Caractérisation de la nilpotence par les traces

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ une matrice carrée.

Dans cette question, on suppose que $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ . Montrer que $A$ est nilpotente si et seulement si : $\forall k \in \{1, \dots, n\}, \operatorname{Tr}(A^k) = 0$
Le résultat précédent reste-t-il vrai si l'on suppose seulement que $\mathbb{K}$ est un sous-corps de $\mathbb{C}$ (par exemple $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{Q}$ ) ?
On suppose ici que $\mathbb{K}$ est un corps de caractéristique nulle. Montrer que la propriété de la question 1 demeure valide.
Contre-exemple en caractéristique finie. On considère le corps $\mathbb{K} = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ avec $p$ un nombre premier. Montrer que le résultat est mis en défaut en exhibant une matrice de $\mathcal{M}_p(\mathbb{K})$ non nilpotente dont les traces des premières puissances sont nulles.

1.

Pour le sens direct, utiliser le fait que toute matrice complexe est trigonalisable.

2.

Pour le sens réciproque, exprimer la trace en fonction des valeurs propres $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ . Si certaines valeurs propres sont non nulles, utiliser un système de Vandermonde ou des polynômes d'interpolation de Lagrange pour aboutir à une contradiction.

3.

Pour le cas d'un sous-corps, remarquer que la nilpotence et la trace ne dépendent pas du corps d'extension.

4.

En caractéristique $p$ , considérer la matrice identité $I_p$ et calculer sa trace.

Idées clés

•

Lien entre trace et valeurs propres (somme des $\lambda_i^k$ ).

•

Trigonalisation sur $\mathbb{C}$ .

•

Utilisation de l'inversibilité de la matrice de Vandermonde.

•

Distinction entre caractéristique nulle et caractéristique $p$ .

1. Cas du corps des complexes.

$(\implies)$ Supposons $A$ nilpotente. Le corps $\mathbb{C}$ étant algébriquement clos, $A$ est trigonalisable. Comme $A$ est nilpotente, sa seule valeur propre est 0.

Ainsi, $A$ est semblable à une matrice triangulaire supérieure $T$ dont la diagonale est constituée uniquement de zéros. Pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ , $T^k$ est encore une matrice triangulaire à diagonale nulle.

Par conséquent :

\forall k \in \{1, \dots, n\},   \operatorname{Tr}(A^k) = \operatorname{Tr}(T^k) = 0

$(\impliedby)$ Supposons que $\forall k \in \{1, \dots, n\}, \operatorname{Tr}(A^k) = 0$ . Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ les valeurs propres distinctes et non nulles de $A$ , et $m_1, \dots, m_p$ leurs multiplicités respectives. Si $A$ n'est pas nilpotente, il existe au moins une valeur propre non nulle, donc $p \geq 1$ .

La trace de $A^k$ s'exprime par :

\operatorname{Tr}(A^k) = \sum_{j=1}^p m_j \lambda_j^k = 0

En écrivant ces relations pour $k$ allant de 1 à $p$ , on obtient le système linéaire suivant :

\begin{pmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 & \dots & \lambda_p \lambda_1^2 & \lambda_2^2 & \dots & \lambda_p^2 \vdots & \vdots & & \vdots \lambda_1^p & \lambda_2^p & \dots & \lambda_p^p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m_1 m_2 \vdots m_p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 0 \vdots 0 \end{pmatrix}

On peut factoriser chaque colonne par $\lambda_j \neq 0$ pour faire apparaître une matrice de Vandermonde $V$ :

\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \lambda_1 & \lambda_2 & \dots & \lambda_p \vdots & \vdots & & \vdots \lambda_1^{p-1} & \lambda_2^{p-1} & \dots & \lambda_p^{p-1} \end{pmatrix}}_{V} \begin{pmatrix} m_1 \lambda_1 m_2 \lambda_2 \vdots m_p \lambda_p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 0 \vdots 0 \end{pmatrix}

Comme les $\lambda_j$ sont distincts, la matrice de Vandermonde $V$ est inversible. On en déduit que pour tout $j \in \{1, \dots, p\}$ , $m_j \lambda_j = 0$ .

Or $m_j \in \mathbb{N}^*$ et $\lambda_j \neq 0$ , ce qui est absurde. Il n'existe donc aucune valeur propre non nulle. Le spectre de $A$ est réduit à $\{0\}$ , et $A$ étant dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ , elle est nilpotente.

\boxed{A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \text{ est nilpotente} \iff \forall k \in \{1, \dots, n\}, \operatorname{Tr}(A^k) = 0}

2. Cas d'un sous-corps de $\mathbb{C$ $C$ .}

Soit $K$ un sous-corps de $\mathbb{C}$ (par exemple $\mathbb{R}$ ). Si $A \in \mathcal{M}_n(K)$ , on peut la considérer comme une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .

La condition $\operatorname{Tr}(A^k) = 0$ ne dépend pas du corps de base. D'après la question précédente, $A$ est nilpotente dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .

Cela signifie qu'il existe $m \in \mathbb{N}$ tel que $A^m = 0$ . Cette égalité est vraie que l'on considère $A$ sur $K$ ou sur $\mathbb{C}$ . Donc $A$ est nilpotente dans $\mathcal{M}_n(K)$ .

3. Cas d'un corps de caractéristique nulle.

Soit $\mathbb{K}$ de caractéristique nulle. Le raisonnement par les valeurs propres peut s'adapter en se plaçant dans un corps de décomposition du polynôme caractéristique (ou en utilisant les sommes de Newton).

Une autre méthode consiste à utiliser les relations de Newton entre les traces $s_k = \operatorname{Tr}(A^k)$ et les coefficients $e_k$ du polynôme caractéristique $\chi_A(X) = X^n + \sum_{k=1}^n (-1)^k e_k X^{n-k}$ . Les relations de Newton s'écrivent :

\forall k \in \{1, \dots, n\},   k e_k = \sum_{j=1}^k (-1)^{j-1} e_{k-j} s_j

Si $s_j = 0$ pour tout $j \in \{1, \dots, n\}$ , alors par récurrence immédiate :

\forall k \in \{1, \dots, n\},   k e_k = 0

Comme $\mathbb{K}$ est de caractéristique nulle, l'entier $k$ est inversible dans $\mathbb{K}$ , donc $e_k = 0$ . Le polynôme caractéristique de $A$ est alors $\chi_A(X) = X^n$ .

D'après le théorème de Cayley-Hamilton, $A^n = 0$ , donc $A$ est nilpotente.

\boxed{\operatorname{car}(\mathbb{K}) = 0 \implies (A \text{ nilpotente} \iff \forall k \in \{1, \dots, n\}, \operatorname{Tr}(A^k) = 0)}

4. Contre-exemple en caractéristique $p$ .

Soit $\mathbb{K} = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ et $A = I_p \in \mathcal{M}_p(\mathbb{K})$ . La matrice $I_p$ n'est pas nilpotente car $I_p^k = I_p \neq 0$ pour tout $k \geq 1$ .

Cependant, calculons ses traces :

\operatorname{Tr}(I_p^k) = \operatorname{Tr}(I_p) = \sum_{i=1}^p 1 = p \cdot 1

Dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ , on a $p \cdot 1 = 0$ . Ainsi :

\forall k \in \mathbb{N}^*,   \operatorname{Tr}(I_p^k) = 0

L'erreur classique est d'oublier que l'implication $m_j \lambda_j = 0 \implies \lambda_j = 0$ n'est vraie que si $m_j$ est inversible dans le corps. En caractéristique $p$ , si $m_j$ est un multiple de $p$ , cette conclusion tombe.