Agrégation mathématiques interne 2023, épreuve 2Sujet et rapport du jury

Agrégation interne section mathématiques - Sujet de la deuxième épreuve écrite de la session 2023

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Sujet officiel Agrégation interne en mathématiques, session 2023.

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Égalité
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SESSION 2023

AGRÉGATION
Concours interne et CAER

Section
MATHÉMATIQUES

Deuxième épreuve

Durée : 6 heures

L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout matériel électronique (y compris la calculatrice) est rigoureusement interdit.

Il appartient au candidat de vérifier qu'il a reçu un sujet complet et correspondant à l'épreuve à laquelle il se présente.

Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.

NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier.
Le fait de rendre une copie blanche est éliminatoire.

INFORMATION AUX CANDIDATS

Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie. Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

AGRÉGATION INTERNE MATHÉMATIQUES

Concours interne de l'Agrégation de l'enseignement public:

Concours Section/option Épreuve Matière

\begin{tabular}{|l|l|l|l|}

\hline 1 & O & O & A

\hline
\end{tabular} \begin{tabular}{|l|l|l|l|}

\hline 1 & 0 & 5 & 0

\hline
\end{tabular}

Concours interne du CAER / Agrégation de l'enseignement privé :

Concours Section/option Épreuve Matière

\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}

\hline 1 & O & O & A

\hline
\end{tabular}

\begin{tabular}{|l|l|l|l|}

\hline 1 & 0 & 2

\hline
\end{tabular}

Notations

Dans tout le problème on désigne par

ℕ

l'ensemble des entiers naturels, par

ℝ

le corps des nombres réels et par

M_(m, n)(ℝ)

l'espace vectoriel des matrices à coefficients réels avec

m

lignes et

n

colonnes. Lorsque

m = n

, on écrira plus simplement

M_n(ℝ)

au lieu de

M_(n, n)(ℝ)

On note

𝒞^k(I, F)

l'espace vectoriel des applications de classe

𝒞^k

sur l'intervalle I et à valeurs dans un espace vectoriel vectoriel normé F de dimension finie.

Pour

f \in 𝒞^0([a, b], F)

, on notera

\int_a^b f(t)dt

l'intégrale de

f

sur

[a, b]

Notations et rappels sur les équations différentielles

Les équations différentielles étudiées par la suite sont définies pour des fonctions d'une variable

x

à valeurs dans l'intervalle

I = [0, 1]

. Dans ce cadre, nous adoptons les définitions suivantes.

-Une équation différentielle linéaire scalaire du premier ordre d'inconnue $y \in 𝒞^1([0, 1], ℝ)$ est du type
$y^' + uy = v avec(u, v) \in 𝒞^0([0, 1], ℝ)^2.$
La fonction $v$ est le second membre de l'équation. Si $v = 0$ , on dit que l'équation est homogène.
-Une équation différentielle linéaire scalaire du deuxième ordre d'inconnue $y \in 𝒞^2([0, 1], ℝ)$ est du type
$y^('') + uy^' + vy = w avec(u, v, w) \in 𝒞^0([0, 1], ℝ)^3.$
La fonction w est le second membre de l'équation. Si $w = 0$ , on dit que l'équation est homogène.
-Soit $n ⩾ 2$ un entier. Une équation différentielle linéaire matricielle du premier ordre d'inconnue $Y \in 𝒞^1([0, 1], M_(n, 1)(ℝ))$ est $du$ type
$Y^' + UY = V avec U \in 𝒞^0([0, 1], M_n(ℝ)) et V \in 𝒞^0([0, 1], M_(n, 1)(ℝ)).$
La fonction $V$ est le second membre de l'équation. Si $V = 0$ , on dit que l'équation est homogène.

