CAPES mathématiques interne Mayotte 2022, épreuve écriteSujet et rapport du jury

CAPES A AFFECTATION LOCALE A MAYOTTE CONCOURS EXTERNE CONCOURS INTERNE

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

INFORMATION AUX CANDIDATS

• Concours externe du CAPES à affectation locale à Mayotte de l'enseignement public :
  

  

• Concours interne du CAPES à affectation locale à Mayotte de l'enseignement public :
  

  

Problème 1 : Vrai-Faux

• 1- Une anagramme est un mot obtenu par transposition des lettres d'un autre mot.
  Proposition : le nombre d'anagrammes du mot DENOMBRE est 20160.
• 2- Une entreprise comprend 40 femmes et 70 hommes. Le salaire mensuel net moyen dans l'entreprise est de 1900 euros. Celui des hommes est de 2100 euros.
  Proposition : dans cette entreprise, le salaire mensuel net moyen des femmes est de 35% inférieur à celui des hommes.
• 3- Proposition : le produit de 3 entiers naturels consécutifs est un multiple de 3.
• 4- Deux engrenages A et B comportent respectivement 12 et 8 dents. L'engrenage A tourne dans le sens direct. En position initiale, les flèches, marquant un repère, sont décalées de 3 crans.
  

  

  
  Proposition : les flèches ne pourront jamais être alignées, quelle que soit la rotation effectuée.
• 5- Soit l'équation diophantienne (E) : 3x − 2y = − 1.
  Proposition : les couples de ℤ^2 solutions de (E) sont tous formés d'entiers relatifs de même signe.
• 6- Proposition : l'équation 4sin^2 t − 3 = 0 a exactement deux solutions dans l'intervalle [0; 2π].
• 7- À tout nombre complexe z ≠ 3, on associe le nombre complexe z^′ défini par : z^′ = (z − 5 + i)/(z − 3).
  Proposition : l'ensemble des points M d'affixe z tel que |z^′| = 1 est une droite privée d'un point.
• 8- Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O; i⃗, j⃗), on considère les points E(− 1; 0), F(5; 0) et G(1; 4).
  Proposition : l'orthocentre du triangle EFG est le point H(1; 2).
• 9- Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O; i⃗, j⃗, k⃗), on considère :
  • -le plan (P) de vecteur normal n⃗(2; 1; 2) passant par le point A(0; − 1; 0);
  • -le plan (Q) d'équation cartésienne x − 2y + 6z = 0.

• 10 − ABCD est un tétraèdre régulier : les six arêtes ont la même longueur a(a ∈ ℝ^(+ ∗)). Deux arêtes sont dites opposées lorsqu'elles ne sont pas incluses dans une même face.
  Proposition : les arêtes opposées du tétraèdre régulier ABCD sont orthogonales.
• 11- Proposition : toute suite convergente est monotone.

• 12- Proposition : toute suite non majorée tend vers + ∞.
• 13- Soit la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) définie par u_0 = 2 et pour tout entier naturel n, u_(n + 1) = √(1 + u_n).
  Proposition : la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) est décroissante.
• 14- Soit f une fonction strictement croissante sur l'intervalle [-4;4] telle que f(− 4) = − 3 et f(4) = 2.
  Proposition : l'équation f(x) = 0 admet exactement une solution dans l'intervalle [-4;4].
• 15- Soit la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) définie pour tout entier naturel n par u_n = n(e^(1/n) − 1).
  Proposition : lim_(n → + ∞)u_n = 1.
• 16- Proposition : pour tout réel a positif ou nul, ln(1 + a) ⩽ a.
• 17- On considère la suite (I_n)_(n ∈ ℕ), définie pour tout entier naturel n non nul par :
  I_n = 1/(n!)∫_0^1(1 − x)^n e^(− x) dx
  Proposition : pour tout entier naturel n non nul : I_(n + 1) + I_n = 1/((n + 1)!).
• 18- Soit l'équation différentielle (E) : y^′ − 5y = 1.
  Proposition : si les fonctions y_1 et y_2 sont solutions de l'équation différentielle ( E ), alors la fonction y_1 + y_2 est solution de l'équation différentielle (E).
• 19- Soit la proposition p : «ABCD est un rectangle » et la proposition q:<ABCD est un quadrilatère ayant ses diagonales de même longueur ».
  Proposition : q ⟹ p.

def Seuil(s) :
    n = 0
    u = 0.25
    v = 0.75
    while u < s :
        u = 0.9*u+0.2*v
        v = 1-u
        n = n+1
    return n

Problème 2 : lieu géométrique, fonction

• - N le point d'intersection de la demi-droite [OA) et de la droite (d).
• - (Δ_A) la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par A.
• - (Δ_N) la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par N.
• - M(x_M; y_M) le point d'intersection des droites (Δ_A) et (Δ_N).

