Caractérisation de la nilpotence par les traces

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $p \in \mathbb{N}^*$ . On considère une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .

On suppose que les traces des puissances de $M$ suivantes sont nulles :

\forall j \in \{1, \dots, n\},   \operatorname{Tr}\left(M^{p j}\right)=0

Démontrer que la matrice $M$ est nilpotente.

1.

Traiter d'abord le cas $p=1$ en utilisant le lien entre les sommes de Newton et les polynômes symétriques élémentaires.

2.

Relier les valeurs propres de $M$ à celles de $M^{pj}$ .

3.

Utiliser le fait qu'une matrice complexe est nilpotente si et seulement si toutes ses valeurs propres sont nulles.

Idées clés

•

Lien entre trace et valeurs propres : $\operatorname{Tr}(A^k) = \sum \lambda_i^k$ .

•

Identités de Newton reliant les sommes de puissance $S_k$ aux fonctions symétriques élémentaires $e_k$ .

•

Caractérisation spectrale de la nilpotence sur $\mathbb{C}$ .

Étape 1 : Analyse spectrale.

Soient $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ les valeurs propres de $M$ comptées avec multiplicité dans $\mathbb{C}$ .

On sait que pour tout entier $k \in \mathbb{N}^*$ , les valeurs propres de la matrice $M^k$ sont exactement les $\lambda_i^k$ pour $i \in \{1, \dots, n\}$ .

La trace d'une matrice étant égale à la somme de ses valeurs propres, l'hypothèse de l'énoncé se traduit par :

\forall j \in \{1, \dots, n\},   \sum_{i=1}^n (\lambda_i^p)^j = 0

Étape 2 : Utilisation des sommes de Newton.

Posons, pour chaque $i \in \{1, \dots, n\}$ , $x_i = \lambda_i^p$ .

L'hypothèse devient alors :

\forall j \in \{1, \dots, n\},   S_j = \sum_{i=1}^n x_i^j = 0

Considérons le polynôme $P(X) = \prod_{i=1}^n (X - x_i)$ . Ce polynôme se développe sous la forme :

P(X) = X^n - e_1 X^{n-1} + e_2 X^{n-2} + \dots + (-1)^n e_n

où les $e_k$ sont les polynômes symétriques élémentaires en $x_1, \dots, x_n$ .

D'après les relations de Newton, pour tout $k \in \{1, \dots, n\}$ , on a :

S_k - e_1 S_{k-1} + e_2 S_{k-2} + \dots + (-1)^{k-1} e_{k-1} S_1 + (-1)^k k e_k = 0

Comme $S_1 = S_2 = \dots = S_n = 0$ , une récurrence immédiate montre que :

\forall k \in \{1, \dots, n\},   e_k = 0

Étape 3 : Conclusion sur la nilpotence.

Le polynôme $P$ est donc réduit à :

\boxed{ P(X) = X^n }

Ses racines étant les $x_i$ , on en déduit que pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ , $x_i = 0$ .

Or, $x_i = \lambda_i^p$ , donc :

\forall i \in \{1, \dots, n\},   \lambda_i = 0

Toutes les valeurs propres de $M$ sont nulles.

Puisque $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ , son polynôme caractéristique $\chi_M$ est scindé et vaut :

\boxed{ \chi_M(X) = X^n }

D'après le théorème de Cayley-Hamilton, on a $\chi_M(M) = 0$ , ce qui signifie :

\boxed{ M^n = 0 }

La matrice $M$ est donc nilpotente.

L'hypothèse sur les traces doit porter sur les $n$ premières puissances (ici multiples de $p$ ). Si on n'avait l'information que pour un nombre de puissances inférieur à $n$ , on ne pourrait pas conclure.