Soient

U \in 𝒞^0([0, 1], M_n(ℝ))

V \in 𝒞^0([0, 1], M_(n, 1)(ℝ))

. Pour

t_0 \in [0, 1]

Y_0 \in M_(n, 1)(ℝ)

, on appelle problème de Cauchy la recherche d'une fonction

Y \in 𝒞^1([0, 1], M_(n, 1)(ℝ))

vérifiant

{Y^′ + UY = V; Y(t_0) = Y_0

Dans ce cadre, on rappelle le théorème de Cauchy pour les équations différentielles linéaires matricielles (aussi appelées vectorielles) du premier ordre, qui pourra être utilisé tout au long du sujet :

Théorème de Cauchy

Soient

U \in 𝒞^0([0, 1], M_n(ℝ))

V \in 𝒞^0([0, 1], M_(n, 1)(ℝ))

, ainsi que

t_0 \in [0, 1]

Y_0 \in M_(n, 1)(ℝ)

. Il existe une unique solution

Y \in 𝒞^1([0, 1], M_(n, 1)(ℝ))

définie sur [0,1] du problème de Cauchy (1).

Présentation du problème de Sturm-Liouville

Par la suite, et jusqu'à la fin du problème,

a, b, c

d

désignent quatre réels fixés tels que

(a, b) \neq (0, 0)

(c, d) \neq (0, 0)

-On note $ℰ$ l'espace préhilbertien $𝒞^0([0, 1], ℝ)$ muni du produit scalaire $⟨f, g⟩ = \int_0^1 fg$ . La norme associée est notée $‖‖_2$ .
-On note $ℰ_2$ le sous-espace vectoriel de $ℰ$ constitué des fonctions $g$ de $𝒞^2([0, 1], ℝ)$ telles que
$ag(0) + bg^'(0) = 0 et cg(1) + dg^'(1) = 0.$

Pour

p \in 𝒞^0([0, 1], ℝ)

, on définit l'application linéaire

H_p : {ℰ_2, ⟶ ℰ; y, ⟼ − y^(′′) + py.

Par extension, et bien que

H_p

ne soit pas un endomorphisme (les espaces vectoriels de départ et d'arrivée sont distincts), on dit que le réel

λ

est une valeur propre de

H_p

s'il existe un élément y non nul de

ℰ_2

vérifiant

H_p(y) = λy

. Dans ce cas,

y

est un vecteur propre de

H_p

associé à

λ

{y ∈ ℰ_2/H_p(y) = λy}

est le sous-espace propre de

H_p

associé à

λ

Enfin, pour

f \in ℰ

, on considère le problème de Sturm-Liouville, d'inconnue

y \in 𝒞^2([0, 1], ℝ)

{− y^(′′) + py = f; ay(0) + by^′(0) = 0; cy(1) + dy^′(1) = 0.

Ainsi,

y \in 𝒞^2(0, 1], ℝ)

est une solution du problème

SL_p(f)

si et seulement

y \in ℰ_2

et si

H_p(y) = f

L'objectif de ce problème est d'étudier l'existence et/ou l'unicité de solutions du problème de Sturm-Liouville.

-La partie I met en place des résultats classiques pour l'étude des équations différentielles linéaires.
-La partie II traite d'un exemple et pose le problème de l'existence et de l'unicité d'une solution à un problème de Sturm-Liouville explicite.
-Une étude spectrale de l'application $H_p$ est proposée à la partie III et, lorsque cet opérateur est bijectif, une étude spectrale de l'inverse est menée en partie $V$ .
-La partie IV étudie le problème de Sturm-Liouville lorsque l'application $H_p$ est injective.
-La question initiale est traitée dans la partie VI, en lien avec le spectre de l'application $H_p$ .

I. Exercices préliminaires

Il s'agit de résultats classiques utiles par la suite. Bien entendu, ces résultats sont à établir, même s'ils apparaissent explicitement au programme du concours.

