varphi(M)$ . D'où $\boxed{\operatorname{rg}(\varphi(M)) \geqslant \operatorname{rg}(M)}$ .
Conservation du rang. Nous avons montré que $\varphi$ est un automorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et que $M \in \mathrm{GL}_n \iff \varphi(M) \in \mathrm{GL}_n$ . L'application $\varphi^{-1}$ vérifie donc les mêmes hypothèses que $\varphi$ . En appliquant le résultat de la question 4(b) à $\varphi^{-1}$ et à la matrice $M' = \varphi(M)$ , on obtient : $\operatorname{rg}(\varphi^{-1}(M')) \geqslant \operatorname{rg}(M') \implies \operatorname{rg}(M) \geqslant \operatorname{rg}(\varphi(M))$ Par double inégalité, on conclut : $\boxed{\forall M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), \operatorname{rg}(\varphi(M)) = \operatorname{rg}(M)}$

Une erreur classique est de penser que $\det(A + \lambda B)$ est un polynôme de degré exactement $n$ . En réalité, son degré est inférieur ou égal au rang de $B$ . C'est ce point crucial qui permet de lier le nombre de racines au rang de $\varphi(M)$ .