Acoustique des bulles d'air dans l'eau et des films de savon : le chant et la danse des bulles
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Le sujet explore les phénomènes acoustiques liés aux bulles d'air dans l'eau et aux films de savon. Il étudie d'abord le son émis par une bulle d'air oscillant dans l'eau, incompressible puis compressible, en régime libre et forcé, puis la propagation du son dans un milieu bulleux (effet chocolat chaud), et enfin l'interaction d'une onde acoustique avec un film de savon. Des questions pédagogiques et didactiques, signalées QP, sont insérées dans le sujet.
1Partie I.1 : montage électriqueOn caractérise les deux montages électroniques (filtre passe-haut et amplificateur non inverseur) utilisés pour amplifier et filtrer le signal de l'hydrophone.
2Partie I.2 : préliminaires sur les ondes acoustiques dans un fluideOn établit l'équation de propagation des ondes sonores dans l'approximation acoustique et on introduit des questions didactiques sur les conceptions des élèves concernant la propagation du son.
3Partie I.3 et I.4 : oscillations libres d'une bulleOn modélise les oscillations radiales libres d'une bulle d'air dans l'eau, d'abord en supposant l'eau incompressible (pulsation de Minnaert), puis en tenant compte de la compressibilité de l'eau, ce qui introduit un amortissement par rayonnement acoustique.
4Partie I.5 : oscillations forcées d'une bulleOn étudie la réponse en fréquence d'une bulle soumise à une onde sonore externe et la résonance à la pulsation de Minnaert, comparée à des données expérimentales.
5Partie II : propagation du son dans un milieu bulleuxOn étudie l'effet chocolat chaud à l'aide d'une cavité résonante et du modèle de Wood.
6Partie III : interaction d'une onde acoustique avec un film de savonOn étudie la mesure optique de l'épaisseur d'un film de savon puis la réponse dynamique du film soumis à une onde acoustique.
Description
Sujet officiel Agrégation interne en physique-chimie, session 2026.
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Durée : 5 heures
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Le chant et la danse des bulles
Ce problème explore quelques phénomènes physiques autour des bulles d'air dans l'eau et des bulles de savon (plus généralement des films de savon) en lien avec le domaine de l'acoustique.
Dans une première partie, les caractéristiques du son créé par une bulle d'air dans de l'eau sont analysées expérimentalement et théoriquement. Dans un second temps, on s'intéresse à la propagation d'une onde sonore au sein d'un milieu bulleux à partir de l'étude de l'expérience connue sous le nom d' «effet chocolat chaud». Enfin, ce sujet se conclura par l'étude du comportement d'un film de savon en présence d'une onde acoustique.
Les questions sont posées à l'aide d'un ou plusieurs verbes d'action en gras. L'évaluation tient compte du respect de chacune des consignes ainsi formulées.
Des questions pédagogiques et didactiques reliées aux concepts abordés dans les différentes parties sont insérées dans le corps du texte. Elles sont signalées par l'indication QP et représentent environ vingt pour cent du total des points attribués.
Certaines questions sont repérées par une barre noire dans la marge gauche. Leur résolution demande une prise d'initiative de la part du candidat ou de la candidate. L'évaluation des réponses par le jury porte tout particulièrement sur l'analyse physique des situations étudiées, l'intelligibilité et la clarté de la rédaction, ainsi que la mise en place d'une démarche raisonnée de résolution.
Table des matières
I Le chant d'une bulle d'air dans l'eau ..... 3
I. 1 Montage électrique ..... 4
I. 2 Préliminaires sur les ondes acoustiques dans un fluide ..... 6
I. 3 Oscillations libres d'une bulle dans un fluide incompressible ..... 9
I. 4 Oscillations libres d'une bulle dans un fluide compressible ..... 11
I. 5 Oscillations forcées d'une bulle dans un fluide compressible ..... 12
II Propagation du son dans un milieu bulleux ..... 16
II. 1 Cavité résonante ..... 17
II. 2 Modèle de Wood ..... 18
III Interaction d'une onde acoustique avec un film de savon ..... 19
III. 1 Mesure optique de l'épaisseur d'un film de savon ..... 19
III. 2 La danse du film de savon ..... 21
Données numériques
Toutes les données nécessaires aux applications numériques sont rassemblées dans le tableau ci-dessous :
Coefficient de compressibilité isentropique de l'eau
χ_e = 5, 0 × 10^(− 10) Pa^(− 1)
Coefficient de compressibilité isentropique de l'air
χ_a = 7, 1 × 10^(− 6) Pa^(− 1)
Coefficient adiabatique de l'air
γ = 1, 4
Pression atmosphérique
P_0 = 1, 0 × 10^5 Pa
Masse volumique de l'eau ( P_0, 20^∘C )
μ_e = 1, 0 × 10^3 kg.m^(− 3)
Masse volumique de l'air ( P_0, 20^∘C )
μ_a = 1, 2 kg.m^(− 3)
I Le chant d'une bulle d'air dans l'eau
Dans cette partie, on se propose d'étudier les caractéristiques du son émis par une bulle d'air dans l'eau. Le champ d'application est excessivement vaste. En effet, la plupart des bruits associés à des écoulements d'eau (ruisseaux, vagues de l'océan, cascades) sont provoqués par la présence de bulles d'air.
Un des premiers scientifiques à avoir mené une étude expérimentale et théorique du son émis par une bulle est Marcel Minnaert dans un article intitulé «On musical air-bubbles and the sounds of running water » paru en 1933^1. Le dispositif expérimental utilisé par Minnaert est décrit figure 1. De l'eau versée dans l'entonnoir (AB) pousse l'air contenu dans le tube (CD), ce qui forme une bulle à la sortie du tube. Minnaert détermine la note émise par la bulle à l'aide d'un diapason.
L'expérience peut être reproduite aujourd'hui avec du matériel contemporain : une bulle est créée dans un récipient rempli d'eau à l'aide d'une seringue et le bruit généré après sa formation est enregistré grâce à un hydrophone situé à une distance d de la bulle. Le signal électrique issu de l'hydrophone est ensuite amplifié, filtré puis envoyé sur un oscilloscope. Le signal électrique délivré par l'hydrophone est directement proportionnel à la surpression perçue par ce dernier.
Figure 1 - À gauche : dispositif historique ^1 de l'expérience de Minnaert (1933). À droite : dispositif expérimental utilisé pour ce sujet.
