Agrégation mathématiques interne 2022, épreuve 2Sujet et rapport du jury

Q: Sur quels chapitres porte la seconde épreuve écrite de l'agrégation interne de maths 2022 ?

Le sujet porte sur les séries entières, les familles sommables et le théorème du transfert, puis sur l'estimation d'un paramètre pour une loi de Poisson et l'inégalité de Cramer-Rao.

Q: Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve d'agrégation interne maths 2022 ?

Le jury relève des confusions entre suite et série, entre borne supérieure et maximum pour le rayon de convergence, l'utilisation de résultats sans vérifier leurs hypothèses, et une résolution mal maîtrisée d'une équation différentielle linéaire simple.

Q: Cette épreuve 2 d'agrégation interne de maths 2022 est-elle difficile ?

Oui, la moyenne n'est que de 7,29/20 avec un écart-type de 3,44, et le rapport qualifie explicitement certaines questions de difficiles, très peu réussies.

Q: La partie sur les familles sommables du sujet d'agrégation interne maths 2022 est-elle bien réussie ?

Non, le rapport indique que la démonstration de la sommabilité est souvent traitée correctement, mais que l'égalité des sommes est rarement correctement démontrée, et que l'existence de la borne supérieure n'est presque jamais justifiée.

Agrégation interne section mathématiques - Sujet de la deuxième épreuve écrite de la session 2022

Pas encore noté

Séries entières : rayon de convergence, critère de d'Alembert
Familles sommables, théorème du transfert
Probabilités : espérance, variance, covariance
Statistique inférentielle : estimateurs, inégalité de Cramer-Rao
Équations différentielles linéaires du premier ordre

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Source officielle : devenirenseignant.gouv.fr

Présentation du sujet

Difficile

Séries entières, familles sommables et estimation d'un paramètre (inégalité de Cramer-Rao)

Le sujet porte sur la notion d'estimateur. La première partie propose des exercices sur les séries entières, dont un vrai-ou-faux et une question de cours. La deuxième partie introduit la notion de famille sommable pour démontrer le théorème du transfert. La troisième partie introduit et étudie la notion d'estimateur dans le cas d'une loi de Poisson de paramètre inconnu, et la dernière partie établit l'inégalité de Cramer-Rao.

1I. Séries entièresExercices sur les séries entières, dont un vrai-ou-faux et une question de cours demandant des démonstrations.
2II. Familles sommablesIntroduction de la notion de famille sommable en vue de démontrer le théorème du transfert.
3III. EstimateursIntroduction et étude de la notion d'estimateur dans le cas d'une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre inconnu.
4IV. Inégalité de Cramer-RaoÉtablissement de l'inégalité de Cramer-Rao pour l'estimation d'un paramètre.

Difficile. La moyenne à cette épreuve n'est que de 7,29/20 avec un écart-type de 3,44, et le rapport qualifie explicitement certaines questions de 'difficile' ou 'plus difficile', très peu réussies même partiellement.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 7,29 / 20 · écart-type 3,44 · où vous situez-vous ?

Moyenne: 7,29/ 20
Écart-type: 3,44
1er quartile: 5
Médiane: 7,4
3e quartile: 9,4

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Confusion entre suite et série · Confusion entre borne supérieure et maximum du rayon de convergence · Résultats utilisés sans vérifier leurs hypothèses

