Caractérisation des matrices cubes dans M3(R)

_3(\mathbb{R})$}

Soit l'application $\Phi : \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ définie par $\Phi(M) = M^{3}$ pour toute matrice $M \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ .

Déterminer l'image de l'application $\Phi$ .

1.

Commencer par traiter le cas des matrices diagonalisables en utilisant la surjectivité de la fonction $x \mapsto x^3$ sur $\mathbb{R}$ .

2.

Étudier le cas des matrices inversibles. On pourra utiliser la décomposition de Dunford (ou une réduction adaptée) et chercher une racine sous la forme $\alpha(I+N)^{1/3}$ en utilisant un développement limité.

3.

Pour les matrices ayant des valeurs propres complexes non réelles, utiliser une base adaptée de $\mathbb{C}^3$ pour construire une racine réelle.

4.

Analyser avec soin le cas de la valeur propre nulle. Si $M^3 = B$ , quel lien existe-t-il entre $\ker B$ et $\ker B^2$ ? On rappelle que dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ , si $M$ est nilpotente, alors $M^3 = 0$ .

Idées clés

•

Utilisation de la réduction pour décomposer le problème sur les sous-espaces caractéristiques.

•

Exploitation de la surjectivité de $x \mapsto x^3$ sur $\mathbb{R}$ pour les parties diagonalisables.

•

Construction de racines pour les blocs nilpotents associés à des valeurs propres non nulles.

•

Condition nécessaire sur la dimension des noyaux itérés pour l'indice de nilpotence.

Analyse du problème.

Soit $B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ . Nous cherchons à savoir s'il existe $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telle que $A^3 = B$ . On note que le polynôme caractéristique $\chi_B$ est de degré 3, il admet donc au moins une racine réelle.

1. Cas où $B$ est diagonalisable sur $\mathbb{R$ $R$ .}

Supposons $B = P \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) P^{-1}$ avec $(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) \in \mathbb{R}^3$ . Comme l'application $x \mapsto x^3$ est une bijection de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ , on peut poser :

A = P \text{diag}(\sqrt[3]{\lambda_1}, \sqrt[3]{\lambda_2}, \sqrt[3]{\lambda_3}) P^{-1}

On vérifie immédiatement que $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ et $A^3 = B$ . Toute matrice diagonalisable sur $\mathbb{R}$ est donc un cube.

2. Cas où $B$ admet des valeurs propres non réelles.

Le polynôme $\chi_B$ possède une racine réelle $\alpha$ et deux racines complexes conjuguées $\omega$ et $\overline{\omega}$ . Il existe une base de $\mathbb{C}^3$ de la forme $(u, z, \overline{z})$ où $u \in \mathbb{R}^3$ et $z \in \mathbb{C}^3$ , telle que :

Bu = \alpha u,   Bz = \omega z,   B\overline{z} = \overline{\omega}\overline{z}

Soit $\lambda = \sqrt[3]{\alpha}$ le réel tel que $\lambda^3 = \alpha$ et $\theta \in \mathbb{C}$ tel que $\theta^3 = \omega$ . On définit l'endomorphisme $f$ par $f(u) = \lambda u$ , $f(z) = \theta z$ et $f(\overline{z}) = \overline{\theta}\overline{z}$ . La matrice $A$ de $f$ dans la base canonique vérifie $A^3 = B$ . Comme $\overline{A}$ vérifie les mêmes relations sur la base $(u, z, \overline{z})$ , on a $\overline{A} = A$ , donc $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ .

3. Cas où $B$ est inversible mais non diagonalisable.

Si $B$ est inversible, ses valeurs propres réelles sont non nulles. On peut décomposer $B$ (via la réduction de Dunford ou l'étude des sous-espaces caractéristiques) en blocs. Pour un bloc associé à une valeur propre $\lambda \neq 0$ , on a $B_{\lambda} = \lambda(I + N)$ avec $N$ nilpotente. Comme $N^3 = 0$ (en dimension 3), on cherche $A_{\lambda} = \sqrt[3]{\lambda}(I + M)$ avec $M$ nilpotente. L'équation $(I+M)^3 = I+N$ devient $I + 3M + 3M^2 + M^3 = I+N$ . En posant $M = aN + bN^2$ et en identifiant, on trouve $3a = 1$ et $3b + 3a^2 = 0$ , soit $a=1/3$ et $b=-1/9$ .

\boxed{ A_{\lambda} = \sqrt[3]{\lambda} \left( I + \frac{1}{3}N - \frac{1}{9}N^2 \right) }

Ainsi, toute matrice inversible de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ est un cube.

4. Cas où $B$ n'est pas inversible.

Soit $B$ telle que $0 \in \text{Sp}(B)$ . Si $A^3 = B$ , alors $A$ et $B$ commutent, donc $A$ stabilise les sous-espaces caractéristiques de $B$ . En particulier, si $B$ est nilpotente, $A^3 = B \implies A$ est nilpotente. En dimension 3, si $A$ est nilpotente, son indice de nilpotence est au plus 3, donc $A^3 = 0$ . Ainsi, si $B$ est nilpotente, elle est un cube si et seulement si $B = 0$ .

De manière plus générale, si 0 est valeur propre de $B$ , $B$ est un cube si et seulement si son bloc nilpotent associé à 0 est nul (donc de taille 1). Cela revient à dire que l'indice de nilpotence de la partie "nulle" est 1, soit :

\boxed{ \ker B = \ker B^2 }

5. Synthèse.

Une matrice $B$ est un cube si et seulement si elle n'a pas de bloc de taille $\geq 2$ associé à la valeur propre 0. En dimension 3, cela exclut exactement les matrices où $0$ est valeur propre multiple et qui ne sont pas diagonalisables "en 0".

L'image de $\Phi$ est l'ensemble des matrices $B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ vérifiant :

\boxed{ \text{Im}(\Phi) = \{ B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) \mid \ker B = \ker B^2 \} }

Une erreur classique est de penser que toute matrice est un cube sous prétexte que $x \mapsto x^3$ est surjective sur $\mathbb{R}$ . C'est oublier que pour les matrices non diagonalisables, la structure des blocs nilpotents impose des contraintes strictes.