Figure 2 - Photographie vue du dessus de la seringue et de l'hydrophone dans le dispositif expérimental utilisé pour ce sujet.
Figure 3 - Signal observé sur l'oscilloscope (pour ce signal, une pipette Pasteur a été utilisée à la place de la seringue) avec une base de temps de 2 ms/carreau.
Après avoir étudié quelques caractéristiques du circuit électrique utilisé pour cette expérience, on se propose dans les parties I. 2 à I. 4 de comprendre l'origine du signal observé et de déterminer en quoi les caractéristiques de ce signal renseignent sur les propriétés de la bulle créée.
I. 1 Montage électrique
Le son émis par une bulle dans l'eau ayant une intensité sonore faible, il est nécessaire d'amplifier et de filtrer le signal reçu par l'hydrophone pour obtenir un bon rapport signal à bruit sur l'oscilloscope.
À cette fin, l'expérimentatrice a utilisé dans son dispositif, entre autres, les deux montages présentés figure 4. L'objectif de cette partie est de caractériser ces deux montages et de comprendre leur rôle respectif.
Figure 4 - Montages utilisés dans le circuit électrique. A gauche : montage 1(R = 1, 5kΩ et C = 220nF ), à droite : montage 2(R_1 = 3, 3kΩ, R_2 = 82kΩ)..
On suppose que l'amplificateur linéaire intégré (ALI) du montage 2 est idéal et fonctionne en régime linéaire. Les résistances et les condensateurs utilisés ont une tolérance de 5% constructeur. Le montage 1 fonctionne en sortie ouverte.
On étudie dans un premier temps le montage 1 de la figure 4.
Q1. On se place en régime sinusoïdal forcé à la pulsation ω. Rappeler les expressions des impédances complexes associées à un conducteur ohmique de résistance R et à un condensateur de capacité C. Donner le schéma électrique équivalent du condensateur à basses et hautes fréquences. En déduire la nature électrique du montage 1.
Q2. Préciser si les dipôles électriques constituant le montage 1 sont associés en série ou en parallèle et justifier la réponse. Établir l'expression de la fonction de transfert du montage 1, définie par H(ω) = s/(s_–_–).
Q3. Établir l'expression du module |H(ω)| de cette fonction de transfert. En étudiant les comportements asymptotiques de ce module, vérifier la nature du filtre prévue à la question Q1.
Q4. Déterminer l'expression de la pulsation ω_c pour laquelle |H(ω_c)| = 1/(√2), puis la fréquence f_c correspondante. Dénommer cette fréquence. Calculer la valeur numérique de f_c, puis préciser le rôle du montage.
On étudie maintenant le montage 2 de la figure 4.
On note A le rapport (U_s)/(U_e) caractérisant ce montage.
Q5. Rappeler les caractéristiques des courants d'entrée sur les entrées inverseuse et non inverseuse d'un ALI idéal. Donner la condition expérimentale nécessaire (et non suffisante) pour qu'un ALI fonctionne en régime linéaire. Préciser ce que l'on peut dire sur la tension différentielle d'entrée d'un ALI idéal, lorsque ce dernier fonctionne en régime linéaire.
Q6. Déterminer l'expression de A en fonction de R_1 et R_2. Préciser le rôle de ce montage et donner le nom usuel de ce quadripôle.
La figure 5 est issue du document publié sur le site éduscol, intitulé «Mesure et incertitudes au lycée »^2.
Figure 5 - Plusieurs voltmètres de la même référence sont branchés en parallèle sur une source de tension. Ils n'affichent pas la même valeur.
QP7. Préciser la caractéristique de la mesure que cette figure pourrait permettre d'illustrer auprès d'élèves de cycle 4 comme de lycée. Indiquer un outil mathématique permettant de rendre accessible visuellement cette caractéristique aux élèves.
On impose un signal sinusoïdal de 1,1 kHz à l'entrée du montage 2. On constate que la tension de sortie de ce montage est également sinusoïdale. On branche un voltmètre en mode AC aux bornes d'entrée du filtre, où se trouve la tension U_e(t), puis aux bornes de sortie du filtre, où se trouve la tension de sortie U_s(t), et on lit respectivement sur l'appareil 0,3555 V et 8,843 V. L'extrait de la notice du multimètre utilisé est présenté figure 6.
AC specifications for U1271A
Function
Accuracy ± (% of reading + counts of least significant digit)
Range
Resolution
45 Hz to 65 Hz
30 Hz to 1 kHz
1 kHz to 5 kHz
5 kHz to 20 kHz
True RMS AC Voltage ^1
300 mV
0.01 mV
0.7 + 20
1.0 + 25
2.0 + 25
2.0 + 40
3 V
0.0001 V
0.7 + 20
1.0 + 25
2.0 + 25
2.0 + 40
30 V
0.001 V
0.7 + 20
1.0 + 25
2.0 + 25
2.0 + 40
300 V
0.01 V
0.7 + 20
1.0 + 25
2.0 + 25
-
1000 V
0.1 V
0.7 + 20
1.0 + 25
-
-
LPF (low pass filter) enabled, applicable for all voltage ranges and resolution
0.7 + 20
1.0 + 25@ < 200 Hz; 5.0 + 25@ < 440 Hz
-
-
Figure 6 - Extrait de la notice constructeur dans le cas de mesures en tensions en mode AC avec un multimètre Keysight U1271A.
Q8. Préciser ce que mesure un voltmètre en mode AC puis présenter le résultat des deux mesures effectuées avec le voltmère avec leur incertitude-type de mesure, avec deux chiffres significatifs pour l'incertitude.
Q9. Calculer le gain mesuré expérimental A_(exp) ainsi que son incertitude. Présenter le résultat sous la forme académique usuelle, avec deux chiffres significatifs pour l'incertitude.
On peut calculer la valeur du gain théorique A_(th) attendu pour le montage 2. En tenant compte des incertitudes constructeur des composants, on montre que A_(th) = 25, 8 ± 1, 0.
Q10. Vérifier que la valeur du gain théorique A_(th) est compatible avec celle du gain mesuré A_(exp), en effectuant une comparaison quantitative.
I. 2 Préliminaires sur les ondes acoustiques dans un fluide
QP11. Rappeler les ordres de grandeurs des fréquences audibles par l'être humain que les élèves doivent connaître en fin de cycle 4. Préciser également le domaine de fréquences des ultrasons et des infrasons. Justifier l'usage des préfixes « ultra » et « infra ».