Le rapport détaille les statistiques de réussite question par question. Les calculs de sommes liées aux séries entières et l'utilisation de la convergence monotone sont plutôt bien maîtrisés, mais le jury relève des rédactions insuffisamment rigoureuses et des erreurs de raisonnement récurrentes, notamment l'utilisation de résultats du cours sans vérification de leurs hypothèses.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion entre suite et sérieQ1a
La rédaction n'est pas toujours soignée : on trouve des confusions entre suite et série, entre série et limite.
« On trouve des confusions entre suite et série, entre série et limite. »
2
Confusion entre borne supérieure et maximum du rayon de convergenceQ2ai
Trop souvent, les candidats confondent borne supérieure et maximum, alors que le rayon de convergence n'est pas nécessairement atteint.
« Trop souvent, les candidats confondent borne supérieure et maximum : le rayon de convergence n’est pas nécessairement dans l’ensemble. »
3
Résultats utilisés sans vérifier leurs hypothèses
Parmi les erreurs de raisonnement régulièrement rencontrées figure l'utilisation d'un résultat, comme le critère de d'Alembert, sans vérification de ses hypothèses.
« l’utilisation de résultats (par exemple le critère de d’Alembert) sans la vérification des hypothèses »
4
Résolution mal maîtrisée d'une équation différentielle linéaire simpleQ4e
La résolution rigoureuse d'une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre a déjà été signalée dans plusieurs rapports précédents, mais reste mal maîtrisée par de nombreux candidats.
« La résolution rigoureuse de ces équations a déjà été signalée dans plusieurs rapports »
5
Existence de la borne supérieure non justifiéeQ5
La plupart des candidats n'ont pas justifié l'existence de la borne supérieure utilisée, un problème récurrent dans les questions suivantes.
« La plupart des candidats n’ont pas justifié l’existence de cette borne supérieure »
6
Récurrence faible utilisée à la place d'une récurrence forteQ4c
Parmi les erreurs de raisonnement régulièrement rencontrées figure l'utilisation d'une récurrence faible au lieu d'une récurrence forte.
« l’utilisation d’une récurrence faible au lieu d’une récurrence forte »

Ce qui a été bien réussi

La question 1b a été en général bien réussie.
La question 1d, demandant un exemple de suite de fonctions continues convergeant simplement vers une fonction discontinue, a été bien traitée dans de nombreuses copies.
La question 3 a été particulièrement bien réussie.
Les calculs de sommes liées aux séries entières sont plutôt bien maîtrisés par les candidats, ainsi que l'utilisation de la convergence monotone.

Conseils du jury

Lire les précédents rapports de jury : certaines erreurs, comme la confusion entre inégalités strictes et larges, y sont déjà signalées.
Soigner la résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre sans second membre, souvent mal réalisée.
Bannir les termes comme 'évident' ou 'facile' ainsi que les arguments d'autorité non expliqués.
Énoncer clairement l'hypothèse de récurrence dans une démonstration par récurrence.
Toujours vérifier les hypothèses d'un résultat avant de l'appliquer.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Description

Sujet officiel Agrégation interne en mathématiques, session 2022.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Liberté
Égalité
Fraternité

SESSION 2022

AGRÉGATION CONCOURS INTERNE ET CAER

Section MATHÉMATIQUES

DEUXIÈME ÉPREUVE

Durée : 6 heures

L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout matériel électronique (y compris la calculatrice) est rigoureusement interdit.

Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.

NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier.

INFORMATION AUX CANDIDATS

Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie.

Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

-Concours interne de l'Agrégation de l'enseignement public :

Concours E|A| 1

Section/option 1|30|0|A

Epreuve 1|0|2

Matière 0|5|3|0

Concours interne du CAER / Agrégation de l'enseignement privé :

Concours E|A|H

Section/option 1|30|0|A

Epreuve 1|0|2

Matière 0|5|3|0

Notations.

Dans tout le sujet,

ℝ

désignera le corps des nombres réels et

ℕ

l'ensemble des entiers naturels. De plus,

n

désignera un entier naturel strictement supérieur à 1.

On considère un espace probabilisé

(Ω, A, P)

. Pour

X

est une variable aléatoire réelle définie sur

Ω

, on note

E(X)

son espérance (lorsqu'elle existe) et

V(X)

sa variance (lorsqu'elle existe).
On rappelle que, sous réserve d'existence, la covariance de deux variables aléatoires

X

Y

définies sur

Ω

est le nombre réel noté

Cov(X, Y)

et défini par

Cov(X, Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y))) = E(XY) - E(X)E(Y).

En conséquence, sous réserve de l'existence de

V(X), V(Y)

V(X + Y)

V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov(X, Y).

Objectifs du problème.
Soit

X

une variable aléatoire définie sur

Ω

. On se place dans le contexte où la loi de

X

n'est pas complètement spécifiée et où cette loi dépend d'un paramètre

θ

inconnu. Le but de l'estimation consiste à approcher la valeur de ce paramètre

θ

, ou éventuellement la valeur de son image

g(θ)

par une fonction réelle

g

.
La première partie revient sur quelques résultats au sujet des séries entières. La deuxième partie étudie les familles sommables. Dans les deux dernières parties, on se place dans le cas où

X

est une variable aléatoire définie sur

Ω

suivant une loi de Poisson de paramètre

θ

inconnu et on développe quelques outils pour l'estimation de ce paramètre.

