Agrégation mathématiques interne 2025, épreuve 2Sujet et rapport du jury

Agrégation interne section mathématiques - Sujet de la seconde épreuve écrite de la session 2025

Pas encore noté

Intégrales généralisées
Probabilités et variables aléatoires
Connexité et convexité dans R
Produit scalaire
Matrices symétriques positives
Théorème spectral
Topologie en dimension finie
Projection orthogonale
Fonctions convexes

Explorer les annales

BanqueAgrégation Année2025 FilièreInterne MatièreMathématiques

Annales Agrégation Interne Mathématiques Agrégation Interne 2025 Interne Mathématiques Mathématiques 2025

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Corrigé : pas encore disponible

Source officielle : devenirenseignant.gouv.fr

Présentation du sujet

Vrai-faux d'analyse et de probabilités, matrices symétriques positives et convexité

La seconde épreuve écrite de l'agrégation interne de mathématiques 2025 s'ouvre sur un vrai-faux, suivi d'un exercice préliminaire sur les matrices symétriques positives et de plusieurs parties sur des ensembles convexes et l'optimisation. Le sujet est de difficulté progressive : les premières questions reposent sur des notions classiques, les suivantes demandent de réutiliser et d'adapter les résultats établis.

1Vrai ou fauxQuestions argumentées sur les intégrales et leur convergence, les probabilités, l'indépendance de variables aléatoires, la connexité et les parties convexes de R.
2Exercice préliminaireProduit scalaire, matrices symétriques positives et définies positives, convexité, fermeture et adhérence de ces ensembles, diagonalisation en base orthonormée.
3Première partieÉtude d'une quantité J(x) associée à un ensemble C contenant 0 dans son intérieur, avec arguments de compacité et de bornes inférieures.
4Deuxième partieProjection orthogonale sur un sous-espace, sous-espaces affines et inégalité de Cauchy-Schwarz.
5Cinquième et sixième partiesFonction convexe deux fois dérivable, puis arguments de dimension faisant intervenir l'orthogonalité.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 36,04 / 20 · écart-type 18,3 · où vous situez-vous ?

Moyenne: 36,04/ 20
Écart-type: 18,3
1er quartile: 24
Médiane: 38
3e quartile: 49

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Confondre une fonction et son intégrale · Indépendance supposée par défaut · Matrices symétriques positives mal caractérisées

Le sujet est de difficulté progressive et le jury insiste sur la rigueur des premières questions : nommer les propriétés utilisées et vérifier les hypothèses des théorèmes. Dans les parties suivantes, il faut comprendre le sens du problème, distinguer les sections et réutiliser les résultats précédents. De nombreuses confusions sur la nature des objets et sur les notions de matrice symétrique positive ont été relevées.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confondre une fonction et son intégraleQ2
Beaucoup pensent qu'une fonction qui tend vers 0 en l'infini a une intégrale convergente ; la continuité et le signe de l'intégrande sont souvent oubliés.
« chez beaucoup de candidats, on note une confusion du comportement de f avec celui de son intégrale. »
2
Indépendance supposée par défautQ4
Des candidats considèrent des variables aléatoires indépendantes sans que rien ne le justifie, puis en tirent des conclusions logiquement fausses.
« trop de candidats considèrent, par défaut, que les variables aléatoires sont indépendantes. »
3
Matrices symétriques positives mal caractériséesQ9 à Q11
La symétrie est oubliée, la positivité n'est vérifiée que sur des vecteurs propres, et des valeurs propres positives ou un déterminant positif sont pris pour des critères suffisants.
« une matrice réelle ayant des valeurs propres toutes positives n’est pas forcément dans »
4
Diagonalisation hors base orthonorméeQ14
Il faut une matrice de passage orthogonale pour obtenir une matrice symétrique ; la plupart se contentent de la positivité des valeurs propres.
5
Hypothèses topologiques omisesQ16 à Q20
L'argument de dimension finie pour la compacité d'un fermé borné est souvent absent, 0 doit être intérieur à C, et une borne inférieure n'est pas un minimum.
« L’argument de dimension finie pour dire qu’un fermé borné est compact est souvent omis. »
6
Nature des objets et notationsQ9, Q17 à Q20
J(x) est un nombre et non un ensemble, C n'est plus la boule unité dans les questions 17 à 20, et appartenance et inclusion ne doivent pas être confondues.