1.Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? On justifiera soigneusement les réponses.
- (a)Affirmation : « la fonction $x ⟼ e^x - 4$ , définie sur $ℝ$ , est solution de l'équation différentielle $y^' = y + 4.≫$
- (b)Affirmation : « l'unique solution du système de Cauchy
  ${y^′ = y + 4; y(0) = 1$
  est la fonction $x ⟼ e^x - 4$ , définie sur $ℝ$ . »
- (c)Affirmation : « l'équation différentielle $y^' = y + 4$ possède une unique solution définie sur $ℝ$ . »
- (d)Affirmation : «l'ensemble des solutions de l'équation $y^' = y + 4$ est un sous-espace vectoriel $de𝒞^1(ℝ, ℝ)$ . »
2.(a) On étudie l'équation différentielle scalaire homogène du premier ordre $y^' + py = 0$ , avec $p \in 𝒞^0([0, 1], ℝ)$ .
En considérant, pour $y \in 𝒞^1([0, 1], ℝ)$ , la fonction $z : x ⟼ y(x)e^(\int_0^x p(t)dt)$ , déterminer l'ensemble des solutions de cette équation différentielle.
- (b)On considère à présent une équation différentielle scalaire du premier ordre $y^' + py = f$ , avec $(p, f) \in 𝒞^0([0, 1], ℝ)^2$ .
  En considérant, pour $y \in 𝒞^1([0, 1], ℝ)$ , la fonction $z : x ⟼ y(x)e^(\int_0^x p(t)dt)$ , établir que les solutions de l'équation sont les fonctions du type
  $y : x ⟼ αe^(- \int_0^x p(t)dt) + \int_0^x f(u)e^(\int_0^u p(t)dt) du$
  où $α$ est une constante réelle arbitraire.

Jusqu'à la fin de cette partie, pour

p

un élément de

𝒞^1([0, 1], ℝ)

q

f

des éléments de

𝒞^0([0, 1], ℝ)

, on considère les équations différentielles linéaires

y^('') + py^' + qy = f; ((z_1)/(z_2))^' + (0, - 1; q, p)((z_1)/(z_2)) = (0/f)

y^('') + py^' + qy, = 0; ((z_1)/(z_2))^' + (0, - 1; q, p)((z_1)/(z_2)), = 0

On note

𝒮(E), 𝒮(EH), 𝒮(S)

𝒮(SH)

les ensembles des solutions de

(E), (EH), (S)

(SH)

respectivement.

3.(a) Vérifier que si $y$ est solution de $(E)$ , alors $(y/(y^'))$ est solution de $(S)$ .
(b)Réciproquement, montrer que si $((z_1)/(z_2))$ est solution de $(S)$ , alors $z_1$ est solution de $(E)$ et $z_2 = z_1^'$ .

4.En déduire le résultat fondamental pour les équations différentielles linéaires scalaires d'ordre deux suivant :
Pour $t_0 \in [0, 1]$ et $(α, β) \in ℝ^2$ , il existe une unique solution de $(E)$ vérifiant $y(t_0) = α$ et $y^'(t_0) = β$ .
5.(a) Établir que l'ensemble $𝒮(EH)$ des solutions de $(EH)$ est un sous-espace vectoriel de $ℰ$ de dimension 2.
- (b)Montrer que l'ensemble des solutions de $(E)$ est un sous-espace affine de $ℰ$ de direction $𝒮(EH)$ .
- (c)Pour tout couple de solutions $(y_1, y_2)$ de $(EH)$ , on définit le wronskien $w$ de ce couple de solutions par
  $\forallx \in [0, 1], w(x) = |y_1(x), y_2(x); y_1^'(x), y_2^'(x)|.$
  Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
  - i. $(y_1, y_2)$ est une base de $𝒮(EH)$ .
  - ii.Pour tout $x \in [0, 1], w(x)$ est non nul.
  - iii.Il existe $x \in [0, 1]$ tel que $w(x)$ est non nul.