I. Séries entières.

1.Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? On justifiera soigneusement les réponses.
- (a)Affirmation : « soient $(u_k)_(k \in ℕ)$ et $(v_k)_(k \in ℕ)$ deux suite de nombre réels positifs, telles que la série de terme général $v_k$ converge et que pour tout $k \in ℕ, u_k ⩽ v_k$ . Alors la série de terme général $u_k$ converge également ».
- (b)Affirmation : « soient $(u_k)_(k \in ℕ)$ et $(v_k)_(k \in ℕ)$ deux suite de nombre réels, telles que la série de terme général $v_k$ converge et que pour tout $k \in ℕ, u_k ⩽ v_k$ . Alors la série de terme général $u_k$ converge également ».
- (c)Affirmation : « soit $(u_k)_(k \in ℕ)$ une suite de nombres réels tous non nuls. On suppose que
  $lim_(k ⟶ + \infty)|(u_(k + 1))/(u_k)| = ℓ$
  avec $ℓ < 1$ . Alors la série de terme général $u_k$ converge absolument ».
- (d)Affirmation : « soit $(u_k)_(k \in ℕ)$ une suite de fonctions réelles continues définies sur un même intervalle $I$ , telle que pour tout $x \in I$ , la suite $(u_k(x))_(k \in ℕ)$ converge vers un réel $U(x)$ . La fonction $U$ ainsi définie sur $I$ est continue».

2.Question de cours. Soit $(u_k)_(k \in ℕ)$ une suite de nombres réels. On rappelle que le rayon de convergence de la série entière de terme général $u_k x^k$ est défini par
$éR = sup{x ∈ ℝ|(|u_k x^k|)_(k ∈ ℕ) est majorée } ∈ ℝ^+ ∪ { + ∞}.$
- (a)Soit $x \in ℝ$ .
  - i.Montrer que si $|x| < R$ , alors la série de terme général $u_k x^k$ converge absolument.
  - ii.Montrer que si $|x| > R$ , alors la série de terme général $u_k x^k$ diverge.

On considère alors la fonction

S : ] - R, R[ ⟶ ℝ

définie par

S(x) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)u_k x^k

- (b)Soit $R^' \in ]0, R[$ . Montrer que la série de terme général $u_k x^k$ converge uniformément sur $[ - R^', R^']$ . Que peut-on en déduire sur la régularité de $S$ ?
- (c)Montrer que le rayon de convergence de la série de terme général $(k + 1)u_(k + 1)x^k$ est égal à $R$ .
- (d)Montrer que $S$ est indéfiniment dérivable sur $] - R, R[$ .
3.Soit $r$ un entier naturel non nul. Déterminer le rayon de convergence de la série entière de terme général $(k^r x^k)/(k!)$ . Déterminer sa somme lorsque $r = 1$ et lorsque $r = 2$ .
4.On note, pour tout entier $N ⩾ 1, α_N$ le nombre de partitions de l'ensemble $[ [1, N] ]$ et on convient que $α_0 = 1$ .
- (a)Calculer $α_1, α_2$ et $α_3$ .
- (b)Montrer que pour tout entier $N ⩾ 0$ ,
  $α_(N + 1) = \sum_(k = 0)^N(N/k)α_k.$
- (c)Montrer que, pour tout $N ⩾ 0, α_N ⩽ N$ !.
- (d)En déduire que la série entière de terme général $(α_N x^N)/(N!)$ converge pour tout $x$ réel tel que $|x| < 1$ . On note $f(x)$ sa somme.
- (e)Montrer que $f$ est dérivable sur $] - 1, 1[$ et que pour tout $x \in ] - 1, 1[, f^'(x) = e^x f(x)$ . En déduire que pour tout $x \in ] - 1, 1[, f(x) = e^(e^x - 1)$ .
- (f)En déduire que pour tout entier naturel $N$ ,
  $α_N = 1/e\sum_(k = 0)^(+ \infty)(k^N)/(k!).$

II. Familles sommables.

Soit

I \subset ℕ^n

. Les éléments de I seront notés sous la forme

i_- = (i_1, i_2, \dots, i_n)

Cas des familles sommables de réels positifs.

