Surjectivité de l'exponentielle complexe

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Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On note $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ l'algèbre des matrices carrées complexes et $GL_n(\mathbb{C})$ le groupe des matrices inversibles.

Soit $N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ une matrice nilpotente. Pour tout $t \in \mathbb{R}$ , on définit la matrice : $D(t) = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^{k-1}}{k} t^k N^k$ Montrer que pour tout $t \in \mathbb{R}$ , on a $\exp(D(t)) = I_n + tN$ .
Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ une matrice dont la seule valeur propre est $1$ . Montrer qu'il existe une matrice nilpotente $A$ telle que $M = \exp(A)$ .
En déduire que l'image de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ par l'application exponentielle est exactement $GL_n(\mathbb{C})$ .

1.

Pour la question 1, on pourra poser $S(t) = \exp(D(t))$ et étudier ses dérivées successives en remarquant que $(I_n + tN)D'(t) = N$ .

2.

Pour la question 2, remarquer que $M - I_n$ est nilpotente et utiliser le résultat précédent.

3.

Pour la question 3, utiliser la décomposition en blocs via le lemme des noyaux appliqué au polynôme caractéristique (ou la décomposition de Dunford) pour se ramener à l'étude de blocs de la forme $\lambda I + N$ .

Idées clés

•

Lien entre logarithme formel et exponentielle pour les matrices nilpotentes.

•

Utilisation du calcul différentiel matriciel (matrices commutant avec leur dérivée).

•

Réduction par blocs (lemme des noyaux) pour généraliser le résultat local à $GL_n(\mathbb{C})$ .

Résolution.

Soit $N$ $N$ nilpotente. Notons que $N^n = 0$ $N^{n} = 0$ , donc la somme définissant $D(t)$ $D (t)$ est finie. On pose $S(t) = \exp(D(t))$ $S (t) = exp (D (t))$ . Puisque $D(t)$ $D (t)$ est un polynôme en $N$ $N$ , toutes les matrices $D(t)$ $D (t)$ , $D'(t)$ $D^{'} (t)$ et $S(t)$ $S (t)$ commutent entre elles. Calculons la dérivée de $D(t)$ $D (t)$ :
$D'(t) = \sum_{k=1}^{n-1} (-1)^{k-1} t^{k-1} N^k = N \sum_{k=0}^{n-2} (-tN)^k$
On reconnaît une somme géométrique. Comme $(-tN)^{n-1} \cdot N = t^{n-1} N^n = 0$ $(- tN)^{n - 1} \cdot N = t^{n - 1} N^{n} = 0$ , on peut écrire :
$(I_n + tN) D'(t) = N(I_n + tN) \sum_{k=0}^{n-2} (-tN)^k = N(I_n - (-tN)^{n-1}) = N$
On a donc la relation fondamentale :
$\boxed{(I_n + tN) D'(t) = N}$
Dérivons $S(t)$ $S (t)$ . Comme $D(t)$ $D (t)$ et $D'(t)$ $D^{'} (t)$ commutent, on a $S'(t) = D'(t) S(t)$ $S^{'} (t) = D^{'} (t) S (t)$ . En multipliant par $(I_n + tN)$ $(I_{n} + tN)$ :
$(I_n + tN) S'(t) = (I_n + tN) D'(t) S(t) = N S(t)$
Dérivons à nouveau cette égalité par rapport à $t$ $t$ :
$N S'(t) + (I_n + tN) S''(t) = N S'(t)$
D'où $(I_n + tN) S''(t) = 0$ $(I_{n} + tN) S^{''} (t) = 0$ . Or, la matrice $I_n + tN$ $I_{n} + tN$ est inversible (ses valeurs propres sont toutes égales à $1$ $1$ car $tN$ $tN$ est nilpotente). Ainsi, $S''(t) = 0$ $S^{''} (t) = 0$ . La fonction $S$ $S$ est donc affine. Il existe $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ $A, B \in M_{n} (C)$ telles que $S(t) = tA + B$ $S (t) = t A + B$ .
- $S(0) = \exp(D(0)) = \exp(0) = I_n$ , donc $B = I_n$ .
- $S'(0) = D'(0) S(0) = N \cdot I_n = N$ , donc $A = N$ .
On en conclut :
$\boxed{\forall t \in \mathbb{R}, \exp(D(t)) = I_n + tN}$
Soit $M$ telle que $Sp(M) = \{1\}$ . Son polynôme caractéristique est $\chi_M = (X-1)^n$ . D'après le théorème de Cayley-Hamilton, $(M-I_n)^n = 0$ . La matrice $N = M - I_n$ est donc nilpotente. En appliquant le résultat de la question 1 avec $t=1$ , on a : $\exp(D(1)) = I_n + N = M$ La matrice $A = D(1)$ est nilpotente car c'est un polynôme en $N$ sans terme constant. $\boxed{M = \exp(A) \text{ avec } A = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^{k-1}}{k} (M-I_n)^k}$
Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . On sait que $\exp(M) \in GL_n(\mathbb{C})$ car $\det(\exp(M)) = e^{Tr(M)} \neq 0$ . Réciproquement, soit $M \in GL_n(\mathbb{C})$ . Le polynôme caractéristique de $M$ est scindé sur $\mathbb{C}$ : $\chi_M = \prod_{j=1}^p (X - \lambda_j)^{n_j}$ Par le lemme des noyaux, $\mathbb{C}^n = \bigoplus_{j=1}^p \ker(M - \lambda_j I)^{n_j}$ . Dans une base adaptée à cette décomposition, $M$ est semblable à une matrice diagonale par blocs : $P^{-1} M P = \begin{pmatrix} M_1 & & 0 & \ddots & 0 & & M_p \end{pmatrix}$ Chaque bloc $M_j$ possède une unique valeur propre $\lambda_j \neq 0$ (car $M$ est inversible). On peut écrire $M_j = \lambda_j (I_{n_j} + N_j)$ avec $N_j = \frac{1}{\lambda_j} M_j - I_{n_j}$ nilpotente. D'après la question 2, il existe $A_j$ nilpotente telle que $I_{n_j} + N_j = \exp(A_j)$ . Puisque $\lambda_j \in \mathbb{C}^*$ , il existe $\alpha_j \in \mathbb{C}$ tel que $\lambda_j = e^{\alpha_j}$ . Alors : $M_j = e^{\alpha_j} I_{n_j} \exp(A_j) = \exp(\alpha_j I_{n_j}) \exp(A_j)$ Comme $\alpha_j I_{n_j}$ et $A_j$ commutent, $M_j = \exp(\alpha_j I_{n_j} + A_j)$ . En posant $B = \text{diag}(\alpha_1 I_{n_1} + A_1, \dots, \alpha_p I_{n_p} + A_p)$ , on a par calcul par blocs : $P^{-1} M P = \exp(B) \implies M = P \exp(B) P^{-1} = \exp(P B P^{-1})$ L'exponentielle est donc une surjection de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ vers $GL_n(\mathbb{C})$ . $\boxed{\exp(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})) = GL_n(\mathbb{C})}$

Attention, l'égalité $\exp(A+B) = \exp(A)\exp(B)$ n'est vraie que si $A$ et $B$ commutent. C'est pour cela qu'il est crucial de noter que $\alpha_j I$ commute avec $A_j$ à la question 3.