Agrégation mathématiques interne 2021, épreuve 2Sujet et rapport du jury

INFORMATION AUX CANDIDATS

• -Concours interne de l'Agrégation de l'enseignement public
  

  

• -Concours interne du CAER / Agrégation de l'enseignement privé :
  

  

• -Dans tout l'énoncé, ε désigne un nombre réel.
• -Soit A une partie de R. On note A¯ l'adhérence de A.
• -Soit f une fonction définie sur R et à valeurs dans C et (f_n)_(n ⩾ 1) une suite de fonctions définies sur R et à valeurs dans C. On dit que la suite (f_n)_(n ⩾ 1) converge uniformément vers f sur R, ou que f est la limite uniforme de (f_n)_(n ⩾ 1) sur R, si à partir d'un certain rang les éléments de la suite (sup_(x ∈ R)|f(x) − f_n(x)|)_(n ⩾ 1) sont des nombres réels et que la suite (sup_(x ∈ R)|f(x) − f_n(x)|)_(n ⩾ 1) converge vers 0.
  On rappelle qu'une limite uniforme d'une suite de fonctions continues (respectivement bornées) est continue (respectivement bornée).
• □Soit (a, b) ∈ R^2 avec a ⩽ b et f : [a, b] → C une fonction continue. On rappelle l'inégalité suivante :
  |∫_a^b f(t)dt| ⩽ ∫_a^b|f(t)|dt
• -Soit (E, ‖.‖_E) un C-espace vectoriel normé et L : E → C une forme linéaire.
  On rappelle que L est continue si et seulement si il existe une constante K ⩾ 0 telle que :
  ∀x ∈ E, |L(x)| ⩽ K‖x‖_E.
  Soit L : E → C une forme linéaire continue. On appelle norme de L et on note |||L||| le nombre ‖|L|‖ = sup{|L(x)|; x ∈ E, ‖x‖_E = 1}.

• -Le C-espace vectoriel des fonctions continues de R dans C est noté C^0(R, C).
• -On note BC^0(R, C) le C-espace vectoriel des fonctions continues bornées de R dans C, qu'on munit de la norme suivante :
  ‖f‖_∞ = sup_(x ∈ R)|f(x)|.

• -Pour tout réel T strictement positif, C_T^0(R, C) désigne l'ensemble des fonctions f continues de R dans C, T-périodiques (dont T est une période), c'est-à-dire satisfaisant :
  ∀x ∈ R, f(x + T) = f(x).
  Nous verrons dans la question 8a que C_T^0(R, C) est un sous-espace vectoriel fermé de BC^0(R, C). Pour f ∈ C_T^0(R, C) et k ∈ Z, on note c_k(f) le k-ème coefficient de Fourier complexe de f, d'expression :
  c_k(f) = 1/T∫_0^T e^(− (2ikπ)/Tt)f(t)dt
• - Per(R, C) désigne l'ensemble des fonctions continues périodiques de R dans C, c'est-à-dire la réunion des ensembles C_T^0(R, C) pour T réel strictement positif; Per(R, C) = ⋃_(T > 0)C_T^0(R, C). On note VectPer(R, C) le sous-espace vectoriel engendré par Per(R, C) dans C^0(R, C).
• ▷ Pour λ ∈ C, on note e_λ : R → C la fonction définie par e_λ(x) = e^(iλx).
• -Soit n un entier strictement positif, (λ_1, …, λ_n) ∈ R^n et (a_1, …, a_n) ∈ C^n. On appelle polynôme trigonométrique généralisé la fonction f = ∑_(j = 1)^n a_j e_(λ_j). L'ensemble des polynômes trigonométriques généralisés est un C-espace vectoriel que l'on notera PTG(R, C). Le produit de deux éléments de PTG(R, C) est un élément de PTG(R, C).
• -On note enfin PP(R, C) l'ensemble des fonctions, dites presque périodiques, qui sont des limites uniformes de suites d'éléments de VectPer(R, C). Nous verrons à la question 14a que les éléments de PP(R, C) sont également les limites uniformes de suites de polynômes trigonométriques généralisés.