Soit

u = (u_(i_-))_(i_- \in I)

une famille de réels positifs ou nuls indexée par I. On dit que

u

est sommable lorsque la borne supérieure suivante est finie :

sup{∑_(i_– ∈ J)u_(i_–), J ⊂ I et J fini }}}{{ < + ∞.

Dans ce cas, on note

∑_(i_– ∈ I)u_(i_–) = sup{∑_(i_– ∈ J)u_(i_–,)J ⊂ I et J fini }}}{{.

Soit

u = (u_(i_-))_(i \in I)

(v_(i_-))_(i_- \in I)

deux familles de réels positifs et

a, b

deux réels positifs.

5.On suppose que pour tout $i_- \in I$ ,
$u_(i_-) ⩽ v_(i_-).$
Montrer que si $v$ est sommable, alors $u$ est sommable.
6.On suppose que $u$ et $v$ sont sommables. Montrer que la famille $au + bv$ définie par
$(au + bv)_(i_-) = au_(i_-) + bv_(i_-)$
est sommable et que
$\sum_(i_- \in I)(au_(i_-) + bv_(i_-)) = a(\sum_(i_- \in I)u_(i_-)) + b(\sum_(i_- \in I)v_(i_-)).$
7.On considère $(I_k)_(k \in ℕ)$ une famille de sous-ensembles de $I$ tels que
- - $⋃_(k \in ℕ)I_k = I$ .
- -Pour tout $k, l \in ℕ$ , distincts, $I_k \cap I_l = \emptyset$ .
Par convention, si $I_k = \emptyset$ , on pose
$\sum_(i_- \in I_k)u_(i_-) = 0.$
On suppose que $u$ est sommable.
- (a)Montrer que la famille $(u_(i_-))_(i \in I_k)$ est sommable pour tout $k \in ℕ$ .
- (b)Montrer que pour tout $p \in ℕ$ ,
  $\sum_(k = 0)^p(\sum_(i_- \in I_k)u_(i_-)) ⩽ \sum_(i_- \in I)u_(i_-).$
- (c)Montrer que la série de terme général $\sum_(i_- \in I_k)u_(i_-)$ converge. Sa somme est notée $\sum_(k = 0)^(+ \infty)\sum_(i_- \in I_k)u_(i_-)$ .

(d)Montrer que
$\sum_(k = 0)^(+ \infty)\sum_(i_- \in I_k)u_(i_-) ⩽ \sum_(i_- \in I)u_(i_-).$
8.Réciproquement, montrer que si la famille $(u_i)_(i \in I_k)$ est sommable pour tout $k \in ℕ$ et si la série de terme général $\sum_(i_- \in I_k)u_(i_-)$ converge, alors $(u_(i_-))_(i_- \in I)$ est sommable et
$\sum_(i_- \in I)u_(i_-) ⩽ \sum_(k = 0)^(+ \infty)\sum_(i_- \in I_k)u_(i_-).$
9.Déduire des questions précédentes le résultat suivant, appelé théorème de sommation par paquets :
$(u_(i_-))_(i_- \in I_k)$ est sommable pour tout $k \in ℕ$ et la série de terme général $\sum_(i_- \in I_k)u_(i_-)$ converge si et seulement si $(u_(i_-))_(i_- \in I)$ est sommable. De plus, dans ce cas,
$\sum_(i_- \in I)u_(i_-) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)\sum_(i_- \in I_k)u_(i_-).$
Cas des familles sommables de réels quelconques.
Soit $u = (u_(i_-))_(i_- \in I)$ une famille de réels indexée par I. On dit que $u$ est sommable lorsque la famille de réels positifs ou nuls $|u| = (|u_(i_-)|)_(i_- \in I)$ est sommable.
Soit $u = (u_(i_-))_(i \in I)$ une famille de réels indexée par I. Pour tout $i_- \in I$ , on pose
$u_(i_-)^+ = max(u_(i_-), 0) et u_(i_-)^- = max(- u_(i_-), 0).$
Ceci définit deux familles $u^+ = (u_(i_-)^+)_(i_- \in I)$ et $u^- = (u_(i_-)^-)_(i_- \in I)$ de réels positifs ou nuls.
10.Soit $u = (u_(i_-))_(i_- \in I)$ une famille de réels indexée par $I$ . Montrer que la famille $u$ est sommable si et seulement si les familles $u^+$ et $u^-$ sont sommables.
Pour $(u_(i_-))_(i \in I)$ une famille sommable de réels, on définit alors sa somme par
$\sum_(i_- \in I)u_(i_-) = (\sum_(i_- \in I)u_(i_-)^+) - (\sum_(i_- \in I)u_(i_-)^-).$
11.Soient $u = (u_(i_-))_(i_- \in I)$ et $v = (v_(i_-))_(i_- \in I)$ deux familles sommables de réels.
(a)Montrer que la famille $u + v$ définie par
$(u + v)_(i_-) = u_(i_-) + v_(i_-)$
est sommable et
$\sum_(i_- \in I)(u_(i_-) + v_(i_-)) = (\sum_(i_- \in I)u_(i_-)) + (\sum_(i_- \in I)v_(i_-)).$