QP12. Rappeler la définition de la période et de la fréquence. Justifier la pertinence de l'introduction de la grandeur « fréquence » en plus de la grandeur « période » pour des élèves de lycée, en appuyant votre explication sur des ordres de grandeur.
QP13. Il est indiqué dans le programme de cycle 4 du BOEN n° 31 du 30 juillet 2020 que « les activités proposées [doivent permettre] de sensibiliser les élèves aux risques auditifs ». Rappeler les ordres de grandeur du niveau d'intensité sonore (en dB) à présenter à cet effet aux élèves dès le cycle 4 .
On modélise la propagation d'une onde sonore dans un fluide à l'aide d'un champ de pression P(M, t), d'un champ de vitesse v⃗(M, t) et d'un champ de masse volumique μ(M, t). On suppose qu'en l'absence d'onde sonore le fluide est au repos et caractérisé par des champs de pression et de masse volumique uniformes : P(M, t) = P_0, v⃗(M, t) = 0→ et μ(M, t) = μ_0. En présence d'une onde sonore, on écrit :
Q14. Rappeler en quoi consiste l'approximation acoustique. Rappeler également les hypothèses d'étude usuelles lorsque l'on souhaite mettre en équation la propagation d'ondes sonores dans un fluide.
Q15. Donner l'équation d'Euler compte tenu des hypothèses de l'étude, puis linéariser cette dernière dans l'approximation acoustique.
On rappelle l'équation de propagation vérifiée par le champ de surpression p_1(M, t) :
Δp_1(M, t) − 1/(c^2)(∂^2 p_1(M, t))/(∂t^2) = 0,
où c = 1/(√(μ_0 χ_s)), et χ_s est le coefficient de compressibilité isentropique du fluide considéré.
Q16. Dénommer cette équation. Dater approximativement la découverte de cette équation en donnant le siècle correspondant. Donner la signification physique de la grandeur c.
Dans la suite du sujet, on notera respectivement c_e et c_a la grandeur c dans l'eau et l'air. De même les grandeurs μ_e et μ_a (respectivement χ_e et χ_a ) représenteront respectivement les masses volumiques (respectivement les coefficients de compressibilité isentropiques) de l'eau et de l'air.
Q17. Préciser comment la masse volumique d'un fluide et le caractère plus ou moins compressible de ce dernier influent sur c. Faire les applications numériques pour c_e et c_a. Commenter.
QP18. En classe de seconde, une évaluation diagnostique est prévue sur la partie «Émission et perception du son » du thème «Ondes et signaux». Expliciter, en quelques lignes, un objectif d'une évaluation diagnostique, le moment le plus opportun pour sa mise en place et les modalités pédagogiques pertinentes à mettre en œuvre (lieu, durée, support).
Dans un article du BUP publié en janvier 1998^3, les conceptions des élèves sur la propagation d'un signal sonore ont été étudiées grâce à une évaluation diagnostique. Deux d'entre elles sont présentées ci-après, ainsi que les éléments de réponses des élèves interrogés.
Énoncé du questionnaire :
Pierre, Marie et Jean sont alignés sur une route rectiligne dans la campagne. Pierre et Jean sont à 100 m de Marie.
Pierre
Marie
Jean
Pierre et Jean regardent Marie et commencent à chanter au même instant. Ils chantent tous les deux la note « La » pendant une seconde mais Pierre chante plus fort que Jean.
Question :
Est-ce que Marie commence à entendre Pierre et Jean au même instant?
-Oui; Pourquoi?
-Non ; Qui entend-elle en premier ? Pourquoi ?
L'auteur de l'article relève que «Beaucoup des élèves interrogés répondent que l'auditeur ne commence pas à entendre les sons émis par les deux sources au même instant : la source de plus grande amplitude sonore est entendue en premier».
QP19. Identifier la difficulté conceptuelle liée à cette réponse.
D'autres conceptions des élèves sont testées avec la question suivante :
Enoncé du questionnaire :
On considère quatre tubes : le premier est rempli d'air, le second est rempli d'eau, le troisième est rempli d'acier et dans le quatrième le vide a été fait (il n'y a rien). À une extrémité de chaque tube, un haut-parleur (HP) est branché et à l'autre extrémité se trouve un microphone (M) relié à un magnétophone. Tous les haut-parleurs, microphones et magnétophones sont identiques. Tous les haut-parleurs commencent à émettre la note « La » au même instant et s'arrêtent au même instant.
H.P. □ air
M.
H.P. □ eau
M.
H.P. □ acier
M.
H.P. □ vide
M.
Question :
Quels sont les microphones qui enregistrent un son et quels sont ceux qui n'enregistrent pas? Expliquer pour chaque tube pourquoi.
QP20. Identifier les conceptions initiales des élèves que cherche à tester cette deuxième question.
Les verbatims suivants des justifications proposées par les élèves ont été relevés :
« oui pour le vide : le son ne rencontre aucune opposition »
« oui, sauf l'acier plein parce que le son ne pourra pas traverser le tube plein pour être enregistré, et l'eau »
« sauf acier, car c'est un métal compact qui ne laisse passer ni l'air ni l'eau donc les sons ne pourront passer»
QP21. Proposer une correction pour l'ensemble des verbatims ci-dessus.
Afin de surmonter les difficultés des élèves évoquées précédemment, on considère l'expérience classique destinée à mettre en évidence la propagation des ondes sonores dans l'air. Une flamme de bougie est placée à proximité d'un haut-parleur émettant un signal sonore. Un exemple d'activité ^4 donnée en cycle 4 est reproduit ci-après.
Expérience
Placer une bougie allumée devant un haut-parleur qui émet un son :
□Qu'observe-t-on ?
□Décrire le mouvement de l'air lors de la propagation du son.
QP22. Identifier une limite pédagogique de cette expérience et une idée fausse qu'elle pourrait involontairement renforcer.
I. 3 Oscillations libres d'une bulle dans un fluide incompressible
On considère une bulle d'air dans de l'eau de masse volumique μ_e. On suppose que la bulle est sphérique et son rayon à l'équilibre est noté R_0. On suppose que la pression de l'air à l'intérieur de la bulle est uniforme et on note P_0 cette pression à l'équilibre. On néglige la pesanteur, les phénomènes de tension superficielle et on considère l'air comme un gaz parfait de coefficient adiabatique γ. On suppose que le centre de la bulle, noté O, reste fixe.