Indication : on pourra travailler sur le système (SH) équivalent à (EH).
Un tel couple

(y_1, y_2)

de solutions de

(EH)

est appelé système fondamental de solutions de

(EH)

6.On considère à nouveau l'équation avec second membre $(E)$ .
Montrer qu'il existe une fonction $u \in 𝒞^2([0, 1]]0,, + \infty[)$ telle que la proposition suivante est vraie :
la fonction $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si la fonction $z$ définie par $y = uz$ est solution d'une équation du type $- z^('') + rz = g$ .
Les fonctions $r$ et $g$ seront explicitées à partir de $p, q$ et $f$ .
7.Établir que le wronskien $w = y_1 y_2^' - y_1^' y_2$ d'un système fondamental de solutions $(y_1, y_2)$ d'une équation du type $- y^('') + py = 0$ est une fonction constante non nulle.

Ainsi, la résolution d'une équation telle que

(E)

est équivalente à la résolution d'une équation du type

- y^('') + py = f

. C'est cette équation réduite qui sera étudiée par la suite.

II. Étude d'un exemple d'équation de Sturm-Liouville

Dans cette partie, exceptée la dernière question, on étudie le problème de Sturm-Liouville

SL_p(f)

dans le cas particulier

p = 0, a = c = 1

b = d = 0

{− y^(′′) = f; y(0) = 0; y(1) = 0.

SL_0(f)

8.Déterminer la solution $y_1$ de l'équation différentielle $y^('') = 0$ vérifiant $y_1(0) = 0$ et $y_1^'(0) = 1$ .
De même, déterminer la solution $y_2$ de $y^('') = 0$ vérifiant $y_2(1) = 0$ et $y_2^'(1) = - 1$ .
9.Vérifier que $(y_1, y_2)$ est un système fondamental de solutions de $y^('') = 0$ vérifiant
$\forallx \in [0, 1], y_1^'(x)y_2(x) - y_1(x)y_2^'(x) = 1$

10.On pose
$K_0(x, t) = {y_2(x)y_1(t), si 0 ⩽ t ⩽ x ⩽ 1,; y_1(x)y_2(t), si 0 ⩽ x < t ⩽ 1.$
Pour $f \in ℰ$ , on définit $Φ(f)$ sur [0,1] par
$\forallx \in [0, 1], Φ(f)(x) = \int_0^1 K_0(x, t)f(t)dt$
Établir que $Φ(f)$ est l'unique solution de $SL_0(f)$ .

On cherche à présent à résoudre ce même problème

SL_0(f)

par une approche spectrale.
Sous les hypothèses définies dans cette partie, on a

ℰ_2 = {g ∈ 𝒞^2([0, 1], ℝ)|g(0) = g(1) = 0},

H_0 : {ℰ_2, ⟶, ℰ; g, ⟼, − g^(′′).

Ainsi,

y \in 𝒞^2([0, 1], ℝ)

est une solution de

SL_0(f)