I. Préliminaires.

• 1.Les fonctions e_1 et e_(1 + i) sont-elles des éléments de BC^0(R, C) ?
• 2.Soit (f_n)_(n ⩾ 1) la suite de fonctions définies sur R pour tout entier n ⩾ 1 par f_n(x) = x/(nx + i). Démontrer que la suite (f_n)_(n ⩾ 1) est une suite d'éléments de BC^0(R, C) qui converge uniformément. Précisez sa limite uniforme.
• 3.Soit (f_n)_(n ⩾ 1) et (g_n)_(n ⩾ 1) deux suites d'éléments de BC^0(R, C), convergeant uniformément respectivement vers f et g. Démontrer que la suite (f_n g_n)_(n ⩾ 1) converge uniformément vers fg.
• 4.Soit (f_n)_(n ⩾ 1) une suite de fonctions de BC^0(R, C), convergeant uniformément vers f. On suppose que pour tout entier n ⩾ 1, f_n est uniformément continue sur R. On veut démontrer que f est uniformément continue sur R.
  Soit ε > 0. On considère un entier n ⩾ 1 tel que ‖f − f_n‖_∞ ⩽ ε/3.

• • (a)Justifier qu'il existe un réel η_ε > 0 tel que si (x_1, x_2) ∈ R^2 vérifie |x_1 − x_2| ⩽ η_ε, alors |f_n(x_2) − f_n(x_1)| ⩽ ε/3.
  • (b)En déduire que si (x_1, x_2) ∈ R^2 vérifie |x_1 − x_2| ⩽ η_ε, alors |f(x_2) − f(x_1)| ⩽ ε. Conclure.
• 5.Soit n un entier strictement positif et λ_1, …, λ_n des nombres complexes distincts deux à deux. Démontrer que la famille {e_(λ_1), …, e_(λ_n)} est libre dans le C-espace vectoriel C^0(R, C). ( On pourra utiliser la dérivation).

II. Quelques propriétés concernant les fonctions périodiques.

• 6.Soit T un réel strictement positif et h une fonction appartenant à C_T^0(R, C). Démontrer que pour tout réel t,
  ∫_t^(T + t)h(s)ds = ∫_0^T h(s)ds
• 7.Soit α un réel strictement positif. On introduit la fonction g_α : R → R d'expression
  g_α(x) = cos(x) + cos(αx).
  • (a)On suppose que α ∈ Q. Démontrer que g_α est périodique, et donner une période de g_α. On pourra écrire α = p/q avec p, q ∈ N^∗ premiers entre eux.
  • (b)On suppose que α ∉ Q. Résoudre g_α(x) = 2. La fonction g_α est-elle périodique?
  • (c)L'ensemble Per(R, C) des fonctions continues périodiques de R dans C est-il un sous-espace vectoriel de C^0(R, C) ?
• 8.Soit T est un réel strictement positif. L'objectif de cette question est de démontrer que C_T^0(R, C) est un sous-espace vectoriel complet de (BC^0(R, C), ‖.‖_∞).
  • (a)Démontrer que C_T^0(R, C) est un sous-espace vectoriel de BC^0(R, C).
  • (b)Démontrer que C_T^0(R, C) est fermé dans BC^0(R, C). En déduire que C_T^0(R, C) est complet.
• 9.Soit T un réel strictement positif, f ∈ C_T^0(R, C) et F une primitive quelconque de f. Démontrer l'équivalence entre les assertions suivantes :
  ▷ (A1) F est périodique et T est une période de F;
  ▷ (A2) F est bornée;
  - (A3) ∫_0^T f(t)dt = 0.
• 10.Soit T un réel strictement positif et f ∈ C_T^0(R, C). Démontrer que f est uniformément continue sur R.
• 11.Soit f ∈ C_(2π)^0(R, C). On introduit pour tout entier n ⩾ 1 la fonction K_n : R → C d'expression
  K_n = 1/n∑_(k = 0)^(n − 1)(∑_(j = − k)^k e_j),
  et pour tout entier n ⩾ 1 et tout x ∈ R, on pose :
  f_n(x) = 1/(2π)∫_(− π)^π K_n(x − t)f(t)dt.