Figure 7 - Bulle d'air considérée (à gauche : au repos, à droite : hors équilibre).
Hors équilibre, on considère des petites oscillations radiales de la bulle. On décrit l'évolution du rayon de la bulle de la manière suivante : R(t) = R_0 + r_1(t) (avec |r_1(t)|≪R_0 ). On suppose également que le champ de pression de l'air à l'intérieur de la bulle reste uniforme et prend la forme suivante : P(t) = P_0 + P_1(t)( avec |P_1(t)|≪P_0).
Dans cette partie, on assimile l'eau autour de la bulle à un fluide incompressible sans viscosité et de très grand volume devant le volume de la bulle. On suppose que la pression loin de la bulle est égale à P_0. On suppose enfin que l'air à l'intérieur de la bulle subit une transformation adiabatique réversible.
Q23. Expliquer comment l'hypothèse d'une transformation adiabatique est habituellement justifiée. Rappeler la loi de Laplace pour un gaz parfait. En déduire une relation entre la pression P(t) et le rayon de la bulle R(t) puis en linéarisant cette équation, en déduire que :
P_1(t) = − (3γP_0)/(R_0)r_1(t).
Dans la suite, tous les calculs seront menés à l'ordre le plus bas non nul en (r_1(t))/(R_0).
Lors de la variation du rayon de la bulle, les forces de pression s'exerçant sur le volume d'eau entourant la bulle travaillent. On admet, pour la suite, que le travail des forces de pression extérieures sur le volume d'eau entourant la bulle s'écrit : δW = P_1(t)dV_a, où V_a = 4/3πR^3(t) représente le volume de la bulle d'air.
Q24. En déduire que le travail des forces de pression extérieures s'exerçant sur l'eau entourant la bulle peut s'écrire δW = − dE_p, avec E_p(r_1) = 1/2Kr_1^2 et K = 12πγP_0 R_0.
Vu la symétrie sphérique du problème, on utilise les coordonnées sphériques (r, θ, φ) associées à la base sphérique (u_r^(→−), u_θ^(→−), u_φ^(→−)) d'origine O, centre de la bulle d'air supposé fixe. On rappelle, dans ce cas, que r est la distance entre le point d'observation M et le centre O de la bulle et que le vecteur unitaire u_r^(→−) est égal à (OM^(→−))/r. On suppose alors que le champ de vitesse est radial et a pour expression v_1^(→−)(M, t) = v_1(r, t)u_r^(→−). L'eau étant supposée être un fluide incompressible, le champ des vitesses autour de la bulle est à flux conservatif.
Q25. En utilisant cette dernière propriété, démontrer que le champ des vitesses v_1(r, t) s'exprime de la manière suivante :
v_1(r, t) = (R_0^2)/(r^2)r˙_1(t).
Q26. Déterminer l'expression de l'énergie cinétique de toute l'eau autour de la bulle. Exprimer le résultat sous la forme suivante : E_c = 1/2Mr_1˙^2 où M = 4πμ_e R_0^3. Pour ce faire, on pourra effectuer une intégration en volume de l'énergie cinétique volumique du fluide en considérant des coquilles sphériques d'épaisseur dr. On rappelle que l'on suppose que le volume d'eau autour de la bulle est très grand devant le volume de la bulle.
Q27. En faisant un raisonnement énergétique soigneusement justifié, montrer que l'équation différentielle régissant l'évolution du rayon de la bulle r_1(t) s'écrit : r_1¨ + K/Mr_1 = 0.
Figure 8 - Modélisation des oscillations d'une bulle d'air dans l'eau.
Pour expliquer les caractéristiques du son émis par une bulle de gaz dans un liquide, Minnaert
montra en 1933 à travers une série d'expériences, qu'une bulle de gaz se comporte comme un oscillateur harmonique (« pulsation theory»).
Q28. Justifier que le système { bulle + eau } peut être modélisé par un ressort vertical de raideur k sur lequel est accrochée une masse m supposée ponctuelle. On notera ε(t) la position de la masse par rapport à sa position d'équilibre et on pourra appliquer le principe fondamental de la dynamique à la masse m. Décrire ce que représentent les grandeurs ε(t), k et m, dans cette analogie, pour l'étude des oscillations de la bulle d'air.
Q29. Donner la forme de la solution générale de l'équation obtenue à la question Q27, sans chercher à calculer les constantes d'intégration. Cette solution fait apparaître une pulsation caractéristique ω_M, appelée pulsation de Minnaert. Donner son expression en fonction de μ_e, γ, P_0 et R_0. Exprimer de la même façon la fréquence caractéristique f_M correspondante, appelée fréquence de Minnaert.
Q30. Prévoir qualitativement la forme du signal reçu par le microphone dans le cadre de ce modèle développé dans cette partie I.3. Comparer à ce qui est visualisé sur l'oscilloscope figure 3 et commenter.
Q31. Dans le cadre de ce modèle et en supposant que la prise en compte de facteurs d'amortissement des oscillations de la bulle d'air ne change pas la fréquence des pseudo-oscillations, calculer la valeur du rayon R_0 de la bulle générée dans l'expérience en utilisant la figure 3. Commenter. On pourra prendre comme valeur numérique pour P_0 celle de la pression atmosphérique.
QP32. Proposer une définition d'un modèle, telle qu'elle pourrait être donnée aux élèves de cycle 4 ou de lycée.
QP33. Il est habituellement reconnu qu'un modèle possède plusieurs fonctions. Citer deux de ces fonctions. Proposer une activité, expérimentale ou non, qui pourrait être envisagée avec les élèves au lycée pour illustrer ces deux fonctions.
I. 4 Oscillations libres d'une bulle dans un fluide compressible
Dans cette partie, on se propose de modéliser la propagation dans l'eau des ondes sonores générées par les oscillations de la bulle d'air, en considérant cette fois le caractère compressible de l'écoulement d'eau autour de la sphère, que l'on suppose parfait. On néglige la viscosité de l'eau et la pesanteur.
On reprend les notations des parties I. 2 et I. 3 pour modéliser la propagation de l'onde sonore. En particulier la masse volumique de l'eau n'est a priori plus uniforme ni constante dans le temps : μ(M, t) = μ_e + μ_1(M, t).
On modélise la bulle d'air comme une sphère pulsante de rayon moyen R_0 : R(t) = R_0 + r_1(t). Cette sphère pulsante génère une onde sonore se propageant dans le fluide extérieur à la bulle.