Ce qui a été bien réussi

La question 8, classique, a plutôt bien été traitée.
La question 11 est assez souvent bien réussie.
Le fait que les convexes de R soient les intervalles est en général connu (question 7).
L'inclusion de l'adhérence des matrices définies positives dans les matrices positives est souvent obtenue (question 13).

Conseils du jury

Dans le vrai-faux, faire apparaître clairement la conclusion au début ou à la fin de la réponse.
Nommer les théorèmes utilisés et vérifier explicitement leurs hypothèses, par exemple la continuité pour le théorème fondamental de l'analyse.
Préférer un contre-exemple bien justifié à une affirmation générale incertaine.
Préciser la nature des objets manipulés et quantifier les expressions.
Écrire à l'encre noire ou bleu foncé, numéroter les questions et ne pas recopier l'énoncé.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Description

Sujet officiel Agrégation interne en mathématiques, session 2025.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Pas encore de corrigé pour ce sujet : voici des sujets proches corrigés.

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

SESSION 2025

AGRÉGATION
Concours interne et CAER

Section
MATHÉMATIQUES

Deuxième épreuve

Durée : 6 heures

L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout matériel électronique (y compris la calculatrice) est rigoureusement interdit.

Il appartient au candidat de vérifier qu'il a reçu un sujet complet et correspondant à l'épreuve à laquelle il se présente.

Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.

NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier.
Le fait de rendre une copie blanche est éliminatoire.

INFORMATION AUX CANDIDATS

Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie. Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

AGRÉGATION INTERNE MATHÉMATIQUES

Concours interne de l'Agrégation de l'enseignement public:

Concours Section/option Épreuve Matière

\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}

\hline 1 & O & O & A

\hline
\end{tabular}

\begin{tabular}{|l|l|l|}

\hline 1 & Y & Y

\hline
\end{tabular}

\begin{tabular}{|l|l|l|}

\hline 0 & & Y

\hline
\end{tabular}

Concours interne du CAER / Agrégation de l'enseignement privé :

Concours Section/option Épreuve Matière

\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}

\hline 1 & O & O & A

\hline
\end{tabular}

\begin{tabular}{|l|l|l|l|}

\hline 1 & 0 & 2

\hline
\end{tabular}

Notations et rappels

Dans tout le sujet, n est un entier naturel non nul. On désigne par

ℕ

l'ensemble des entiers naturels, par

ℕ^*

l'ensemble des entiers naturels non nuls, par

ℝ

le corps des nombres réels, par

ℝ_+

l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls, par

ℝ_+^*

l'ensemble des nombres réels strictement positifs.

On désigne par

M_n(ℝ)

ℝ

-espace vectoriel des matrices carrées de taille

n

à coefficients réels et par

S_n(ℝ)

son sous

ℝ

-espace vectoriel des matrices symétriques. Si

A \in M_n(ℝ)

, on note

A^⊤

sa transposée et

Tr(A)

sa trace; on note

Sp(A)

le spectre de

A

, qui est l'ensemble de toutes ses valeurs propres.

L'espace vectoriel

ℝ^n

est muni de son produit scalaire usuel, noté

⟨ \cdot, \cdot ⟩

. La norme euclidienne associée est notée

‖ \cdot ‖

. La base canonique, orthonormée pour le produit scalaire

⟨ \cdot, \cdot ⟩

, est notée

F

. Sil

x \in ℝ^n

, on note

x^⊤

son transposé.

On note

S_n^+(ℝ)

l'ensemble des matrices symétriques positives, i.e. l'ensemble des matrices

A \in S_n(ℝ)

telles que

\forallx \in ℝ^n, ⟨Ax, x⟩ ⩾ 0.

On remarquera que une matrice

A \in S_n(ℝ)

est symétrique positive si et seulement si

\forallx \in ℝ^n, x^⊤Ax ⩾ 0.

On note

S_n^(+ +)(ℝ)

l'ensemble des matrices symétriques définies positives, i.e. l'ensemble des matrices

A \in S_n(ℝ)

telles que

∀x ∈ ℝ^n∖{0}, ⟨Ax, x⟩ > 0.

