CAPES A AFFECTATION LOCALE A MAYOTTE CONCOURS EXTERNE CONCOURS INTERNE
Section : MATHÉMATIQUES
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
Durée : 5 heures
Calculatrice autorisée selon les modalités de la circulaire du 17 juin 2021 publiée au BOEN du 29 juillet 2021.
L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout autre matériel électronique est rigoureusement interdit.
Il appartient au candidat de vérifier qu'il a reçu un sujet complet et correspondant à l'épreuve à laquelle il se présente.
Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.
NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier. Le fait de rendre une copie blanche est éliminatoire.
INFORMATION AUX CANDIDATS
Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie.
Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.
Concours externe du CAPES à affectation locale à Mayotte de l'enseignement public :
Concours interne du CAPES à affectation locale à Mayotte de l'enseignement public :
Problème 1 : Vrai -Faux
Préciser si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse, puis justifier la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
1.a est un nombre dont l'écriture décimale est 2,0242024 ... , la séquence 2024^– se répétant indéfiniment.
Proposition : II existe deux nombres entiers p et q tels que a = p/q.
2.Proposition : Une augmentation de 2% suivie d'une augmentation de 5% est plus importante qu'une augmentation de 5% suivie d'une augmentation de 2%.
3.Proposition : Si on augmente d'un point la note de tous les élèves d'une classe lors d'une évaluation, la moyenne et l'écart-type de cette évaluation augmentent d'un point.
4.Proposition : (21!)/(10^6) est un nombre entier.
5.Un trajet est un enchainement de déplacements verticaux et horizontaux d'une unité.
Proposition : Le nombre de trajets les plus courts pour aller du départ à l'arrivée sur le quadrillage ci-dessus est 21.
6.Dans un lot de 10000 appareils, 1000 présentent le défaut A, 800 présentent le défaut B et 400 présentent à la fois les défauts A et B .
Proposition : Les événements « présenter le défaut A » et « présenter le défaut B » sont indépendants.
7.Il a été établi que le test de dépistage d'une maladie dans une population est :
-positif dans 96% des cas pour une personne atteinte d'une maladie ;
-négatif dans 94% des cas pour une personne qui n'est pas atteinte par la maladie.
On note p la probabilité qu'une personne ayant eu un test positif soit atteinte par la maladie.
Proposition : Pour que p soit supérieure à 0,9 il est nécessaire que plus de la moitié de la population soit atteinte par la maladie.
8.n est un entier supérieur ou égal à 2 . Une urne contient n boules vertes, 4 boules rouges et 3 boules blanches. On tire simultanément et au hasard deux boules de l'urne. Proposition : La probabilité de tirer deux boules de la même couleur est égale à (n^2 − n + 18)/((n + 7)(n + 6)).
9.On considère la fonction f définie sur ]0; 2[ par f(x) = (√(2 + x) − √(2 − x))/x. Proposition : La limite de f en 0 est + ∞.
10.On considère la fonction f définie sur ]0; + ∞[ par f(x) = (2 + cos(x))/(√x). Proposition : La limite de f en + ∞ est 0.
11.On considère l'intégrale I = ∫_0^π e^x cos(2x)dx. Proposition : I = (e^π − 1)/5.
13.Le plan est muni d'un repère orthonormé direct ( 0; u⃗, v⃗ ). On considère les points A et B d'affixes respectives z_A = 2e^(− iπ/3) et z_B = (3 − i)/(2 + i). Proposition : La droite (AB) est parallèle à l'axe des ordonnées.
14.Le plan est muni d'un repère orthonormé direct ( 0; u⃗, v⃗ ).
(E) est l'ensemble des points M du plan d'affixe z tels que arg((z − 1 + 2i)/(z − 2)) = π/2[π]. Proposition : (E) est une droite.
15.Soit z un nombre complexe tel que |z| = 1. Proposition : si z^′ est un nombre complexe tel que |z + z^′| = 1, alors z^′ = 0.
Problème 2 : inégalités
Partie A
1.On pose h(x) = 2x^3 − 3x^2 + 1, pour tout x ∈ ℝ
a.Étudier les variations de h sur ℝ.
b.Quel est le signe de h sur [0; 1] ?
2.Soit f la fonction définie sur [0; π/2[parf(x) = 2sin(x) + tan(x) − 3x.
a.Calculer f^′(x).
b.Déduire de la question 1.b le signe de 2cos^3(x) − 3cos^2(x) + 1sur[0; π/2[
c.Dresser le tableau de variations de f sur [0; π/2[.
3.En déduire l'inégalité de Huygens : 2sin(x) + tan(x) ≥ 3x, pour tout x ∈ [0; π/2[.
Partie B
Soit g la fonction définie sur [0; + ∞[parg(x) = sin(x)(4 − cos(x)) − 3x.
1.Démontrer que g est décroissante sur [0; + ∞[.
2.En déduire que sin(x)(4 − cos(x)) ≤ 3x, pour tout x ∈ [0; + ∞[.
Partie C
En donnant à x la valeur π/6, déduire des parties précédentes un encadrement de π.
Problème 3 : équation différentielle
On cherche à modéliser la quantité de principe actif d'un médicament dans l'organe visé en fonction du temps écoulé depuis la prise du médicament par un patient.
On est conduit à résoudre l'équation différentielle (E) : y^′ + ky = e^(− kt)k est une constante strictement positive t est le temps exprimé en heures, avec t ≥ 0.
la quantité de principe actif est exprimée en unité médicamenteuse.
1.Vérifier que la fonction g définie sur ℝ par : g(t) = te^(− k) est solution de (E).
2.Démontrer qu'une fonction f est solution de (E) si et seulement si la fonction f − g est solution de l'équation différentielle (E_0) : y^′ + ky = 0.
3.En déduire qu'une fonction f est solution de l'équation différentielle (E) si et seulement si il existe un réel α tel que pour tout t ≥ 0, f(t) = (t + α)e^(− kt).
On s'intéresse à la situation où la quantité de principe actif prise au départ est d'une unité médicamenteuse. On observe alors que le maximum de présence du principe actif dans l'organe visé chez le patient est atteint au bout d'une heure.
4.En déduire que la situation peut alors être modélisée par la fonction f définie sur [0; + ∞[parf(t) = (t + 1)e^(− t/2).
5.Etudier les variations de la fonction f sur [0; + ∞[.
6.Déterminer la limite en + ∞ de la fonction f et interpréter ce résultat.
On considère que l'organisme a éliminé le médicament quand sa quantité dans l'organe visé est inférieure à 0,001 .
7.Déterminer, à la minute près, à quel moment cela se produit selon le modèle.
8.Calculer ∫_0^6 f(t)dt et donner une valeur approchée à 0,001 unités près de la quantité moyenne de principe actif durant les 6 premières heures selon le modèle.
Problème 4 : géométrie dans l'espace
Partie A
L'espace est muni d'un repère orthonormé (0; ı⃗, ȷ⃗, k⃗).
-a, b, c et d sont des réels non tous nuls.
-P est un plan d'équation cartésienne ax + by + cz + d = 0.
-n⃗ est le vecteur normal au plan P de coordonnées (a; b; c).
-A est un point de l'espace de coordonnées ( x_A; y_A; z_A ).
-H est le projeté orthogonal du point A sur le plan P.
-B est un point du plan P de coordonnées (x_B; y_B; z_B).
-d(A, P) est la distance du point A au plan P.
Démontrer que n⃗.BA^(→−) = ax_A + by_A + cz_A + d.
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