Comme dans la partie I.3, on utilise la base et les coordonnées sphériques d'origine O, centre de la bulle, supposé fixe.
On suppose que le champ de surpression dans l'eau p_1(M, t) ne dépend que de la variable spatiale r et du temps t : p_1(M, t) = p_1(r, t). On suppose également que le champ des vitesses respecte la symétrie sphérique et a pour expression générale : v_1^(→−)(M, t) = v_1(r, t)u_r^(→−).
On rappelle l'équation de propagation que doit vérifier le champ de surpression dans l'eau, comme évoqué dans la question Q15 : Δp_1(M, t) − 1/(c^2)(∂^2 p_1(M, t))/(∂t^2) = 0.
On admet l'expression mathématique suivante du Laplacien : Δp_1(M, t) = 1/r(∂^2)/(∂r^2)(rp_1(r, t)).
Q34. Montrer qu'une expression du champ de surpression de la forme p_1(r, t) = 1/rg(t − (r − R_0)/(c_e)), où g(x) est une fonction quelconque réelle a priori d'une variable réelle x, est bien une solution de l'équation de propagation.
Q35. Caractériser la nature de ce type d'onde. Donner une interprétation physique du terme (r − R_0)/(c_e).
Q36. Comme on néglige les phénomènes de tension superficielle, il y a continuité de la pression à l'interface bulle/air en r = R(t) ≃ R_0. Exprimer alors la fonction g(t) en fonction de r_1(t), γ et P_0, puis montrer que le champ de pression p_1(r, t) a pour expression :
p_1(r, t) = − (3γP_0)/rr_1(t − (r − R_0)/(c_e)).
Compte tenu de l'émission de cette onde sonore dans l'eau, l'équation différentielle régissant l'évolution de la bulle obtenue à la question Q27 est modifiée. D'après les conditions aux limites cinématiques traduisant l'imperméabilité de la bulle d'air, on admet alors que :
v_1(R(t), t) = r_1˙ ≃ v_1(R_0, t).
Q37. Projeter l'équation d'Euler linéarisée obtenue à la question Q15 sur le vecteur u_r^(→−), puis en utilisant la question Q36 et en se plaçant juste au-dessus de l'interface de la bulle en R(t) ≃ R_0^+, montrer que la nouvelle équation différentielle régissant l'évolution du rayon r_1(t) s'écrit :
Q38. Interpréter physiquement la présence du deuxième terme (ω_M)/Qr_1˙. Proposer un autre exemple en physique où un tel terme peut apparaître.
Q39. Donner l'expression de la solution générale de l'équation établie dans la question Q37 dans le cas où Q > 1/2 (on ne cherchera pas à déterminer les constantes d'intégration). En déduire l'expression approchée du champ de surpression au niveau de l'hydrophone. Préciser qualitativement si le modèle de cette partie I. 4 permet d'interpréter le signal de la figure 3.
Q40. En utilisant la valeur numérique du rayon obtenu à la question Q31, estimer la valeur numérique du facteur de qualité Q attendu dans le cadre de ce modèle. Justifier a posteriori l'approximation qui a été faite dans la question Q31, en assimilant la pulsation de Minnaert à la pseudopulsation.
Q41. En utilisant l'oscillogramme de la figure 3, estimer la valeur numérique expérimentale du facteur de qualité Q. Conclure quant à la validité du modèle élaboré. Proposer deux autres sources possibles d'amortissement.
I. 5 Oscillations forcées d'une bulle dans un fluide compressible
Dans les parties précédentes, on a étudié les oscillations libres d'une bulle à partir de conditions initiales où la bulle n'est pas à l'équilibre (lorsque par exemple, elle sort de la seringue). On peut également forcer le mouvement de la bulle, en la soumettant à une onde sonore générée par un haut-parleur. On peut montrer que si la bulle est soumise à une surpression P_(ext)(t) par rapport à
la pression P_0 à l'équilibre, l'équation différentielle régissant le rayon de la bulle (en supposant que cette surpression est uniforme sur la surface de la bulle) est donnée par :
Q42. Déterminer la dimension du terme de droite de l'équation, indépendamment de celle-ci, puis vérifier l'homogénéité de l'équation.
Q43. Dans le cas où P_(ext)(t) = Bcos(ωt), donner la forme générale de la solution de cette équation différentielle. Pour le régime sinusoïdal forcé, on prendra soin de bien donner l'amplitude complexe r_1 associée au rayon r_1(t), définie comme r_1(t) = ℜ(r_1), où ℜ(r_1) représente la partie réelle du nombre complexe r_1.
On peut montrer que, sous l'effet de cette oscillation forcée à la pulsation ω, la bulle rayonne également une onde sonore à la même pulsation ω. Lorsque l'on néglige les termes de propagation, cette onde est associée à un champ de surpression à la distance d du centre de la bulle caractérisée par l'amplitude complexe p_(ray) suivante :
Q44. Dessiner l'allure de l'amplitude de la surpression rayonnée par la bulle et recueillie par l'hydrophone en fonction de la pulsation ω. On admet qu'en régime forcé, compte tenu de l'ordre de grandeur du facteur de qualité Q, il existe une pulsation de résonance égale à la pulsation de Minnaert ω_M introduite à la question Q29.
Le dispositif expérimental utilisé dans la thèse de V. Leroy ^5 pour étudier les oscillations d'une bulle en régime forcé est représenté figure 9.
Figure 9 - Dispositif expérimental utilisé par V. Leroy ^5. À gauche : schéma du dispositif. À droite : un exemple de bulle piégée dans l'épuisette (petit axe = 1, 9 mm(± 5%) et grand axe = 2, 5 mm(± 5%), rayon de la sphère équivalente en volume = 2, 3 mm ).
Q45. Pour réaliser les expériences, une épuisette a été nécessaire. En expliquer la raison. Discuter les intérêts et les limites de l'utilisation de l'épuisette.
Q46. À l'aide du dispositif présenté figure 9, proposer une méthode pour mesurer la pulsation de Minnaert f_M en régime forcé. Préciser les précautions à prendre pour avoir accès uniquement à la surpression acoustique rayonnée.
Les résultats des expériences en régime forcé ^6 sont présentés figure 10.