On remarquera que une matrice

A \in S_n(ℝ)

est symétrique positive si et seulement si

∀x ∈ ℝ^n∖{0}, x^⊤Ax > 0.

La matrice d'un endomorphisme

u

d'un espace vectoriel

E

de dimension finie dans une base

B

est notée

Mat_B(u)

Soit

E

un espace vectoriel normé. Dans la suite on considère

E

muni de la topologie induite par la norme. Pour toute partie

A

E

, on note Å l'intérieur de

A

, i.e. le plus grand ouvert (au sens de l'inclusion) inclus dans

A, A¯

l'adhérence de

A

, i.e. le plus petit fermé contenant

A

. Le bord

\partialA

d'une partie

A \subset ℝ^n

est défini par

\partialA = A¯∖A

; c'est l'adhérence de

A

privée de l'intérieur de

A

. Soient

A

B

deux parties de

E

telles que

A \subset B

A

est dense dans

B

A¯ = B

. Soit

A

une partie de

E

A

est une partie compacte (un compact) de

E

si de toute suite

(u_n)_(n \in ℕ)

d'éléments de

A

on peut extraire une suite convergeant dans

A

x \in ℝ^n

r \in ℝ_+

, la boule ouverte, respectivement fermée, de centre

x

et de rayon

r

est notée

B(x, r)

, respectivement

B¯(x, r)

. La boule unité fermée de

ℝ^n

pour la norme

‖ \cdot ‖

est notée

B_2^n

. La sphère unité est notée

S^(n - 1)

Soit

E

un espace vectoriel et soit

A

une partie de

E

. A est une partie convexe si, pour tout

u

et pour tout v éléments de

A

, le segment

[u, v] = {x \in E, \existst \in [0, 1]

tel que

x = (1 - t)u + tv}

est inclus dans

A

L'espérance d'une variable aléatoire

X

définie sur un univers probabilisé

(Ω, A, P)

est notée, sous réserve d'existence,

E(X)

Définition 1. Une variable aléatoire

X

définie sur un univers probabilisé

(Ω, A, P)

suit une loi de Rademacher si

X(Ω) = { - 1, 1}

et si

P(X = 1) = P(X = - 1) = 1/2

Dans tout le sujet, on pourra utiliser librement l'inégalité suivante :
Théorème 2. (inégalité arithmético-géométrique). Soit

m \in ℕ^*

. Soit

(x_1, \dots, x_m) \in (ℝ_+)^m

. Alors

(\prod_(i = 1)^m x_i)^(1/m) ⩽ 1/m\sum_(i = 1)^m x_i

avec égalité si, et seulement si,

x_1 = \dots = x_m

.
Le sujet est composé d'un vrai/faux, d'un exercice préliminaire et d'un problème en huit parties. Les résultats de l'exercice préliminaire peuvent être utilisés durant le problème.

Vrai/faux

Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses. On justifiera soigneusement la réponse.

1.Si $f : ℝ ⟶ ℝ$ est une fonction continue, la fonction $x ⟼ \int_0^x(x - t)f(t)dt$ est deux fois dérivable sur $ℝ$ et sa dérivée seconde est $f$ .
2.L'intégrale $\int_0^(+ \infty)(ln(t))/(1 + t^2) dt$ est convergente et est nulle.
3.Il existe une probabilité P sur $ℕ^*$ telle que :
$∀k ∈ ℕ^∗, P({k}) = 1/(k(k + 1)).$
4.Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires définies sur un univers probabilisé $(Ω, A, P)$ suivant toutes les deux des lois de Rademacher. Alors la variable aléatoire $XY$ suit une loi de Rademacher.
5.Soit $E$ un espace vectoriel normé. Soient $A$ et $B$ deux parties de $E$ telles que $A \subset B$ . On suppose que $A$ est dense dans $B$ et que $B$ est dense dans $E$ . Alors $A$ est dense dans $E$ .
6.La réunion de deux parties convexes de $ℝ^n$ est une partie convexe de $ℝ^n$ .
7.La seule partie convexe dense de $ℝ$ est $ℝ$ .

Exercice préliminaire

8.Soit $Φ$ l'application définie sur $M_n(ℝ)^2$ par $Φ(A, B) = Tr(AB^⊤)$ . Montrer que $Φ$ est un produit scalaire sur $M_n(ℝ)$ .