(b)Soient $a$ et $b$ deux réels. Montrer que la famille $au + bv$ définie par
$(au + bv)_(i_-) = au_(i_-) + bv_(i_-)$
est sommable et déterminer sa somme en fonction des sommes de $u$ et $v$ .

On considère $(I_k)_(k \in ℕ)$ une famille de sous-ensembles de $I$ tels que

- $⋃_(k \in ℕ)I_k = I$ .
-Pour tout $k, l \in ℕ$ , distincts, $I_k \cap I_l = \emptyset$ .

Par convention, si

I_k = \emptyset

, on pose

\sum_(i_- \in I_k)u_(i_-) = 0.

Montrer que

(u_(i_-))_(i_- \in I_k)

est sommable pour tout

k \in ℕ

et la série de terme général

\sum_(i_- \in I_k)|u_(i_-)|

converge si et seulement si

(u_(i_-))_(i_- \in I)

est sommable. De plus dans ce cas, vérifier que

\sum_(i_- \in I)u_(i_-) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)\sum_(i_- \in I_k)u_(i_-).

Application : Théorème du transfert.
13. Soit

X_1, X_2, \dots, X_k

des variables aléatoires réelles discrètes définies sur

Ω

φ

une application définie sur

ℝ^n

à valeurs dans

ℝ

telle que

T = φ(X_1, X_2, \dots, X_k)

soit encore une variable aléatoire réelle discrète définie sur

Ω

. Pour tout

i \in {1, \dots, k}

, l'univers-image de

X_i

est noté

X_i(Ω) = {x_(i, j)|j ∈ I_i},

où

I_i

est une partie de

ℕ

. On pose

I = I_1 \times \dots \times I_n

.
Montrer que les deux assertions (

A_1

) et (

A_2

) suivantes sont équivalentes :

$(A_1)T$ admet une espérance.
(A2)La famille $(φ(x_(1, i_1), x_(2, i_2), \dots, x_(n, i_n))P(⋂_(k = 1)^n[X_k = x_(k, i_k)]))_(i_- \in I)$ est sommable.

De plus dans ce cas, vérifier que

E(T) = \sum_((i_1 i_2, \dots, x_k) \in I)φ(x_(1, i_1), x_(2, i_2), \dots, x_(n, i_n))P(⋂_(k = 1)^n[X_k = x_(k, i_k)]).

III. Estimateurs.

Soit I un intervalle ouvert, non vide, inclus dans ]0, +

\infty

On considère une variable aléatoire

X

définie sur

Ω

suivant une loi de Poisson dépendante d'un paramètre réel

θ \in I

, inconnu : autrement dit,

X(Ω) = ℕ

et, pour tout entier naturel

k

P([X = k]) = (θ^k)/(k!)e^(- θ).

On cherche à approcher la valeur de ce paramètre

θ

, ou éventuellement la valeur de son image

g(θ)

par une fonction réelle

g

définie sur

I

.
14. (a) À l'aide des résultats de la première partie, montrer que

X

admet des moments d'ordre

r

pour tout

r

entier naturel non nul (c'est-à-dire que

X^r

admet une espérance pour tout

r

entier naturel non nul) puis que l'espérance et la variance de

X

sont égales à

θ

(b)Donner une interprétation combinatoire des moments d'ordre $r$ de $X$ lorsque $θ = 1$ .

