Agrégation mathématiques interne 2016, épreuve 2Sujet et rapport du jury

Le problème étudie l'existence et l'unicité de solutions d'une équation de convolution sur des suites indexées par Z, dans les espaces l^1 et l^infini. Il passe par l'étude de séries indexées par Z, la structure d'espace vectoriel normé des espaces l^p, un argument de point fixe pour l'existence de solutions, puis une extension au cadre non linéaire par calcul différentiel, avant une dernière partie sur le cas périodique en dimension finie.

1. 1Partie I : séries indexées par ZPasser des séries indexées par N aux séries indexées par Z et établir des résultats de convergence de base.
2. 2Partie II : les espaces l^pEtablir la structure d'espace vectoriel normé de dimension infinie des espaces l^1 et l^infini et leurs inclusions.
3. 3Partie III : existence et unicité de solutionsDémontrer par un argument de point fixe l'existence et l'unicité d'une solution de l'équation (1) dans l^p lorsque le coefficient dominant est vérifié.
4. 4Partie IV : extension par calcul différentielEtendre le résultat en s'appuyant sur des notions de calcul différentiel, avec une question de caractère C1.
5. 5Partie V : cas périodique en dimension finieTraiter le cas périodique, qui se ramène à un problème en dimension finie, en s'inspirant de la méthode de Newton.

Difficile. Le rapport indique que la partie V n'a été que très peu abordée et que de nombreuses questions, comme les questions 9, 10, 18 ou 24, ont été peu abordées avec succès ou rarement traitées complètement.

Le jury a apprécié le bon niveau d'un certain nombre de copies, montrant la qualité du travail de préparation des candidats, mais observe aussi un nombre non négligeable de copies quasi-vides. La sélectivité du concours fait que les candidats admissibles ont un niveau certain.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.