CNS pour la réduction d'une matrice par blocs

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . On considère la matrice par blocs $M$ définie par :

M = \begin{pmatrix} 0_n & I_n A & A \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})

Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $A$ pour que $M$ soit diagonalisable sur $\mathbb{C}$ .
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $A$ pour que $M$ soit diagonalisable sur $\mathbb{R}$ .

1.

Commencer par relier les valeurs propres de $M$ à celles de $A$ . On pourra chercher les vecteurs propres de $M$ sous la forme $\begin{pmatrix} X Y \end{pmatrix}$ .

2.

Montrer que si $M$ est diagonalisable, alors $A$ est nécessairement diagonalisable en exprimant une matrice diagonale par blocs contenant $A$ comme une fonction de $M$ .

3.

Utiliser le fait qu'une matrice est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples.

4.

Pour le cas réel, s'assurer que les valeurs propres de $M$ calculées à partir de celles de $A$ sont bien réelles et distinctes.

Idées clés

•

Lien entre les spectres de $M$ et de $A$ via l'équation aux valeurs propres.

•

Utilisation de la structure par blocs pour ramener le problème à l'étude de matrices de taille $2 \times 2$ .

•

CNS de diagonalisabilité : polynôme minimal scindé à racines simples.

1. Étude de la diagonalisabilité sur $\mathbb{C$ $C$ }

Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ une valeur propre de $M$ et $V = \begin{pmatrix} X Y \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^{2n} \setminus \{0\}$ un vecteur propre associé. L'équation $MV = \lambda V$ se traduit par le système :

\begin{cases} Y = \lambda X AX + AY = \lambda Y \end{cases}

En substituant la première équation dans la seconde, on obtient :

AX + A(\lambda X) = \lambda^2 X \iff (1+\lambda) AX = \lambda^2 X

Si $\lambda = -1$ , alors l'équation devient $0 = X$ , d'où $Y = -X = 0$ , ce qui contredit $V \neq 0$ . Ainsi, $-1$ n'est jamais valeur propre de $M$ , et l'on peut écrire :

AX = \frac{\lambda^2}{1+\lambda} X

Ceci montre que $X$ est un vecteur propre de $A$ pour la valeur propre $\mu = \frac{\lambda^2}{1+\lambda}$ . Réciproquement, si $\mu \in \text{Sp}(A)$ , les valeurs propres $\lambda$ de $M$ associées vérifient :

\lambda^2 - \mu\lambda - \mu = 0

Supposons $M$ diagonalisable sur $\mathbb{C}$ . Alors son polynôme minimal est scindé à racines simples. Comme $M^2 = \begin{pmatrix} A & A A^2 & A+A^2 \end{pmatrix}$ et $M+I = \begin{pmatrix} I & I A & A+I \end{pmatrix}$ , on vérifie par un calcul direct que :

(M+I) \begin{pmatrix} A & 0 0 & A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & A A^2 & A^2+A \end{pmatrix} = M^2

Puisque $-1 \notin \text{Sp}(M)$ , la matrice $M+I$ est inversible et :

\begin{pmatrix} A & 0 0 & A \end{pmatrix} = (M+I)^{-1} M^2

Le membre de droite est un polynôme en $M$ . Or, si $M$ est diagonalisable, tout polynôme en $M$ l'est aussi. Ceci implique que la matrice bloc-diagonale $\text{diag}(A, A)$ est diagonalisable, et donc $A$ est diagonalisable.

Pour que $M$ soit diagonalisable, il faut de plus que pour chaque $\mu \in \text{Sp}(A)$ , les racines de $X^2 - \mu X - \mu$ soient distinctes. En effet, si une valeur propre $\mu$ donne une racine double $\lambda$ , le bloc de taille 2 correspondant dans la réduction ne sera pas diagonalisable (car non scalaire). Le discriminant de $X^2 - \mu X - \mu$ est :

\Delta_\mu = \mu^2 + 4\mu = \mu(\mu+4)

Ce discriminant est nul si et seulement si $\mu = 0$ ou $\mu = -4$ .

\boxed{M \text{ est } \mathbb{C}\text{-diagonalisable} \iff A \text{ est } \mathbb{C}\text{-diagonalisable et } \{0, -4\} \cap \text{Sp}(A) = \emptyset}

2. Étude de la diagonalisabilité sur $\mathbb{R$ $R$ }

Pour que $M$ soit diagonalisable sur $\mathbb{R}$ , il est nécessaire qu'elle le soit sur $\mathbb{C}$ . D'après la question précédente, $A$ doit être diagonalisable sur $\mathbb{R}$ (car ses valeurs propres doivent être réelles pour que celles de $M$ le soient).

De plus, pour chaque $\mu \in \text{Sp}(A)$ , les racines $\lambda$ du trinôme $X^2 - \mu X - \mu$ doivent être réelles et distinctes. Cela impose que le discriminant soit strictement positif :

\Delta_\mu = \mu(\mu+4) > 0

L'étude du signe du trinôme $\mu \mapsto \mu^2 + 4\mu$ montre que cette condition est réalisée si et seulement si :

\mu \in ]-\infty, -4[ \cup ]0, +\infty[

On en conclut la condition nécessaire et suffisante :

\boxed{M \text{ est } \mathbb{R}\text{-diagonalisable} \iff A \text{ est } \mathbb{R}\text{-diag et } \text{Sp}(A) \subset ]-\infty, -4[ \cup ]0, +\infty[}

L'erreur classique consiste à oublier de justifier que $A$ doit être diagonalisable. Il ne suffit pas de travailler sur les valeurs propres de $M$ ; il faut assurer que la dimension des sous-espaces propres de $M$ est suffisante, ce qui est directement lié à la diagonalisabilité de $A$ .