Soit $n$ variables aléatoires $Y_1, Y_2, \dots, Y_n$ définies sur $Ω$ , mutuellement indépendantes, suivant des lois de Poisson de paramètre respectif $θ_1, \dots, θ_n$ . Montrer que la variable aléatoire $\sum_(i = 1)^n Y_i$ suit la loi de Poisson de paramètre $\sum_(i = 1)^n θ_i$ . Indication : on pourra démontrer d'abord le cas $n = 2$ . Soient $X_1, X_2, \dots, X_n$ des variables aléatoires réelles définies sur $Ω$ , mutuellement indépendantes, et de même loi que $X$ . Soit $φ$ une application définie sur $ℝ^n$ et à valeurs dans $ℝ$ telle que $φ(X_1, X_2, \dots, X_n)$ soit encore une variable aléatoire définie sur $Ω$ .

▷ Le $n$ -uplet $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ est appelé un $n$ -échantillon de la loi de $X$ et la variable aléatoire $T_n = φ(X_1, X_2, \dots, X_n)$ est appelée un estimateur de $g(θ)$ .
-Après une réalisation de l'expérience aléatoire associée à $Ω$ , on note $x_1, x_2, \dots, x_n$ les valeurs prises par $X_1, X_2, \dots, X_n$ : ce sont les observations de l'échantillon. Le réel $t = φ(x_1, x_2, \dots, x_n)$ est appelé une réalisation de l'estimateur $T_n$ de $g(θ)$ et est choisie comme estimation ponctuelle de la valeur de $g(θ)$ .

Autrement dit, estimer ponctuellement

g(θ)

, c'est décider d'accorder à

g(θ)

la valeur expérimentale

φ(x_1, x_2, \dots, x_n)

Les outils suivants vont nous permettre d'étudier les estimateurs et de choisir le plus pertinent : soit

(X_1, X_2, \dots, X_n)

un n-échantillon de la loi de

X

T_n

un estimateur de

g(θ)

admettant une espérance

E(T_n)

, dépendant éventuellement de

θ

-Le réel $E(T_n) - g(θ)$ est appelé biais de $T_n$ et est noté $b_θ(T_n)$ .
-L'estimateur $T_n$ est dit sans biais lorsque $b_θ(T_n) = 0$ , c'est-à-dire lorsque $E(T_n) = g(θ)$ .
-Si l'estimateur $T_n$ admet une variance $V(T_n)$ , dépendant éventuellement de $θ$ , on appelle risque quadratique de $T_n$ le réel
$r_θ(T_n) = E((T_n - g(θ))^2) = b_θ(T_n)^2 + V(T_n).$

En particulier si

T_n

est sans biais, alors

r_θ(T_n) = V(T_n)

.
Une suite

(T_n)_(n \in ℕ^*)

d'estimateurs de

g(θ)

admettant une espérance est dite asymptotiquement sans biais lorsque

lim_(n \to + \infty)b_θ(T_n) = 0

On commence par étudier deux estimateurs de

θ

: la moyenne et la variance empiriques. Soit

(X_1, X_2, \dots, X_n)

n

-échantillon de la loi de

X

. On définit la moyenne empirique

X_n^-

X_1, X_2, \dots, X_n

et la variance empirique

S_n^-

X_1, X_2, \dots, X_n

par

X_n^- = 1/n\sum_(k = 1)^n X_k et S_n^- = 1/n\sum_(k = 1)^n(X_k - X_n^-)^2.

Montrer que $X_n^-$ est un estimateur sans biais de $θ$ et que son risque quadratique est $θ/n$ .
(a) Montrer que

nS_n^- = \sum_(k = 1)^n X_k^2 - nX_n^-^2.

En déduire

E(S_n^-)

(b)Montrer que $S_n^-$ est un estimateur asymptotiquement sans biais de $θ$ .
(c)Montrer que $S_n ˆ = n/(n - 1)S_n^-$ est un estimateur sans biais de $θ$ . Cet estimateur est appelé variance empirique corrigée.

(a) Montrer que

nS_n^- = (\sum_(k = 1)^n(X_k - θ)^2) - n(X_n^- - θ)^2.