• (a)Démontrer que pour tout entier n ⩾ 1 et tout x ∈ R, on a :
  f_n(x) = 1/(2π)∫_(− π)^π K_n(t)f(x − t)dt.
• (b)Soit j ∈ Z. Calculer 1/(2π)∫_(− π)^π e_j(t)dt. En déduire que 1/(2π)∫_(− π)^π K_n(t)dt = 1 pour tout entier n ⩾ 1.
• (c)Démontrer que pour tout entier n ⩾ 1 et tout x ∈ R∖(2πZ), on a :
  K_n(x) = (sin^2((nx)/2))/(nsin^2(x/2)).
• (d)Démontrer que pour tout entier n ⩾ 1 et tout x ∈ R :
  f_n(x) − f(x) = 1/(2π)∫_(− π)^π(f(x − t) − f(x))K_n(t)dt
• (e)Soit ε > 0. Justifier l'existence d'un réel η_ε ∈ ]0, π[ tel que, pour tout (x, x^′) ∈ R^2, si|x − x^′| ⩽ η_ε alors |f(x) − f(x^′)| ⩽ ε. Déduire des questions précédentes que pour tout entier n ⩾ 1 et tout x ∈ R :
  |f_n(x) − f(x)| ⩽ ε + (2‖f‖_∞)/(nsin^2(η_ε/2)).
• (f)Trouver l'expression des réels β_(n, j) tels que K_n = ∑_(j = − (n − 1))^(n − 1)β_(n, j)e_j pour tout entier n ⩾ 1.
• (g)Démontrer que la suite de fonctions (f_n)_(n ⩾ 1) est une suite de polynômes trigonométriques généralisés qui converge uniformément vers f sur R.
• (h)Soit T un réel strictement positif et g ∈ C_T^0(R, C). À l'aide des questions précédentes, trouver une suite de polynômes trigonométriques généralisés (g_n)_(n ⩾ 1) convergeant uniformément vers g sur R. On démontrera que la suite proposée répond à la question, et on donnera pour tout entier n ⩾ 1 l'expression de g_n en fonction des coefficients de Fourier complexes de g.

12. Le but de cette question est de démontrer que si une somme finie de fonctions périodiques continues à valeurs dans C admet une limite dans C en + ∞ (ou en − ∞ ), alors elle est constante. On procèdera par récurrence sur le nombre N de fonctions périodiques continues dans la somme.

• (a)Montrer qu'une fonction périodique continue à valeurs dans C ayant une limite dans C en + ∞ est constante.
• (b)Soit N un entier strictement positif. On considère une fonction f = f_1 + … + f_(N + 1) où, pour tout j ∈ {1, …, N + 1}, f_j : R → C est continue, périodique de période T_j. Montrer que la fonction g : R → C définie par g : x ↦ f(x + T_(N + 1)) − f(x) peut s'écrire comme somme de N fonctions périodiques.
• (c)En déduire que si une somme finie de fonctions périodiques continues à valeurs dans C admet une limite ℓ ∈ C en + ∞ alors elle est constante.
• (d)Démontrer que si une somme finie de fonctions périodiques continues à valeurs dans C admet une limite ℓ ∈ C en − ∞, alors elle est constante.

13. À chaque μ ∈ C et P : R → C fonction polynomiale, on associe la fonction de R dans C : φ_(μ, P) : t ↦ e^(μt)P(t).
    Soit N un entier strictement positif. Soit (P_j)_(j ∈ {1, …, N}) une famille de N polynômes et (μ_j)_(j ∈ {1, …, N}) N nombres complexes deux à deux distincts.
    On s'intéresse aux deux assertions suivantes :