si et seulement si

y

appartient à

ℰ_2

H_0(y) = f

11.L'application $H_0$ est-elle injective?
12.Établir qu'il existe une suite de nombres réels $(λ_n)_(n \in ℕ^*)$ strictement croissante et de limite $+ \infty$ tel que l'ensemble des valeurs propres de $H_0$ est ${λ_n|n ∈ ℕ^∗}$ .
On explicitera la valeur de $λ_n$ ainsi qu'un vecteur propre associé $φ_n$ vérifiant $‖φ_n‖_2 = 1$ et $φ_n^'(0) > 0$ pour tout $n \in ℕ^*$ .
13.Soit $f$ un élément de $ℰ$ . Montrer que l'unique solution $y$ du problème $SL_0(f)$ est
$y : x ⟼ αx - \int_0^x(\int_0^u f(t)dt)du,$
où $α$ est une constante réelle que l'on déterminera en fonctions d'intégrales dépendant de $f$ .
14.Soit $f$ un élément de $ℰ$ . Pour $k \in ℕ^*$ , on pose $a_k = ⟨f, φ_k⟩$ .
- (a)Soit $n \in ℕ^*$ . On note $f_n$ la projection orthogonale de $f$ sur le sous-espace vectoriel $F_n = Vect(φ_k; 1 ⩽ k ⩽ n)$ . Déterminer $f_n$ en fonction des coefficients $(a_k)_(k \in ℕ^*)$ .
- (b)Pour $n \in ℕ^*$ , établir que le problème $SL_0(f_n)$ admet une unique solution que l'on écrira à nouveau en fonction de $(a_k)_(k \in ℕ^*)$ . On notera $y_n$ cette solution.
- (c)Vérifier que la suite $(y_n)_(n \in ℕ^*)$ converge uniformément vers une fonction $y \in ℰ$ .
- (d)Établir que $y$ est la solution de $SL_0(f)$ .
15.Dans cette question seulement, on pose $p_0 : x ⟼ - π^2, a = c = 1$ et $b = d = 0$ et on s'intéresse au problème de Sturm-Liouville $SL_(p_0)(f)$ suivant :
${− y^(′′) − π^2 y = f; y(0) = 0; y(1) = 0$
On considère l'application linéaire
$H_(p_0) : {ℰ_2, ⟶ ℰ; y, ⟼ − y^(′′) − π^2 y.$

(a)L'application $H_(p_0)$ est-elle injective?
(b)Déterminer explicitement les solutions $y_1$ et $y_2$ de l'équation homogène $y^('') + π^2 y = 0$ vérifiant respectivement
${y_1(0) = 1; y_1^′(0) = 0 et {y_2(0) = 0; y_2^′(0) = π.$
Vérifier qu'il s'agit d'un système fondamental de l'équation homogène.
(c)Pour $f \in ℰ$ , on veut résoudre l'équation différentielle $y^('') + π^2 y = - f$ par la méthode dite de variation des constantes.
Pour cela on s'appuie sur le système fondamental $(y_1, y_2)$ obtenu à la question précédente. On cherche alors les solutions de $y^('') + π^2 y = - f$ sous la forme
$é y = u_1 y_1 + u_2 y_2, avec (u_1, u_2) \in 𝒞^2([0, 1], ℝ)^2 vérifiant u_1^' y_1 + u_2^' y_2 = 0.$
Déterminer une solution particulière de l'équation $y^('') + π^2 y = - f$ à l'aide d'une ou plusieurs intégrales dépendant de $f$ , puis exprimer la solution générale de cette même équation.
(d)Lorsque $f : x ⟼ cos(τx)$ , établir que le problème de Sturm-Liouville $SL_(p_0)(f)$ admet plusieurs solutions que l'on précisera.
(e)Lorsque $f : x ⟼ sin(πx)$ , établir que le problème de Sturm-Liouville $SL_(p_0)(f)$ n'admet aucune solution.

III. Une étude spectrale de l'application $H_p$

On considère à présent le cas général où

p

est une fonction appartenant à

𝒞^0([0, 1], ℝ)

a, b, c, d

sont quatre nombres réels tels que

(a, b) \neq (0, 0)

(c, d) \neq (0, 0)

.
16. Un calcul préliminaire. Soit

y \in 𝒞^1([0, 1], ℝ)

α > 0

(a)Établir l'inégalité
$2\int_0^1|y(t)y^'(t)|dt ⩽ α\int_0^1 y(t)^2 dt + 1/α\int_0^1 y^'(t)^2 dt$
Indication : On pourra remarquer que pour $δ > 0$ , pour tout $x \in [0, 1]$ , on a
$(δ|y(x)| - 1/δ|y^'(x)|)^2 ⩾ 0.$
(b)Vérifier l'égalité $y^2(0) + y^2(1) = - \int_0^1 z^'(x)dx$ , où $z : x ⟼ y^2(x)cos(πx)$ et en déduire que pour tous réels $u$ et $v$ il existe une constante $C(u, v)$ telle que
$uy^2(0) + vy^2(1) ⩽ C(u, v)\int_0^1 y(t)^2 dt + \int_0^1 y^'(t)^2 dt$

Soient $λ \in ℝ$ et $y$ dans $ℰ_2$ vérifiant $- y^('') + py = λy$ .