Figure 10 - Résultats expérimentaux. Fréquence de résonance en fonction de l'inverse du rayon de la bulle à l'équilibre (rayon équivalent d'une bulle sphérique). En trait plein, le résultat de la régression linéaire (pente 3, 23 ± 3% kHz.mm)
Q47. Prévoir la pente attendue dans le cadre du modèle étudié (question Q29) en utilisant les mêmes unités que celles de la figure 10. On prendra P_0 = 1, 0 × 10^5 Pa. Commenter la qualité de l'ajustement réalisé par régression linéaire. Conclure quant à la validité de la formule donnant l'expression de la fréquence de Minnaert dans le cadre de ce modèle.
Dans le cadre du programme de la classe de seconde, la capacité exigible suivante est indiquée « Utiliser un dispositif comportant un microcontrôleur pour produire un signal sonore ». Il est possible de faire travailler cette capacité exigible aux élèves sur un microcontrôleur de type Arduino. Il s'agit d'un circuit électronique qui permet grâce à des instructions d'exécuter des actions (allumer une LED, émettre un signal, etc.), comme dans l'activité expérimentale ^7 illustrée figure 11.
Figure 11 - Extrait de l'activité donnée aux élèves.
Dans le langage de programme Arduino, la fonction tone (X,f,t) permet de générer un signal électrique périodique de fréquence f pendant une durée t (en ms) sur la sortie numérique n^∘X.
QP48. Préciser ce que génère la ligne de code suivante : tone(2,500,3000).
La mélodie « Au clair de la Lune » comporte les 11 premières notes ci-dessous :
On donne aussi les correspondances suivantes
Note/Octave
Fréquence (Hz)
Do
262
Ré
294
Ré#
311
Mi
330
Fa
349
Fa#
370
Sol
392
Sol#
415
La
440
La#
466
Si
494
Le code permettant d'émettre la première note est reproduit ci-dessous :
QP49. Expliciter sous la forme de 3 commentaires à destination des élèves les lignes 3, 7 et 8 dans le code ci-dessus.
QP50. Compléter le programme précédent pour qu'il puisse jouer les cinq premières notes de la mélodie étudiée.
QP51. Il est également possible de piloter la carte à microcontrôleur Arduino en langage Python. Indiquer un avantage et un inconvénient de ce pilotage en langage Python.
II Propagation du son dans un milieu bulleux
Dans la partie précédente, la bulle a été essentiellement étudiée comme un système générant une onde sonore. Dans cette partie, on se propose de voir comment la présence de bulles dans un liquide peut modifier la propagation d'une onde sonore.
Il existe une expérience connue, facilement réalisable à la maison et qui est maintenant diffusée sur les réseaux sociaux, l' « effet chocolat chaud», nom donné par le scientifique F. S. Crawford en 1982^8. Il existe plusieurs variantes de cette expérience : on peut utiliser de la poudre de chocolat ou de café, une boisson gazeuse, un cachet d'aspirine ou tout simplement de l'eau chaude sortant d'un robinet avec suffisamment de pression. La suite du sujet s'intéresse à la dernière modalité. Il s'agit d'utiliser un verre d'eau assez haut et d'y verser de l'eau chaude. On tape ensuite en bas dans le fond du verre avec une cuillère (soit immergée soit en dessous du verre selon les sources) et on écoute le son généré. On constate que la hauteur du son évolue dans le temps au fur et à mesure que l'aspect de l'eau « s'éclaircit » dans le verre, c'est-à-dire au fur et à mesure que les bulles d'air montent dans le verre. Le son devient de plus en plus aigu, autrement dit, la fréquence du son généré augmente. L'effet inverse, qui a lieu au tout début de l'expérience, ne sera pas étudié dans ce sujet.
Pour ce sujet, une expérience a été réalisée avec une éprouvette et de l'eau chaude issue du robinet (voir figure 12). On a tapé régulièrement le fond de l'éprouvette à l'aide d'un bout de bois et le spectre du son émis a été visualisé à l'aide d'un oscilloscope numérique en mode single, ce dernier calculant lui-même la transformée de Fourier (FFT). La figure 13 donne l'évolution de la fréquence du mode fondamental émise en fonction du temps. On se propose, dans cette partie II, d'expliquer cette expérience très ludique et facile à mettre en œuvre à l'aide d'un modèle théorique assez simple.
Figure 12 - À gauche : dispositif expérimental. À droite : photographie de l'éprouvette remplie d'eau chaude. 40 secondes séparent les deux photographies.
Figure 13 - Évolution de la fréquence du mode fondamental (en kHz) en fonction du temps (en s). La mesure de la fréquence a été réalisée avec le curseur de l'oscilloscope sur la FFT. Température de l'eau chaude : T = 40, 5 ± 0, 5^∘C et hauteur de la colonne d'eau L = 21, 8 ± 0, 1 cm.
II. 1 Cavité résonante
Avant de s'intéresser à l'influence des bulles sur les caractéristiques du son émis, il est important de comprendre dans un premier temps ce qui fixe la hauteur du son émis lorsque le récipient contient uniquement de l'eau chaude sans bulles. On considère donc tout d'abord une éprouvette entièrement remplie d'eau plate sans bulles sur une hauteur L.
Q52. Préciser comment on peut décomposer une onde sonore pouvant être générée dans une colonne d'eau, assimilée à une cavité mixte (ouvert-fermé). Décrire les conditions aux limites que
doit vérifier le champ de surpression au fond du verre et à la surface libre de l'eau. Faire de même pour le champ de vitesses.
Q53. Représenter l'allure du champ de surpression dans la colonne d'eau à un instant donné pour les trois premiers modes longitudinaux.
Q54. En déduire la relation entre la hauteur L de la colonne d'eau et la longueur d'onde λ_n du nième mode longitudinal, dans l'hypothèse où un tel mode est présent dans le milieu et avec n = 1 correspondant au premier mode appelé aussi mode fondamental.
Q55. Exprimer la fréquence f_n du nième mode longitudinal en fonction de c_e, de n et de L. Puis en déduire la fréquence f_1 du mode fondamental.
Dans une publication ^9, les chercheurs utilisent un mug cylindrique en verre à la place de l'éprouvette et la hauteur de la colonne d'eau est comprise entre 73 mm et 76 mm . Grâce à une analyse spectrale, ils ont mesuré la fréquence du mode fondamental lorsque le mug est rempli d'eau chaude sans bulles à une température comprise entre 81^∘C et 83^∘C : f_1^(exp) = 5495 ± 30 Hz. Ils en déduisent la valeur de la célérité du son déterminée grâce à la formule de question Q55 : c_e^(exp) = 1627 m.s^(− 1). Les chercheurs ont trouvé, par ailleurs, dans le Handbook, la valeur de référence suivante de la vitesse du son dans l'eau à 80^∘C : c_e^(Handbook) = 1554, 4 m.s^(− 1).