Dans la suite de l'exercice,

M_n(ℝ)

est muni de la norme associée au produit scalaire

Φ

. On considère

M_n(ℝ)

comme un espace topologique avec la topologie définie par cette norme. Dans la suite, toute partie

A

M_n(ℝ)

est munie de la topologie induite de

M_n(ℝ)

(

O

est un ouvert de

A

si, et seulement si, il existe un ouvert

U

M_n(ℝ)

tel que

O = U \cap A

9.(a) Soit $A \in S_n(ℝ)$ . Montrer que $A \in S_n^+(ℝ)$ si, et seulement si, $Sp(A) \subset ℝ_+$ .
- (b)Énoncer et démontrer une caractérisation similaire des matrices de $S_n^(+ +)(ℝ)$ à l'aide de leurs spectres.
10.Soient $A$ une matrice de $S_n^(+ +)(ℝ)$ et $B \in M_n(ℝ)$ une matrice inversible. Montrer que $B^⊤AB \in S_n^(+ +)(ℝ)$ .
11.Montrer que $S_n^+(ℝ)$ et $S_n^(+ +)(ℝ)$ sont convexes.
12.Montrer que $S_n^+(ℝ)$ est un fermé de $M_n(ℝ)$ .
13.Montrer que $S_n^(+ +)(ℝ)$ est dense dans $S_n^+(ℝ)$ .
14.Soit $S \in S_n^(+ +)(ℝ)$ . Montrer qu'il existe une unique matrice $R \in S_n^(+ +)(ℝ)$ telle que $R^2 = S$ . On notera $R = S^(1/2)$ .
15.Soit $S \in S_n^(+ +)(ℝ)$ . Justifier que $S^(1/2)$ est inversible, puis que $(S^(1/2))^(- 1) = (S^(- 1))^(1/2)$ . On notera plus simplement $S^(- 1/2)$ la matrice $(S^(1/2))^(- 1)$ .

Première partie : jauge d'un corps convexe symétrique

Définition 3. Soit

C

une partie de

ℝ^n

. On dit que

C

est un corps convexe si

C

est compact, convexe et si 0 appartient à l'intérieur de C, c'est-à-dire

0 \in

Č. On dit que C est symétrique si

\forallx \in ℝ^n, (x \in C) ⟺ (- x \in C).

On notera que cette notion de «corps convexe» n'est aucunement liée avec la notion de corps en algèbre.

16.Montrer que si $C$ est la boule unité d'une norme $N$ définie sur $ℝ^n$ , alors $C$ est un corps convexe symétrique.

Le but de cette partie est de caractériser les corps convexes symétriques de

ℝ^n

comme des boules unités d'une certaine norme sur

ℝ^n

. Pour cela, on va introduire la jauge associée à un corps convexe symétrique :

Définition 4. Soit

C

un corps convexe symétrique. On définit sur

ℝ^n

l'application

J

, appelée jauge de C, par :

∀x ∈ ℝ^n, J(x) = inf{λ ∈ ℝ_+^∗, 1/λx ∈ C}.

On se donne maintenant un corps convexe symétrique C.

17.Justifier que $J$ , la jauge de $C$ , est bien définie et que $J(0) = 0$ .
18.Soit $x \in ℝ^n$ . Montrer que $J(x) = 0$ si, et seulement si, $x = 0$ .
19.(a) Montrer que pour tout $x \in ℝ^n$ , pour tout $μ \in ℝ_+^*, J(μx) = μJ(x)$ .
- (b)Montrer que pour tout $x \in ℝ^n$ , pour tout $μ \in ℝ, J(μx) = |μ|J(x)$ .
20.Montrer que $C = {x ∈ ℝ^n, J(x) ⩽ 1}$ .
21.Soient $x$ et $y$ deux éléments de $ℝ^n$ . Soit $ε$ un réel strictement positif. On note :
$x^' = x/(J(x) + ε) et y^' = y/(J(y) + ε).$
Soit $α = (J(x) + ε)/(J(x) + J(y) + 2ε)$ et $z = αx^' + (1 - α)y^'$ .
- (a)Montrer que $x^'$ et $y^'$ appartiennent à $C$ . En déduire que $z \in C$ .
- (b)En déduire que $J(x + y) ⩽ J(x) + J(y)$ .
22.(a) Déduire de ce qui précède que $J$ est une norme.
- (b)Quelle est la boule unité de cette norme $J$ ?
- (c)En déduire que $∂C = {x ∈ ℝ^n, J(x) = 1}$ .
23. Montrer que si $N_1$ et $N_2$ sont deux normes de $ℝ^n$ ayant la même boule unité, alors $N_1 = N_2$ .

