CAPES mathématiques interne Mayotte 2023, épreuve écriteSujet et rapport du jury

CAPES A AFFECTATION LOCALE A MAYOTTE CONCOURS EXTERNE CONCOURS INTERNE

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

INFORMATION AUX CANDIDATS

• Concours externe du CAPES à affectation locale à Mayotte de l'enseignement public :
  

  

• Concours interne du CAPES à affectation locale à Mayotte de l'enseignement public :
  

  

Problème 1 : Vrai -Faux

• 1.L'aire des mers et océans sur la Terre est d'environ 362 millions de km^2, pour une aire totale d'environ 510 millions de km^2. L'Océan Pacifique représente 46 % de la surface totale des mers et océans.
  Proposition : l'Océan Pacifique représente plus d'un tiers de la surface de la Terre.
• 2.Le code d'accès à un immeuble est un nombre de cinq chiffres.
  Ce code comporte un « 1 », un « 2 », un « 7 » et deux fois le chiffre « 8 ».
  Proposition : on peut composer 60 codes différents avec ces chiffres.
• 3. A et B sont deux événements tels que P(A) = 0, 2, P_A(B) = 0, 3 et P(A¯ ∩ B¯) = 0, 56.
  Proposition : les événements A et B sont indépendants.
• 4.On considère un jeu pour lequel la probabilité de gagner est égale à 0,03.
  Une personne décide d'y jouer n fois, chaque jeu étant indépendant des autres.
  Proposition : la probabilité que cette personne gagne au moins une fois au cours de ces n parties est supérieure à 0,5 si et seulement si n ≥ 23.
• 5.Un jeu consiste à lancer 20 fois un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 . A chaque lancer on gagne 6€ si le nombre 1 apparait. La mise est de 15€.
  Proposition : On peut espérer un gain de 5€.
• 6.Proposition : cosπ/(12) = (√2)/4(1 + √3).
• 7.Proposition : l'équation cos3x = sinx admet six solutions dans l'intervalle [0, 2π].
• 8.Soit f une fonction définie et dérivable sur ℝ^∗ telle que f^′(x) = 0, pour tout réel x non nul.
  Proposition : il existe une constante réelle k telle que, pour tout x de ℝ^∗, f(x) = k.
• 9. f est la fonction définie surℝ∖{0} par f(x) = (sin(2x))/x
  Proposition : La limite de f en 0 est + ∞.
• 10.Soit P un polynôme de degré 3 , à coefficients réels, et défini sur ℂ.
  Soit z une racine de P et soit z¯ son conjugué.
  Proposition : z¯ est également une racine du polynôme P.
• 11.Soit (J_k) la suite définie par J_k = ∫_(e^(k − 1))^(e^k)(lnt)/tdt, pour tout entier naturel k ≥ 1.
  Proposition : pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, ∑_(k = 1)^n J_k = (n^2)/2.

• 12.Le plan est muni d'un repère orthonormé ( 0; u⃗, v⃗ ).
  A est le point de coordonnées (0 ; 1).
  • (E) est l'ensemble des points M du plan d'affixe z vérifiant l'égalité :
    |(1 − i√3)z − √3 − i| = 2
    Proposition : (E) est le cercle de centre A et de rayon 1.
• 13.Pour tout entier naturel n non nul, on pose K_n = ∫_1^e((lnx)^n)/(x^2)dx.
  Proposition : pour tout entier naturel n non nul, (n + 1)K_n − K_(n + 1) = 1/e
• 14.
  On considère le programme suivant écrit en langage Python :

  def surprise(n):
      k = 0
      u = 1
      while k < n:
          k = k + 1
          u = u * 2
      return u
  

  Proposition : surprise(4) renvoie la valeur 16.
• 15.Proposition : pour tout entier naturel n, le nombre n^3 − n est divisible par 6.
• 16.Proposition : 3^(2023) + 6 est divisible par 11
• 17.Proposition : pour tout entier relatif k, (7k + 3) et (2k + 1) sont premiers entre eux.
• 18.Proposition : il existe des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation 51x + 39y = 1.
• 19.On pose A = (ln2)/(ln3)
  Proposition : A est un nombre rationnel.
• 20.Soit ( u_n ) la suite définie par u_0 = 1 et u_(n + 1) = u_n + 2n + 3 pour tout entier naturel n.
  Proposition : tous les termes de la suite (u_n) sont des carrés parfaits.

Problème 2 : suites

• -la fonction f définie sur ℝ par f(x) = xe^(− x);
• -la suite (u_n) définie par u_0 = 1 et, pour tout entier naturel n, par u_(n + 1) = u_n e^(− u_n);
• -la suite (S_n) définie, pour tout entier naturel n, par S_n = ∑_(k = 0)^n u_k.

• 1.Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.
• 2.Étudier les variations de la fonction f.
• 3.Résoudre dans ℝ l'équation f(x) = x.

• 1.Démontrer que, pour tout entier naturel n, u_n > 0.
• 2.Démontrer que la suite ( u_n ) est décroissante.
• 3.Justifier que la suite (u_n) est convergente et déterminer sa limite.

• 1.Déterminer le sens de variation de (S_n).
• 2.Démontrer que, pour tout entier naturel n, u_(n + 1) = e^(− S_n)
• 3.Déterminer la limite de la suite (S_n).

Problème 3 : équation différentielle

• 1.Déterminer, en fonction de m, l'expression de la fonction h^′, puis celle de h.
• 2.Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = h(x)e^(mx).
  Démontrer que f est une solution de (E_m) si et seulement si h vérifie la propriété (P_m).
• 3.Résoudre l'équation différentielle (E_m).
• 4.Le mouvement rectiligne du centre de gravité d'un solide est repéré sur un axe gradué d'origine O . On note x la fonction donnant son abscisse en fonction du temps t.
  A l'instant t = 0, le solide est au point d'abscisse 4 et sa vitesse est nulle.
  x est solution sur [0; + ∞[ de l'équation différentielle (E_(0, 5)) : y^(′′) − 0, 25y = 0.
  Déterminer l'expression de la fonction x.

Problème 4 : distance entre deux droites de l'espace

• 1.Justifier que les plans P et P^′ sont sécants.

• 2.Vérifier que le point A(− 4; − 2; 2) appartient à la droite D puis déterminer un vecteur directeur de cette droite.
• 3.Justifier que la droite D a pour représentation paramétrique {x = − 4 + t; y = − 2; z = 2 + 2t, où t ∈ ℝ.

• 1.Justifier que les droites D et Δ ne sont pas parallèles.
• 2.Justifier que les droites D et Δ ne sont pas sécantes.
• 3.Que peut-on en déduire quant aux droites D et Δ ?

• 1.Pour quelles valeurs des triplets (x_1, y_1, z_1) et (x_2, y_2, z_2) la droite (IJ) est-elle à la fois perpendiculaire à D et à Δ ?
• 2.En déduire la valeur exacte de la distance entre les droites D et Δ.