Spectre de matrices définies par blocs récurrents

Soit $A = \begin{pmatrix} a & b c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})$ une matrice diagonalisable sur $\mathbb{K}$ . On note $\lambda_1$ et $\lambda_2$ ses deux valeurs propres (éventuellement confondues).

On définit par récurrence la suite de matrices $(A_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ par :

A_1 = A   \text{et}   \forall n \in \mathbb{N}^*, \ A_{n+1} = \begin{pmatrix} a A_n & b A_n c A_n & d A_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2^{n+1}}(\mathbb{K})

Établir une relation entre le polynôme caractéristique de $A_{n+1}$ et celui de $A_n$ .
En déduire l'ensemble des valeurs propres de $A_n$ en fonction de $\lambda_1, \lambda_2$ et $n$ .
Montrer que si $A$ est diagonalisable, alors $A_n$ est diagonalisable pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ .
Application : On considère la matrice $H = \begin{pmatrix} 1 & 1 1 & -1 \end{pmatrix}$ . Déterminer les valeurs propres de la matrice $H_n$ associée à cette suite (avec $H_1 = H$ ).

1.

Pour la question 1, utiliser le calcul du déterminant par blocs pour des matrices dont les blocs commutent. Remarquer que tous les blocs de $X I - A_{n+1}$ sont des polynômes en $A_n$ .

2.

Pour la question 3, on pourra utiliser une matrice de passage par blocs construite à partir de celle qui diagonalise $A$ .

3.

Pour l'application, calculer d'abord les valeurs propres de $H$ et vérifier que $H$ est diagonalisable.

Idées clés

•

Calcul de déterminant par blocs avec commutation.

•

Lien entre spectre et racines du polynôme caractéristique.

•

Stabilité de la diagonalisabilité par produit de Kronecker (ici traité par blocs).

Résolution.

Soit $\chi_n(X) = \det(X I_{2^n} - A_n)$ le polynôme caractéristique de $A_n$ . Pour $A_{n+1}$ , on a : $\chi_{n+1}(X) = \det \begin{pmatrix} X I_{2^n} - a A_n & -b A_n -c A_n & X I_{2^n} - d A_n \end{pmatrix}$
Les quatre blocs sont des polynômes en $A_n$ , ils commutent donc deux à deux. On peut appliquer la formule du déterminant par blocs :
$\chi_{n+1}(X) = \det \left( (X I - a A_n)(X I - d A_n) - (-b A_n)(-c A_n) \right)$
En développant l'expression à l'intérieur du déterminant, on obtient :
$\chi_{n+1}(X) = \det \left( X^2 I - (a+d) X A_n + (ad-bc) A_n^2 \right)$
On reconnaît les coefficients de la matrice $A$ : $\text{Tr}(A) = a+d = \lambda_1 + \lambda_2$ et $\det(A) = ad-bc = \lambda_1 \lambda_2$ . Ainsi :
$\chi_{n+1}(X) = \det \left( X^2 I - (\lambda_1 + \lambda_2) X A_n + \lambda_1 \lambda_2 A_n^2 \right)$
L'expression est de la forme $\det(P_X(A_n))$ où $P_X(T) = X^2 - (\lambda_1 + \lambda_2) X T + \lambda_1 \lambda_2 T^2$ . Or, les valeurs propres de $P_X(A_n)$ sont les $P_X(\mu)$ où $\mu \in \text{Sp}(A_n)$ . Donc :
$\boxed{\chi_{n+1}(X) = \prod_{\mu \in \text{Sp}(A_n)} (X^2 - (\lambda_1 + \lambda_2) \mu X + \lambda_1 \lambda_2 \mu^2)^{m_\mu}}$
Factorisons le trinôme : $X^2 - (\lambda_1 + \lambda_2) \mu X + \lambda_1 \lambda_2 \mu^2 = (X - \lambda_1 \mu)(X - \lambda_2 \mu)$ . D'après la question précédente, les racines de $\chi_{n+1}$ sont les $\lambda_1 \mu$ et $\lambda_2 \mu$ pour $\mu \in \text{Sp}(A_n)$ . Par récurrence, si $\text{Sp}(A_1) = \{\lambda_1, \lambda_2\}$ , alors : $\text{Sp}(A_n) = \{ \lambda_1^k \lambda_2^{n-k} \mid k \in \{0, \dots, n\} \}$
Supposons $A$ diagonalisable. Il existe $P = \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} p_{21} & p_{22} \end{pmatrix} \in \text{GL}_2(\mathbb{K})$ telle que $P^{-1}AP = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2)$ . Posons $\mathcal{Q}_n = \begin{pmatrix} p_{11} I_{2^n} & p_{12} I_{2^n} p_{21} I_{2^n} & p_{22} I_{2^n} \end{pmatrix}$ . On vérifie que $\mathcal{Q}_n$ est inversible et que : $\mathcal{Q}_n^{-1} A_{n+1} \mathcal{Q}_n = \begin{pmatrix} \lambda_1 A_n & 0 0 & \lambda_2 A_n \end{pmatrix}$
Si $A_n$ est diagonalisable, alors $\lambda_1 A_n$ et $\lambda_2 A_n$ le sont aussi. Une matrice diagonale par blocs dont les blocs sont diagonalisables est elle-même diagonalisable. Par récurrence, comme $A_1 = A$ est diagonalisable, toutes les matrices $A_n$ le sont.
Pour $H = \begin{pmatrix} 1 & 1 1 & -1 \end{pmatrix}$ , le polynôme caractéristique est $X^2 - 2$ , donc $\lambda_1 = \sqrt{2}$ et $\lambda_2 = -\sqrt{2}$ . L'ensemble des valeurs propres est : $\text{Sp}(H_n) = \{ (\sqrt{2})^k (-\sqrt{2})^{n-k} \mid k \in \{0, \dots, n\} \}$
Remarquons que $(\sqrt{2})^k (-\sqrt{2})^{n-k} = (\sqrt{2})^n (-1)^{n-k}$ . Pour toute valeur de $k \in \{0, \dots, n\}$ , le terme $(-1)^{n-k}$ vaut soit $1$ , soit $-1$ . Ainsi, le spectre est réduit à deux valeurs (si $n \ge 1$ ) :
$\boxed{\text{Sp}(H_n) = \{ \sqrt{2}^n, -\sqrt{2}^n \}}$

Attention à ne pas utiliser la formule du déterminant par blocs $\det \begin{pmatrix} A & B C & D \end{pmatrix} = \det(AD-BC)$ sans justifier que les blocs commutent. Ici, $A_n$ commute évidemment avec lui-même et avec l'identité.