• 1- Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f et étudier sa parité.
• 2- Démontrer que la courbe (Γ) admet une unique asymptote que l'on déterminera.
• 3- Étudier les variations de la fonction f sur ℝ.
• 4- Étudier la convexité de la fonction f.
• 5- Représenter la courbe (Γ) dans un repère orthonormé du plan.
• 6- Déterminer l'aire totale comprise entre l'axe des abscisses et la courbe (Г).

Problème 3 : suites

• (a)Démontrer que pour tout k ∈ ℕ^∗, 1/(k + 1) ⩽ ∫_k^(k + 1)(dx)/x ⩽ 1/k.
• (b)En déduire que la suite (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) est divergente.

• (a)Démontrer que la suite (v_n)_(n ∈ ℕ^∗) est croissante.
• (b)Démontrer par récurrence que pour tout n ∈ ℕ^∗, v_n ⩽ 2 − 1/n.
• (c)Démontrer que la suite (v_n)_(n ∈ ℕ^∗) est convergente.
• (d)On admet que lim_(n → + ∞)v_n = (π^2)/6. Écrire un algorithme qui calcule v_(1000).
• (e)L'exécution d'un algorithme calculant v_(1000) donne :
  1.6439345666815615
  Préciser le nombre de décimales de π obtenues par ce calcul.

• (a)Démontrer que (w_n)_(n ∈ ℕ^∗) converge.
• (b)La suite (w_n)_(n ∈ ℕ^∗) converge vers la constante d'Apéry notée ζ(3) du nom du mathématicien qui a démontré son irrationalité en 1978.
  ζ(3) ≈ 1, 20205690316
  Que signifie " ζ(3) est irrationnelle"?
• (c)On considère le nombre β = (π^3)/(6√(294542216)), on a β ≈ 1, 20205690198.
  Écrire un algorithme qui permet de justifier que la suite (w_n)_(n ∈ ℕ^∗) ne tend pas vers β.

Problème 4 : moyennes

• 1- Un cycliste effectue une montée de 10 km à une vitesse moyenne de 10 km/h, puis effectue la descente (sur le même trajet de 10 km) à la vitesse moyenne de 30 km/h.
  • (a)Quelle est la vitesse moyenne du cycliste sur l'ensemble du parcours?
  • (b)Exprimer, en fonction de x et de y, la vitesse moyenne du cycliste sur le parcours lorsque la vitesse moyenne est de x km/h lors de la montée et de y km/h lors de la descente.
• 2- Soit un rectangle de côtés x et y et un carré de côté c, où c ∈ ℝ^(∗ +).
  Exprimer c en fonction de x et de y dans chacun des cas suivants :
  • (a)Le carré et le rectangle ont le même périmètre.
  • (b)Le carré et le rectangle ont la même aire.
  • (c)Le carré et le rectangle ont des diagonales de même longueur.
  • (d)Le rapport des aires est égal au rapport des périmètres.
• 3- Soit un demi-cercle de centre O et de diamètre [AC] tel que AC = x + y.
  B est le point du segment [AC] tel que AB = x.
  D est le point du demi-cercle qui se projette orthogonalement en B sur [AC] et K le projeté orthogonal de B sur [OD].
  Exprimer OD, DB et DK en fonction de x et de y.
• 4- On donne les définitions de différentes moyennes de x et de y :
  • - a = (x + y)/2 est la moyenne arithmétique de x et de y.
  • - g = √(xy) est la moyenne géométrique de x et de y.
  • - h = (2xy)/(x + y) est la moyenne harmonique de x et de y.
  • - q = √((x^2 + y^2)/2) est la moyenne quadratique de x et de y.

• • (a) a, g, h et q sont des réels strictement positifs.
  • (b) a^2 − g^2 = ((x − y)^2)/4.
  • (c) g = √(ah).
  • (d)Le logarithme de la moyenne géométrique de deux nombres strictement positifs est la moyenne arithmétique des logarithmes de ces deux nombres.
• 5- Démontrer l'inégalité des moyennes : x < h < g < a < q < y.
• 6- Soient n ∈ ℕ^∗ et u_(n − 1), u_n, u_(n + 1) trois termes consécutifs d'une suite à termes strictement positifs.
  Exprimer u_n en fonction de u_(n − 1) et u_(n + 1) lorsque :
  • (a)La suite est arithmétique.
  • (b)La suite est géométrique.