(a)Établir l'égalité
$y^'(1)y(1) - y^'(0)y(0) = \int_0^1 y^'(t)^2 dt + \int_0^1(p(t) - λ)y(t)^2 dt$
(b)En déduire l'existence d'une constante $λ_0$ dépendant de $a, b, c, d$ , et de la fonction $p$ , telle que, pour $λ < λ_0$ , en posant $q : x ⟼ p(x) - λ$ , le problème $SL_q(0)$ n'a que l'application $y = 0$ comme solution. Indication : on pourra traiter à part le cas $bd = 0$ .

On rappelle que

H_p

est l'application linéaire définie par

H_p : {ℰ^2, ⟶ ℰ; y, ⟼ − y^(′′) + py.

Montrer que $H_p$ vérifie la relation de symétrie

\forall(y, z) \in ℰ_2^2, ⟨H_p(y), z⟩ = ⟨y, H_p(z)⟩.

Établir que deux sous-espaces propres associés à deux valeurs propres distinctes de $H_p$ sont orthogonaux.
Démontrer que tout sous-espace propre de $H_p$ est de dimension 1.

IV. Fonction de Green

Dans toute cette partie, on considère une fonction

q \in 𝒞^0([0, 1], ℝ)

telle que le problème

SL_q(0)

n'a que la fonction

y = 0

comme solution.

On rappelle que

a, bc

d

sont des réels tels que

(a, b) \neq (0, 0)

(c, d) \neq (0, 0)

.
21. Vérifier que l'application

H_q : ℰ_2 ⟶ ℰ

est injective.
22. (a) Établir l'existence de deux éléments non nuls

y_1

y_2

ℰ_2

tels que

{− y_1^(′′) + qy_1 = 0; ay_1(0) + by_1^′(0) = 0 et {− y_2^(′′) + qy_2 = 0; cy_2(1) + dy_2^′(1) = 0.

Indication : On pourra chercher à résoudre deux problèmes de Cauchy bien choisis.

(b)Montrer qu'un tel couple $(y_1, y_2)$ est un système fondamental de solution de $y^('') + qy = 0$ et qu'il est possible de choisir ce couple de sorte que
$\forallx \in [0, 1], w(x) = y_1(x)y_2^'(x) - y_1^'(x)y_2(x) = - 1.$

Jusqu'à la fin de cette partie, le couple

(y_1, y_2)

fait référence à un système fondamental de solutions de l'équation

- y^('') + qy = 0

vérifiant la relation

y_1 y_2^' - y_1^' y_2 = - 1

sur l'intervalle

[0, 1]

.
23. Soit

f

un élément de

ℰ

(a)Vérifier que les solutions de l'équation différentielle $- y^('') + qy = f$ sont exactement les fonctions de la forme
$y : x ⟼ (α + \int_x^1 f(t)y_2(t)dt)y_1(x) + (β + \int_0^x f(t)y_1(t)dt)y_2(x).$
où $(α, β)$ sont deux constantes réelles arbitraires. Déterminer une forme analogue pour la dérivée $y^'$ de la solution précédente $y$ .
(b)En déduire que $SL_q(f)$ admet une unique solution $y$ qui s'écrit sous la forme
$y : x ⟼ \int_0^1 K_q(x, t)f(t)dt$
où l'on a posé
$K_q(x, t) = {y_1(t)y_2(x), si, 0 ⩽ t ⩽ x ⩽ 1,; y_1(x)y_2(t), si, 0 ⩽ x < t ⩽ 1.$
On dit que $K_q$ est la fonction de Green associée au problème $SL_q(f)$ .
(c)Établir que $K_q : [0, 1]^2 ⟶ ℝ$ est une application continue sur $[0, 1]^2$ .

