Caractérisation de la nilpotence par la trace

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ . Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes :

$M$ est une matrice nilpotente.
Pour tout entier $j \in \mathbb{N}^{*}$ , $\operatorname{Tr}\left(M^{j}\right)=0$ .
Pour tout entier $j \in\{1, \ldots, n\}$ , $\operatorname{Tr}\left(M^{j}\right)=0$ .

1.

Pour $(1) \implies (2)$ , utiliser le fait que toute matrice complexe est trigonalisable et examiner ses valeurs propres.

2.

Pour $(3) \implies (1)$ , introduire les valeurs propres distinctes non nulles de $M$ et aboutir à une contradiction en utilisant un système de Vandermonde ou les relations de Newton.

Idées clés

•

Lien entre la trace et les valeurs propres (somme des valeurs propres avec multiplicité).

•

Trigonalisation des matrices sur $\mathbb{C}$ .

•

Utilisation du système de Vandermonde pour l'étude des sommes de puissances.

Démonstration de (1) $\implies$ (2).

Soit $M$ une matrice nilpotente. Il existe un entier $p$ tel que $M^p = 0$ .

Le polynôme $X^p$ est donc un polynôme annulateur de $M$ . Par conséquent, l'unique valeur propre de $M$ dans $\mathbb{C}$ est $0$ .

Comme le polynôme caractéristique de $M$ est scindé sur $\mathbb{C}$ , la matrice $M$ est trigonalisable. Il existe $P \in GL_n(\mathbb{C})$ et une matrice triangulaire supérieure $T$ telles que :

M = P T P^{-1}

Les éléments diagonaux de $T$ sont les valeurs propres de $M$ , donc ils sont tous nuls. La matrice $T^j$ est également triangulaire supérieure avec des zéros sur la diagonale pour tout $j \in \mathbb{N}^*$ .

Par propriété de la trace (invariance par similitude) :

\operatorname{Tr}(M^j) = \operatorname{Tr}(T^j)

D'où le résultat :

\boxed{\forall j \in \mathbb{N}^*,   \operatorname{Tr}(M^j) = 0}

Démonstration de (2) $\implies$ (3).

Cette implication est immédiate car l'ensemble $\{1, \dots, n\}$ est inclus dans $\mathbb{N}^*$ .

Démonstration de (3) $\implies$ (1).

Soient $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ les valeurs propres de $M$ comptées avec multiplicité. On sait que pour tout entier $j$ , $\operatorname{Tr}(M^j) = \sum_{k=1}^n \lambda_k^j$ .

Supposons que $M$ ne soit pas nilpotente. Alors $M$ possède au moins une valeur propre non nulle.

Soient $\mu_1, \mu_2, \dots, \mu_p$ les valeurs propres **distinctes et non nulles** de $M$ , avec $1 \le p \le n$ . Notons $m_1, m_2, \dots, m_p$ leurs multiplicités respectives ( $m_i \ge 1$ ).

L'hypothèse (3) se traduit par le système suivant pour $j \in \{1, \dots, p\}$ :

\sum_{i=1}^p m_i \mu_i^j = 0

On peut écrire ce système sous forme matricielle :

\begin{pmatrix} \mu_1 & \mu_2 & \dots & \mu_p \mu_1^2 & \mu_2^2 & \dots & \mu_p^2 \vdots & \vdots & & \vdots \mu_1^p & \mu_2^p & \dots & \mu_p^p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m_1 m_2 \vdots m_p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 0 \vdots 0 \end{pmatrix}

En factorisant chaque colonne par $\mu_i$ (qui est non nul), on obtient :

\begin{pmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \mu_1 & \mu_2 & \dots & \mu_p \vdots & \vdots & & \vdots \mu_1^{p-1} & \mu_2^{p-1} & \dots & \mu_p^{p-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m_1 \mu_1 m_2 \mu_2 \vdots m_p \mu_p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 0 \vdots 0 \end{pmatrix}

La matrice de ce système est une matrice de Vandermonde associée aux complexes distincts $\mu_1, \dots, \mu_p$ . Elle est donc inversible.

Ceci implique que pour tout $i \in \{1, \dots, p\}$ :

m_i \mu_i = 0

Comme $m_i \ge 1$ , on en déduit que $\mu_i = 0$ pour tout $i$ , ce qui contredit l'hypothèse que les $\mu_i$ sont non nuls.

Ainsi, toutes les valeurs propres de $M$ sont nulles. Le polynôme caractéristique de $M$ est donc $\chi_M(X) = X^n$ .

D'après le théorème de Cayley-Hamilton :

\boxed{M^n = 0}

La matrice $M$ est donc bien nilpotente.

Attention à ne pas oublier que la condition $\operatorname{Tr}(M)=0$ seule ne suffit pas à garantir la nilpotence. Par exemple, pour $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 0 & -1 \end{pmatrix}$ , on a $\operatorname{Tr}(M)=0$ mais $M^2 = I$ . Il faut impérativement tester les $n$ premières puissances.