Deuxième partie : généralités sur les ensembles convexes

Soit

E

un espace euclidien, dont on note

⟨ \cdot, \cdot ⟩_E

le produit scalaire. On note

‖ \cdot ‖_E

la norme associée au produit scalaire

⟨ \cdot, \cdot ⟩_E

.
Dans toute cette partie, on désigne par

C

un convexe compact de

E

.
24. Soit

a \in E

- (a)Montrer qu'il existe $x_a \in C$ tel que $‖a - x_a‖_E = inf_(x \in C)‖a - x‖_E$ . Justifier que si $a \notin C$ , alors $‖a - x_a‖_E > 0$ .
- (b)Soient $x_0, x_1 \in C$ tels que $‖a - x_0‖_E = ‖a - x_1‖_E = inf_(x \in C)‖a - x‖_E$ . Montrer que $x_0 = x_1$ . Indication : On pourra raisonner par l'absurde et considérer $(x_0 + x_1)/2$ .

Ainsi, pour tout

a \in E

, il existe un unique

x_a \in C

tel que

‖a - x_a‖_E = inf_(x \in C)‖a - x‖_E

. On définit alors l'application

π_C : E \to C

par la relation

π_C(a) = x_a

.
25. Soit

a \in E

- (a)Soit l'application $f : E ⟶ ℝ$ définie par $f(x) = ⟨a - π_C(a), x⟩_E$ . Soit l'ensemble $H = {x \in E, f(x) = f(a)}$ . Justifier que $H$ est un sous-espace affine de $E$ . Quelles sont les dimensions possibles pour $H$ ?

(b)Vérifier que $f(π_C(a)) ⩽ f(a)$ et que cette inégalité est stricte si $a \notin C$ .
(c)Montrer que pour tout $x \in C, f(x) ⩽ f(π_C(a))$ .
Indication : On pourra considérer l'application $g : [0, 1] ⟶ ℝ_+$ qui à $t$ associe $‖a - ((1 - t)π_C(a) + tx)‖_E^2$ .
(d)Soit $b \in C$ tel que pour tout $x \in C, ⟨a - b, x - b⟩_E ⩽ 0$ . Pour tout $x \in C$ , montrer que $‖a - x‖_E ⩾ ‖a - b‖_E$ et en déduire que $b = π_C(a)$ .

Ainsi, on a montré que pour tout

a \in E, π_C(a)

est l'unique point

b

C

tel que pour tout

x \in C

⟨a - b, x - b⟩_E ⩽ 0

.
26. (a) Soient

a, a^' \in E

. Montrer que

‖π_C(a^') - π_C(a)‖_E^2 ⩽ ⟨a^' - a, π_C(a^') - π_C(a)⟩_E

(b)En déduire que $π_C$ est 1-lipschitzienne.

Soit $a \in \partialC$ . Soit $(a_p)_(p \in ℕ)$ une suite d'éléments de $E∖C$ qui converge vers $a$ .

(a)Montrer que la suite $((a_p - π_C(a_p))/(‖a_p - π_C(a_p)‖_E))_(p \in ℕ)$ est une suite de $E$ et qu'elle possède une sous-suite convergeant vers un élément $y$ de $E$ .
(b)Montrer que $y$ est non nul et que pour tout $x \in C, ⟨y, x - a⟩_E ⩽ 0$ .

Troisième partie : sur les ellipsoïdes

Définition 5. Soit

A \in S_n^(+ +)(ℝ)

. On appelle ellipsoïde associé à

A

la partie

E_A

définie par

E_A = {x ∈ ℝ^n, ⟨Ax, x⟩ ⩽ 1}.