(b)En déduire que $nS_n^-$ admet une variance donnée par la formule suivante :
$V(nS_n^-) = nV((X - θ)^2) - 2n^2 Cov((X_1 - θ)^2, (X_n^- - θ)^2) + n^2 V((X_n^- - θ)^2).$
(c)Montrer que
$n^4 E((X_n^- - θ)^4) = nE((X - θ)^4) + 3n(n - 1)θ^2.$
Indication : on remarquera que lorsqu'on développe $(\sum_(k = 1)^n(X_k - θ))^4$ , on obtient des termes de la forme $(X_i - θ)^4$ ou $(X_i - θ)^2(X_j - θ)^2$ ou $(X_i - θ)^3(X_j - θ)$ ou $(X_i - θ)^2(X_j - θ)(X_k - θ)$ ou $(X_i - θ)(X_j - θ)(X_k - θ)(X_l - θ)$ avec $i, j, k, l$ distincts deux à deux, dont on précisera l'espérance.
(d)En déduire que
$n^2 V((X_n^- - θ)^2) = (E((X - θ)^4) + (2n - 3)θ^2)/n.$
(e)Montrer que
$n^2(X_n^- - θ)^2 = \sum_(k = 1)^n(X_k - θ)^2 + 2\sum_(1 ⩽ i < j ⩽ n)(X_i - θ)(X_j - θ).$
(f)En déduire que
$n^2 E((X_1 - θ)^2(X_n^- - θ)^2) = E((X - θ)^4) + (n - 1)θ^2,$
puis que
$Cov((X_1 - θ)^2, (X_n^- - θ)^2) = (E((X - θ)^4) - θ^2)/(n^2).$
(g)Déduire des questions précédentes que
$V(S_n ˆ) = 1/nE((X - θ)^4) - (n - 3)/(n(n - 1))θ^2.$

IV. Inégalité de Cramer-Rao.

Le meilleur estimateur possible est un estimateur sans biais de variance minimale. Pour étudier cet extremum, nous allons établir l'inégalité de Cramer-Rao.

On se place toujours dans

(Ω, A, P)

un espace probabilisé et on considère de nouveau

X

une variable aléatoire définie sur

Ω

suivant une loi de Poisson dépendante d'un paramètre réel

θ \in I

inconnu avec I intervalle non vide ouvert inclus dans ]0,

+ \infty[

. On considère les fonctions suivantes :

f : {I × ℕ, ⟶ ℝ; (θ, k), ⟼ P([X = k]) = (θ^k)/(k!)e^(− θ).; g : {I × ℕ, ⟶ ℝ; (θ, k), ⟼ ln(f(θ, k)).

On définit sous réserve d'existence l'information de Fisher de X par

F_X(θ) = V((\partialg)/(\partialθ)(θ, X)).

Montrer que pour tout $θ \in I$ ,

E((\partialg)/(\partialθ)(θ, X)) = 0,

puis que

F_X(θ) = 1/θ.

Soit

φ

une fonction réelle telle que

φ(X)

soit une variable aléatoire définie sur

Ω

, admettant une espérance

E(φ(X))

et une variance

V(φ(X))

pour tout

θ \in I

.
L'inégalité de Cramer-Rao affirme que

V(φ(X)) ⩾ ((\partial/(\partialθ)E(φ(X)))^2)/(F_X(θ)).

Nous allons démontrer cette inégalité.
20. (a) Montrer que la fonction

ψ : θ ⟼ \sum_(k = 0)^(+ \infty)φ(k)f(θ, k)

est définie et dérivable sur

I

et que pour tout

θ \in I

ψ^'(θ) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)φ(k)(\partialf)/(\partialθ)(θ, k).

(b)En déduire que
$\partial/(\partialθ)E(φ(X)) = E(φ(X)(\partialg)/(\partialθ)(θ, X)).$

On fixe temporairement $θ \in I$ et on considère la fonction $Q_θ$ suivante dépendant d'une variable réelle $t$ :

Q_θ(t) = E((φ(X) - E(φ(X)) + t(\partialg)/(\partialθ)(θ, X))^2).

(a)Montrer que $Q_θ$ est un polynôme de degré 2 défini sur $ℝ$ .
(b)Étudier le discriminant de $Q_θ$ .
(c)En déduire l'inégalité de Cramer-Rao.

Nous allons généraliser cette inégalité à nos estimateurs.
Soit

(X_1, X_2, \dots, X_n)

un n-échantillon de la loi de

X

. On appelle fonction de vraisemblance pour les observations

(k_1, k_2, \dots, k_n)

de l'échantillon la fonction du paramètre

θ \in I

définie de la façon suivante :

L(θ, k_1, k_2, \dots, k_n) = P(⋂_(j = 1)^n[X_j = k_j]).