Ils en concluent dans leur article que la valeur estimée de la vitesse du son dans l'eau à la température de 80°C est en accord approximativement avec le Handbook.
Q56. Commenter les conclusions des chercheurs.
II. 2 Modèle de Wood
Le modèle présenté ici n'est valable que si les fréquences des sons émis sont très inférieures aux fréquences de Minnaert des bulles mises en jeu dans le dispositif. Cette hypothèse semble raisonnable dans la mesure où les bulles considérées dans cette expérience ont une taille de l'ordre du micromètre, ce qui correspondrait à une fréquence de Minnaert de quelques MHz.
On rappelle l'expression de la célérité du son dans un fluide introduite dans la partie I. 2 : c = 1/(√(μ_0 χ_s)), où μ_0 est la masse volumique du fluide considéré au repos et χ_s est le coefficient de compressibilité isentropique du fluide considéré.
On note φ la fraction volumique des bulles d'air dans l'eau, définie comme le rapport du volume d'air contenu dans le récipient sur le volume total de l'ensemble eau + bulles d'air.
On peut décrire le milieu eau + bulles, dans la mesure où le nombre de bulles est élevé, comme un milieu effectif constitué d'un mélange eau/gaz, caractérisé par une masse volumique moyenne μ_(eff) et un coefficient de compressibilité moyen χ_(eff).
On note μ_e (respectivement μ_a ) la masse volumique de l'eau (respectivement de l'air) et χ_e (respectivement χ_a ) le coefficient de compressibilité isentropique de l'eau (respectivement de l'air).
On note c_(eff) la célérité du son effective dans ce milieu bulleux donné par c_(eff) = 1/(√(μ_(eff χ_(eff)))).
Q57. Exprimer μ_(eff) en fonction de μ_e, μ_a et φ. De même, exprimer χ_(eff) en fonction de χ_e, χ_a et φ.
Q58. On suppose ici que φ≪1. Montrer que l'on peut alors faire les approximations suivantes : μ_(eff) ≃ μ_e et χ_(eff) ≃ χ_e + φχ_a. En déduire l'expression de la célérité effective c_(eff) du son dans le milieu en fonction de μ_e, χ_e, χ_a et φ.
Q59. Expliquer qualitativement comment le modèle proposé ici permet de comprendre le phénomène de « l'effet chocolat chaud» (augmentation de la fréquence du mode fondamental au cours du temps).
Q60. Exprimer la fraction volumique φ des bulles d'air à l'instant t en fonction de la fréquence du mode fondamental du son perçue f_1 à cet instant, des coefficients χ_e, χ_a et de la fréquence f_1^(fin) perçue à la fin de l'expérience. Évaluer l'ordre de grandeur de la fraction volumique φ d'air dans notre expérience (figure 12) au tout début de « l'effet chocolat chaud». Commenter.
III Interaction d'une onde acoustique avec un film de savon
De nombreux travaux de recherche ont été effectués sur l'étude de la propagation du son dans de la mousse liquide. De telles études peuvent avoir des applications diverses, notamment dans le domaine de l'isolation phonique. Une mousse liquide est un milieu essentiellement composé de bulles d'air, séparées entre elles par des fines membranes liquides, les films de savon. Ces membranes se rejoignent par trois pour former des arêtes liquides appelées « bords de Plateau ». Les mousses liquides se différencient des liquides bulleux par la quantité de gaz présent : en général, la fraction volumique de gaz est supérieure à 74%. Les membranes jouant un rôle important dans la propagation du son dans la mousse, il est donc naturel que certains travaux de recherche aient porté sur la réponse acoustique d'un film d'eau savonneuse ^(10).
III. 1 Mesure optique de l'épaisseur d'un film de savon
Pour développer ces études acoustiques, il est important de mesurer de manière indépendante et fiable l'épaisseur e d'un film de savon. Dans cette partie, une méthode optique de mesure de l'épaisseur e d'un tel film de savon va être décrite ^(10). Ces mesures optiques peuvent être ensuite comparées à des mesures, réalisées de manière indépendante, en étudiant des ondes acoustiques interagissant avec le film. Le dispositif expérimental simplifié qu'on considère dans cette partie pour ces mesures optiques est représenté sur la figure 14. Une fibre optique émet de la lumière blanche sur le film de savon. Puis la lumière réfléchie par le film est collectée à l'aide d'une autre fibre optique réceptrice, elle-même reliée à un spectromètre. On note i l'angle d'incidence entre la lumière incidente et la normale au film de savon. La fibre émettrice illumine le film de savon avec un faisceau quasi-parallèle de diamètre 8 mm . L'épaisseur e déduite de la méthode de mesure est donc une épaisseur moyenne du film de savon sur la surface du faisceau. On note également que le film de savon est horizontal lors de la réalisation de la mesure.
Figure 14 - Dispositif expérimental simplifié utilisé pour la mesure optique de l'épaisseur du film de savon.
Q61. Préciser le phénomène physique mis en jeu dans le spectrophotomètre et l'élément matériel principal qui le constitue.
On s'intéresse au phénomène d'interférences entre les deux premiers rayons réfléchis par le film de savon assimilé à une lame mince à faces parallèles. On note i l'angle d'incidence (voir figure 14), θ l'angle de réfraction dans le film et n l'indice optique du film de savon d'épaisseur e. Ici, on prendra n = 1, 4.
Q62. Reproduire sur la copie le schéma de la figure 15 et dessiner les deux rayons réfléchis qui interfèrent à l'infini. Indiquer également sur le schéma l'angle θ.
Figure 15 - Interférences entre les deux rayons réfléchis par le film de savon.
Dans un premier temps, on fait l'hypothèse que la lumière incidente est monochromatique de longueur d'onde λ. On admet que la différence de marche géométrique δ entre les deux rayons qui interfèrent peut s'écrire : δ = 2necosθ.
Q63. On dénomme « rayon 1 » le rayon qui ne parcourt pas de trajet dans le film de savon et « rayon 2 » l'autre. Préciser lequel de ces deux rayons a été choisi comme référence pour le calcul de la différence de marche δ. Justifier la réponse à l'aide d'un cas limite.