Une partie

E

ℝ^n

est un ellipsoïde s'il existe

A \in S_n^(+ +)(ℝ)

telle que

E = E_A

.
28. Soit

r > 0

. Montrer que

B¯(0, r)

(la boule fermée de centre 0 et de rayon

r

) pour la norme

‖ \cdot ‖

est un ellipsoïde de

ℝ^n

et préciser une matrice

A_r \in S_n^(+ +)

telle que

B¯(0, r) = E_(A_r)

.
29. Soit

E_A

l'ellipsoïde associé à une matrice

A \in S_n^(+ +)(ℝ)

(a)Soit $B \in M_n(ℝ)$ une matrice inversible. Montrer que $B^(− 1)E_A = {B^(− 1)x, x ∈ E_A}$ est un ellipsoïde.
(b)Montrer que $E_A = A^(- 1/2)B_2^n$ .
(c)En déduire que $E_A$ est un corps convexe symétrique.
(d)Quelle est la jauge $J_A$ associée à $E_A$ ?
(e)Montrer que cette jauge $J_A$ est une norme euclidienne. On donnera la matrice du produit scalaire associé à cette norme dans la base canonique de $ℝ^n$ .

Soient $E_A$ et $E_B$ deux ellipsoïdes de $ℝ^n$ , respectivement associés à $A$ et $B \in S_n^(+ +)(ℝ)$ . Montrer que $E_A = E_B$ si et seulement si $A = B$ .
Soient $E_A$ et $E_B$ deux ellipsoïdes de $ℝ^n$ , respectivement associés à $A$ et $B \in S_n^(+ +)(ℝ)$ . Montrer que $E_A \subseteq E_B$ si et seulement si pour tout $x \in E, ⟨Bx, x⟩ ⩽ ⟨Ax, x⟩$ .

Définition 6. Soit

E

un ellipsoïde. On a montré qu'il existe une unique matrice

A \in S_n^(+ +)(ℝ)

telle que

E = E_A

. On définit alors la mesure de

E

, noté

μ(E)

, par

μ(E) = 1/(det(A)).

Dans cette question uniquement, on suppose $n = 3$ . Soit $r$ un réel strictement positif. Donner une relation entre $μ(B¯(0, r))$ et le volume de $B¯(0, r)$ .
Soit $E$ un ellipsoïde de $ℝ^n$ . Soit $B \in M_n(ℝ)$ une matrice inversible. Préciser la mesure de $B^(- 1)E$ en fonction de la mesure de $E$ .

34.Soit $(e_1, \dots, e_n)$ une base orthonormée de $ℝ^n$ et soient $a_1, \dots, a_n$ des réels strictement positifs. Soit $E = {x = ∑_(i = 1)^n x_i e_i ∈ ℝ^n, ∑_(i = 1)^n a_i x_i^2 ⩽ 1}$ . Montrer que $E$ est un ellipsoïde de $ℝ^n$ et calculer sa mesure.
35.Soit $A \in S_n(ℝ)$ .
- (a)Justifier que $A$ admet $n$ valeurs propres réelles (comptées avec leurs ordres de multiplicité) $λ_1 ⩾ λ_2 ⩾ \dots ⩾ λ_n$ et qu'il existe une base orthonormée $(f_1, \dots, f_n)$ de $ℝ^n$ telle que pour tout $i ∈ {1, …, n}, Af_i = λ_i f_i$ .
- (b)Soit $k \in [ [1, n] ]$ . Montrer que l'on a
  $λ_k = sup_(V \in G_k)min_(x \in V; ‖x‖ = 1)⟨Ax, x⟩,$
  où $G_k$ désigne l'ensemble des sous-espaces vectoriels de $ℝ^n$ de dimension $k$ .
  Indication : Si $V \in G_k$ , on pourra considérer l'intersection de $V$ avec le sous-espace engendré par $f_k, \dots, f_n$ .
36.Soient $E$ et $E^'$ sont deux ellipsoïdes de $ℝ^n$ tels que $E \subset E^'$ . Montrer que $μ(E) ⩽ μ(E^')$ .