• • □(A4) : Pour tout j ∈ {1, …, N}, soit le polynôme P_j est le polynôme nul, soit Re(μ_j) = 0 et le polynôme P_j est un polynôme constant.
  • ▷ (A5) : ∑_(j = 1)^N φ_(μ_j, P_j) est bornée sur R.
  • (a)Soit μ un imaginaire pur et P un polynôme constant. Démontrer que φ_(μ, P) est bornée.
  • (b)Démontrer que l'assertion (A4) implique l'assertion (A5).
  • (c)Dans la suite de cette question, on suppose que l'assertion (A5) est vraie. On suppose donc que ∑_(j = 1)^N φ_(μ_j, P_j) est bornée sur R et, quitte à enlever le(s) terme(s) nul(s), que P_j est non nul pour tout j ∈ {1, …, N}.
    On pose enfin α_j = Re(μ_j) pour tout j ∈ {1, …, N}, et quitte à réordonner, on suppose que les α_1 ⩾ α_2 ⩾ … ⩾ α_N.
    • i.Soit Q un polynôme trigonométrique généralisé non nul. À l'aide de la question 12, établir qu'il existe ε_0 > 0 et deux suites (t_n)_(n ⩾ 1) et (t_n^′)_(n ⩾ 1) de réels tendant respectivement vers + ∞ et − ∞ tels que |Q(t_n)| > ε_0 et |Q(t_n^′)| > ε_0 pour tout entier n ⩾ 1. On distinguera selon que Q est constant ou non.
    • ii.Démontrer qu'il existe un entier N^′, des polynômes trigonométriques généralisés Q_0, …, Q_(N^′) avec Q_(N^′) non nul, et une fonction ψ de limite nulle en + ∞ tels que :
      ∀t ∈ R, ∑_(j = 1)^N φ_(μ_j, P_j)(t) = e^(α_1 t)(∑_(k = 0)^(N^′)t^k Q_k(t) + ψ(t)).
      On distinguera deux cas, selon que les α_j sont tous égaux ou qu'il existe un entier m ⩽ N − 1 tel que α_1 = … = α_m > α_(m + 1).
    • iii.Démontrer que α_1 ⩽ 0 et que, lorsque α_1 = 0 on a N^′ = 0.
    • iv.Démontrer de même que α_N ⩾ 0, puis en déduire que l'assertion (A4) est vraie.

III. Étude de PP(R, C) et de ses éléments.

• 14.(a) Démontrer que f ∈ PP(R, C) si et seulement si f est limite uniforme d'une suite d'éléments de PTG(R, C).
  • (b)Démontrer que PP(R, C) est un sous-espace vectoriel fermé de (BC^0(R, C), ‖.‖_∞). En déduire que PP(R, C) muni de la norme ‖.‖_∞ est un espace de Banach.
• 15.Démontrer que si f ∈ PP(R, C) et g ∈ PP(R, C) alors le produit f.g appartient à PP(R, C).
• 16.Le but de cette question est de démontrer que si f : C → C est une fonction continue et si g ∈ PP(R, C), alors f ∘ g ∈ PP(R, C).

• (a)Démontrer que si f~ : C → C est polynomiale et si g~ ∈ PTG(R, C), alors f~ ∘ g~ ∈ PTG(R, C).
• (b)Soit f : C → C une fonction continue et g~ ∈ PTG(R, C). Démontrer que K = g~^–(R) est un compact de C, puis en déduire que f ∘ g~ ∈ PP(R, C). Indication : on pourra utiliser le fait que toute fonction continue sur un compact de C est limite uniforme sur ce compact d'une suite de polynômes.
• (c)En conclure que si f : C → C est une fonction continue et si g ∈ PP(R, C), alors f ∘ g ∈ PP(R, C).

IV. Moyennes et coefficients de Fourier-Bohr.

18. Démontrer que M(f) existe pour toute fonction f ∈ VectPer(R, C), puis que M est une forme linéaire continue de (VectPer(R, C), ‖.‖_∞) et que sa norme est égale 1.
19. Soit τ et τ^′ deux réels strictement positifs et f ∈ PP(R, C). On considère (f_n)_(n ⩾ 1) une suite d'éléments de VectPer(R, C) convergeant uniformément vers f ∈ PP(R, C).

• (a)Démontrer que pour tout entier n ⩾ 1 :
  |M_τ(f) − M_(τ^′)(f)| ⩽ 2‖f − f_n‖_∞ + |M_τ(f_n) − M_(τ^′)(f_n)|.
• (b)Démontrer que pour tout réel ε > 0, il existe un réel A_ε > 0 tel que si τ et τ^′ sont deux réels supérieurs à A_ε, alors :
  |M_τ(f) − M_(τ^′)(f)| ⩽ ε.
• (c)En déduire que M(f) existe.