On admet par la suite qu' il existe entre les deux rayons qui interfèrent une différence de marche supplémentaire à prendre en compte égale à λ/2, due à la réflexion du rayon 1 sur l'interface entre l'air et le savon.
Q64. Rappeler la formule des interférences à deux ondes dans le cas où les deux ondes ont même amplitude (associée à une même intensité lumineuse I_0 ) et une différence de phase Δφ. En supposant que les deux premiers rayons réfléchis sur le film de savon ont même amplitude, associée à une même intensité lumineuse I_0, en déduire l'expression de l'intensité lumineuse détectée au niveau de la fibre réceptrice en fonction de I_0, n, e, λ et θ.
La fibre optique émettrice émet maintenant une lumière blanche quasi-parallèle. On néglige le phénomène de dispersion dans le film de savon. Un exemple de signal délivré par le spectromètre et ayant permis une mesure de l'épaisseur de e = 2, 37μ m avec la lumière blanche est présenté sur la figure 16.
Figure 16 - Exemple de signal délivré par le spectromètre.
Q65. Décrire la couleur perçue par l'œil humain pour la lumière réfléchie. Dénommer le spectre visualisé. Expliquer la présence de maxima et de minima sur ce spectre.
Q66. Proposer une explication concernant la non nullité des minimas. Proposer également une explication pour interpréter le fait que les maximas n'ont pas la même amplitude. Donner l'équation permettant de déterminer la position des minimas de longueur d'onde λ_m, cette équation devant faire intervenir un entier naturel m.
Q67. En exploitant la figure 16 et en utilisant la question précédente Q66, estimer les valeurs numériques de l'angle de réfraction θ puis de l'angle d'incidence i dans l'expérience réalisée.
III. 2 La danse du film de savon
Au cours d'une conférence de l'ESPCI ^(11), une équipe de recherche a présenté une belle expérience permettant de visualiser l'interaction entre de la musique et un film de savon. Ce travail a donné lieu également à la parution d'un article ^(12).
Le dispositif utilisé est présenté figure 17. Un tube de plexiglas de longueur L^′ = 35, 5 cm et de diamètre D = 26 mm est placé horizontalement devant un haut-parleur pouvant délivrer de la musique. Un film de savon est présent sur l'ouverture du tube ne faisant pas face au haut-parleur.
Figure 17 - Dispositif expérimental. La source de lumière est créée à l'aide d'une lampe de bureau et du papier calque diffusant.
Q68. Préciser le rôle du tube en plexiglas dans le dispositif.
On s'intéresse maintenant aux interférences lumineuses sur la lame d'eau savonneuse. Cette lame est verticale et est éclairée par une lampe blanche. Lorsqu'aucune onde sonore n'est présente, le film d'eau savonneuse présente des franges d'interférences colorées horizontales qui se déplacent lentement verticalement (Figure 18).
Figure 18 - Photographie du film de savon sans la présence d'ondes acoustiques ^(11).
Q69. Expliquer les observations en l'absence d'onde acoustique (voir Figure 18). Préciser la nature des franges et leur localisation. Pour simplifier le raisonnement, on pourra supposer la lumière incidente quasi-parallèle et en incidence quasi-normale, ainsi que le film de savon d'épaisseur lentement variable. On pourra discuter de la longueur de cohérence de la lampe et de la nature de l'écoulement du fluide constituant le film de savon.
Q70. Commenter qualitativement la figure observée en présence de l'onde acoustique sur les trois photographies de la figure 19.
Figure 19 - Photographies du film de savon éclairé par une lampe blanche en présence d'ondes acoustiques, issues de la publication mentionnée ci dessus ^(11). (a) Onde sonore monochromatique à la fréquence de 860 Hz (amplitude du son pas trop forte). (b) Morceau de musique « Le bon, la brute et le truand » d'Ennio Morricone au temps t = 7 s à partir du début du morceau. (c) Morceau de musique « Le bon, la brute et le truand» d'Ennio Morricone à temps non précisé.
M. Minnaert, «On musical air bubbles and the sounds of running water», Phil. Mag. 16, 235 (1933).
Thèse de Valentin Leroy, Université Paris 7, 29 octobre 2004, « Bulles d'air dans l'eau : couplage d'oscillateurs harmoniques et excitation paramétrique ».
V. Leroy, M. Deavud, J-C Bacri, «The air bubble : experiments on an unusual harmonic oscillator», American Journal of Physics 70, 1012-1019 (2002).
F.S. Crawford, « The hot chocolate effect », American Journal of Physics 50, 398 (1982).
Z. Trávníček, A. I. Fedorchenko, M. Pavelka and J. Hrubý, « Visualization of the hot chocolate sound effect by spectrograms », Journal of sound and vibration 331, 5387 (2012).
Thèse de Camille Gaulon, Université de Paris 7, 30 septembre 2019, « Propagation acoustique dans les mousses liquides et les mousses solides membranaires ».
https ://www.youtube.com/watch?v=XJ-f7tVPF5k
C. Gaulon, C.Derec, T. Combriat, P. Marmottant and F. Elias, « Sound and vision : visualization of music with a soap film », European Journal of Physics 38, 4 (2017).
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet d'agrégation interne physique-chimie 2026 sur les bulles ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet d'agrégation interne physique-chimie 2026 sur les bulles ?
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Il porte sur l'électronique (filtrage, amplification), les ondes acoustiques dans les fluides, l'oscillateur harmonique amorti et la thermodynamique des gaz, appliqués au son émis par une bulle d'air dans l'eau.
Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?
+
Le sujet progresse de l'étude expérimentale du montage électrique vers la modélisation des oscillations de la bulle, puis vers la propagation dans un milieu bulleux et l'étude d'un film de savon ; il n'est pas présenté comme composé de parties strictement indépendantes.
Ce sujet contient-il des questions de pédagogie ?
+
Oui, environ vingt pour cent des points portent sur des questions pédagogiques et didactiques (signalées QP), portant notamment sur l'enseignement du son au collège et au lycée.
Qu'est-ce que la pulsation de Minnaert étudiée dans ce sujet ?
+
C'est la pulsation caractéristique des oscillations radiales libres d'une bulle de gaz dans un liquide, qui détermine la fréquence du son qu'elle émet, introduite ici par Minnaert dans son étude de 1933 sur les bulles musicales.
Sujet proche avec corrigéCCINP Physique Chimie MP 2025CCINP · 2025Corrigé