V. Analyse spectrale de l'application $Φ_q = H_q^(- 1)$

Dans toute cette partie, on considère une fonction

q \in 𝒞^0([0, 1], ℝ)

telle que le problème

SL_q(0)

n'a que la fonction

y = 0

comme solution.
Pour rappel, l'espace vectoriel & est muni du produit scalaire

⟨f, g⟩ = \int_0^1 f(t)g(t)dt

et on note

‖‖_2

la norme associée.

D'après la partie précédente, pour

f \in ℰ

, le problème

SL_q(f)

admet une unique solution, à savoir

Φ_q(f)

définie de la façon suivante :

Φ_q : {ℰ, ⟶ ℰ_2; f, ⟼ (x ⟼ ∫_0^1 K_q(x, t)f(t)dt).

Dans la mesure où

ℰ_2

est un sous-espace vectoriel de

ℰ

, on pourra considérer que

Φ_q

est un endomorphisme de

ℰ

et introduire ses valeurs propres et ses espaces propres, par exemple, comme cela a été fait pour

H_q

précédemment.
24. Vérifier que

H_q

Φ_q

sont deux isomorphismes réciproques l'un de l'autre.
25. Établir que pour tout

(f, g) \in ℰ^2

, on a

⟨Φ_q(f), g⟩ = ⟨f, Φ_q(g)⟩.

Montrer que $Φ_q$ est une application continue de $(ℰ, ‖‖_2)$ vers $(ℰ_2, ‖‖_2)$ .

27.(a) Vérifier que pour toute valeur propre $λ$ de $Φ_q$ , le sous-espace propre de $Φ_q$ associé à $λ$ est de dimension 1.
- (b)Justifier que les sous-espaces propres de $Φ_q$ correspondant à deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

VI. Solutions de l'équation de Sturm-Liouville $SL_p(f)$

On revient au problème de Sturm-Liouville dans le cas général, c'est-à-dire trouver les solutions du système d'équations d'inconnue

y \in 𝒞^2([0, 1], ℝ)

{− y^(′′) + py = f; ay(0) + by^′(0) = 0; cy(1) + dy^′(1) = 0.

où

p

f

sont des éléments de

ℰ

28.Vérifier que le noyau et l'image de $H_p$ sont deux sous-espaces vectoriels orthogonaux de $ℰ$ .
29.Établir l'existence d'un réel $λ_0$ tel que toute valeur propre $λ$ de $H_p$ vérifie $λ > λ_0$ .

On fixe à présent une valeur

λ < λ_0

. Par suite, la fonction

q = p - λ

est telle que les valeurs propres de

H_q

sont incluses dans

ℝ_+^*

30.Vérifier que $μ$ est une valeur propre de $Φ_q$ si et seulement si $1/μ + λ$ est une valeur propre de $H_p$ .
31.Dans cette question uniquement, on suppose que $H_p$ est injective. Montrer que, pour tout $f \in ℰ, SL_p(f)$ admet une unique solution.
32.Dans cette question, on suppose que $H_p$ n'est pas injective et on note $φ \in ℰ_2$ un vecteur propre associé à la valeur propre 0.
- (a)Soit $f \in ℰ$ . Montrer que si $⟨f, φ⟩ \neq 0$ , alors $SL_p(f)$ n'a pas de solution.
- (b)Soit $f \in ℰ$ . Montrer que si $⟨f, φ⟩ = 0$ , alors $SL_p(f)$ admet une infinité de solutions dont on précisera la structure.

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V. Analyse spectrale de l'application $Φ_q = H_q^(- 1)$

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