On définit, sous réserve d'existence, l'information de Fisher de l'échantillon (

X_1, X_2, \dots, X_n

) par

F(θ) = V((\partialln(L))/(\partialθ)(θ, X_1, X_2, \dots, X_n)).

Montrer que pour tout $θ \in I$ ,

E((\partialln(L))/(\partialθ)(θ, X_1, X_2, \dots, X_n)) = 0,

puis que

F(θ) = nF_X(θ).

Soit

T_n = φ(X_1, X_2, \dots, X_n)

un estimateur de

g(θ)

admettant une espérance pour tout

θ \in I

avec

g

dérivable sur

I

. On dit que

T_n

est régulier lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :

Pour tout $θ \in I$ , la famille

(φ(k_1, k_2, \dots, k_n)(\partialL)/(\partialθ)(θ, k_1, k_2, \dots, k_n))_((k_1, k_2, \dots, k_n) \in ℕ^n)

est sommable.

La relation suivante est vérifiée :

\partial/(\partialθ)(\sum_((k_1, k_2, \dots, k_n) \in ℕ^n)φ(k_1, k_2, \dots, k_n)L(θ, k_1, k_2, \dots, k_n)); = \sum_((k_1, k_2, \dots, k_n) \in ℕ^n)φ(k_1, k_2, \dots, k_n)(\partialL)/(\partialθ)(θ, k_1, k_2, \dots, k_n).

(a) Montrer que tout estimateur $T_n$ de $g(θ)$ admettant une espérance est régulier.

(b)En déduire que pour tout $θ \in I$ ,
$\partial/(\partialθ)E(T_n) = E(T_n(\partialln(L))/(\partialθ)(θ, X_1, X_2, \dots, X_n)) = E((T_n - g(θ))(\partialln(L))/(\partialθ)(θ, X_1, X_2, \dots, X_n)).$

Montrer que si $T_n$ est un estimateur sans biais de $g(θ)$ admettant un moment d'ordre 2 pour tout $θ \in I$ , alors

V(T_n) ⩾ (g^'(θ)^2)/(nF_X(θ)).

Un estimateur sans biais de

g(θ)

admettant un moment d'ordre 2 est dit efficace s'il atteint la borne de Cramer-Rao, c'est-à-dire si

V(T_n) = (g^'(θ)^2)/(nF_X(θ)).

Montrer que $X_n^-$ est un estimateur efficace de $θ$ .
Nous allons maintenant chercher les estimateurs réguliers sans biais efficaces de $θ$ .

(a)Soit $T_n$ un estimateur efficace et sans biais de $θ$ admettant un moment d'ordre 2. Montrer que $T_n$ et $X_n^-$ sont presque sûrement liées par une relation affine.
(b)Montrer qu'il existe deux estimateurs de $θ$ sans biais et efficaces et admettant un moment d'ordre 2, dont l'un est $X_n^-$ . Que peut-on penser du second pour les applications pratiques?

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte la seconde épreuve écrite de l'agrégation interne de maths 2022 ?

Le sujet porte sur les séries entières, les familles sommables et le théorème du transfert, puis sur l'estimation d'un paramètre pour une loi de Poisson et l'inégalité de Cramer-Rao.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve d'agrégation interne maths 2022 ?

Le jury relève des confusions entre suite et série, entre borne supérieure et maximum pour le rayon de convergence, l'utilisation de résultats sans vérifier leurs hypothèses, et une résolution mal maîtrisée d'une équation différentielle linéaire simple.

Cette épreuve 2 d'agrégation interne de maths 2022 est-elle difficile ?

Oui, la moyenne n'est que de 7,29/20 avec un écart-type de 3,44, et le rapport qualifie explicitement certaines questions de difficiles, très peu réussies.

La partie sur les familles sommables du sujet d'agrégation interne maths 2022 est-elle bien réussie ?

Non, le rapport indique que la démonstration de la sommabilité est souvent traitée correctement, mais que l'égalité des sommes est rarement correctement démontrée, et que l'existence de la borne supérieure n'est presque jamais justifiée.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Agrégation mathématiques interne 2022, épreuve 2

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