Agrégation mathématiques interne 2015, épreuve 2Sujet et rapport du jury
Agrégation interne mathématiques - épreuve 2 2015
- Fonction Gamma et intégrales à paramètre
- Comparaison série-intégrale
- Théorème de convergence dominée
- Convergence uniforme des séries de fonctions
- Variables aléatoires à densité
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Présentation du sujet
DifficilePropriétés de la fonction Gamma et application aux variables aléatoires de densité x^(t-1)e^(-x)/Gamma(t)Afficher ou masquer la section
Présentation du sujet
DifficileLe sujet propose d'étudier différentes propriétés de la fonction Gamma (comparaison série-intégrale, prolongement, convergence dominée), puis d'appliquer ces résultats à une famille de variables aléatoires réelles positives dont la densité est ft(x) = x^(t-1)e^(-x)/Γ(t), pour x > 0. Les questions s'enchaînent dans une difficulté croissante.
- 1Partie I : Propriétés de la fonction GammaÉtablir l'existence de la constante d'Euler et étudier des propriétés de la fonction Gamma (intégrale de Gauss, prolongement, convergence dominée).
- 2Partie II : Étude technique complémentaireManipuler des majorations, minorations et sommes de séries liées à la fonction Gamma.
- 3Partie III : Séries et convergence uniformeÉtudier la comparaison de séries et la convergence uniforme d'une famille de fonctions.
- 4Partie IV : Application aux variables aléatoiresAppliquer les résultats précédents à une famille de variables aléatoires réelles positives de densité ft.
Difficile. Le rapport indique que les questions s'enchaînaient dans une difficulté croissante, qu'une des questions a été « fort discriminante », et que plusieurs questions n'ont été traitées correctement que par une minorité, voire très peu, de candidats.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevéesComparaison série-intégrale bâclée · Hypothèse de positivité oubliée · Convergence dominée mal justifiéeAfficher ou masquer la section
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevéesMême si la fonction Gamma figure explicitement au programme, le jury attend une preuve précise dès qu'un résultat, même de cours, est demandé. Les candidats sérieux ayant répondu de façon articulée et justifiée aux questions, de difficulté croissante, ont pu progresser, tandis que le grappillage de points a pénalisé de nombreuses copies.
Les erreurs les plus sanctionnées
- 1Comparaison série-intégrale bâcléeQ1
Pour établir l'existence de la constante d'Euler, trop de candidats écrivent des inégalités fantaisistes au lieu de mener précisément la comparaison série-intégrale.
« Le jury regrette que trop de candidats écrivent des inégalités fantaisistes »
- 2Hypothèse de positivité oubliéeQ2, Q7
L'oubli de l'hypothèse de positivité dans les théorèmes de comparaison des séries ou des intégrales conduit à de nombreuses erreurs.
- 3Convergence dominée mal justifiéeQ2
Les interversions de limites et d'intégrales mettent beaucoup de candidats en difficulté : les hypothèses du théorème de convergence dominée, notamment la domination par une fonction intégrable indépendante du paramètre, ne sont pas vérifiées.
- 4Équivalents manipulés sans justificationQ2, Q6
Les équivalents sont trop souvent mal maîtrisés : il n'est pas possible, en général, de prendre l'exponentielle ou le logarithme d'équivalents sans argument approprié.
- 5Convergence uniforme fragileQ10
Il reste des progrès à faire sur la compréhension du mode de convergence uniforme, malgré un découpage en sous-questions destiné à réduire la technicité.
- 6Indication mal exploitéeQ8
L'indication fournie a été mal comprise et mal utilisée ; peu de candidats traitent cette question correctement.
Ce qui a été bien réussi
- La question 9, facile, a été traitée correctement par une majorité de candidats.
- La question 11, assez classique, a donné lieu à des rédactions correctes et fructueuses.
- L'intégration par parties est très souvent menée à bien correctement, et le prolongement de Gamma à C de la factorielle a été établi par la plupart des candidats.
- Le calcul de l'intégrale de Gauss et la preuve de l'inégalité classique associée ont souvent donné satisfaction.
- La question 6 a été beaucoup abordée, et souvent avec succès.
Conseils du jury
- Vérifier systématiquement toutes les hypothèses d'un théorème avant de l'appliquer, y compris celles jugées secondaires.
- Éviter le grappillage de points et privilégier un raisonnement articulé et justifié sur l'ensemble d'une question.
- Prendre le temps de se relire pour repérer les erreurs grossières.
- Être rigoureux avec les quantificateurs et ne pas composer ou sommer des équivalents sans justification.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Description
Sujet officiel Agrégation interne en mathématiques, session 2015.
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Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte la deuxième épreuve écrite de l'agrégation interne de mathématiques 2015 ?Afficher ou masquer la section
Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte la deuxième épreuve écrite de l'agrégation interne de mathématiques 2015 ?
Elle porte sur la fonction Gamma, la comparaison série-intégrale, le théorème de convergence dominée, la convergence uniforme des séries de fonctions et leur application aux variables aléatoires à densité.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?
Des inégalités fantaisistes pour établir l'existence de la constante d'Euler, l'oubli de l'hypothèse de positivité dans les théorèmes de comparaison, et des hypothèses de convergence dominée non vérifiées.
Cette épreuve de l'agrégation interne de maths 2015 est-elle difficile ?
Oui, le rapport la décrit comme d'une difficulté croissante et note qu'une question a été particulièrement discriminante, plusieurs autres n'étant traitées correctement que par une minorité de candidats.
Faut-il bien maîtriser la fonction Gamma pour cette épreuve ?
Oui, c'est le fil conducteur du sujet, qui exige une preuve précise de chaque résultat utilisé, même ceux qui figurent explicitement au programme.
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