Quatrième partie : existence d'un ellipsoïde de mesure maximale

Soit

C

un corps convexe symétrique de

ℝ^n

37.Justifier que $C$ est borné et qu'il existe un ellipsoïde $E^'$ tel que $C \subset E^'$ .
38.Soit $A = {μ(E), E$ ellipsoïde tel que $E \subset C}$ . Montrer que $A$ est non vide et majoré. En déduire qu'il admet une borne supérieure notée $α$ .
39.Justifier qu'il existe une suite $(A_p)_(p \in ℕ^*)$ d'éléments de $S_n^(+ +)(ℝ)$ telle que, en notant $E_p$ l'ellipsoïde associé à $A_p$ , pour tout $p \in ℕ^*, E_p \subset C$ et $lim_(p \to + \infty)μ(E_p) = α$ .
40.Pour $A \in S_n(ℝ)$ , on pose $N(A) = sup_(‖x‖ = 1)|⟨Ax, x⟩|$ . Montrer que $N$ est une norme sur $S_n(ℝ)$ .
41.Soit $p \in ℕ^*$ . On introduit $0 < λ_1(p) ⩽ \dots ⩽ λ_n(p)$ les valeurs propres de $A_p$ . Montrer que la suite $(λ_1(p))_(p \in ℕ^*)$ est minorée par un réel strictement positif, puis que la suite $(λ_n(p))_(p \in ℕ^*)$ est majorée.
42.En déduire que la suite $(A_p)_(p \in ℕ^*)$ est bornée pour la norme $N$ .
43.En déduire qu'il existe $φ : ℕ^* ⟶ ℕ^*$ strictement croissante et $A \in S_n^+(ℝ)$ telles que $lim_(p \to + \infty)A_(φ(p)) = A$ .
44.Montrer que $A \in S_n^(+ +)(ℝ)$ .
45.En déduire qu'il existe un ellipsoïde $E$ de mesure maximale inclus dans $C$ .

Cinquième partie : unicité de l'ellipsoïde de mesure maximale

46.Montrer que la fonction $f : x ⟼ ln(1 + e^x)$ est strictement convexe sur $ℝ$ .
47.Montrer que pour tout $A \in S_n^(+ +)(ℝ), det^(1/n)(I_n + A) ⩾ 1 + det^(1/n)(A)$ avec égalité si, et seulement s'il existe $λ > 0$ tel que $A = λI_n$ .
48.En déduire que pour tous $A, B \in S_n^(+ +)(ℝ)$ , $det^(1/n)(A + B) ⩾ det^(1/n)(A) + det^(1/n)(B)$ avec égalité si, et seulement s'il existe $λ > 0$ tel que $B = λA$ . Indication : on pourra utiliser la matrice $A^(1/2)$ introduite dans l'exercice préliminaire.
49.En déduire que si $A$ et $B$ appartiennent à $S_n^(+ +)(ℝ)$ , $det((A + B)/2) ⩾ \sqrt(det(A)det(B))$ . Caractériser les cas d'égalité.

Montrer l'unicité de l'ellipsoïde de mesure maximale.

Sixième partie : le théorème de John, sens indirect

Définition 7. Soit

u \in ℝ^n

. L'application linéaire

ψ_u : ℝ^n ⟶ ℝ^n

est définie par :

\forallv \in ℝ^n, ψ_u(v) = ⟨u, v⟩u.

Le but des parties 6 et 7 est d'établir le théorème suivant, dû à Fritz John.
Théorème 8. Soit

C

un corps convexe symétrique de

ℝ^n

. B

_2^n

est l'ellipsoïde de mesure maximale de

C

si et seulement si,

B_2^n \subset C

et s'il existe des points

u_1, \dots, u_m \in S^(n - 1) \cap \partialC

et des réels

c_1, \dots, c_m > 0

tels que

\sum_(i = 1)^m c_i ψ_(u_i) = id_(ℝ^n)

.
51. Soit

u \in ℝ^n

, non nul.

(a)Déterminer le noyau et l'image de $ψ_u$ , ainsi que leurs dimensions.
(b)Montrer que $ψ_u$ est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres.
(c)Déterminer la trace de $ψ_u$ .
(d)Déterminer la matrice de $ψ_u$ dans la base canonique de $ℝ^n$ .

Dans les questions numérotées de 52 à

53h, C

est un corps convexe symétrique contenant

B_2^n

. On suppose de plus qu'il existe des points

u_1, \dots, u_m

appartenant à

\partialC \cap S^(n - 1)

et des réels strictement positifs

c_1, \dots, c_m

tels que

\sum_(i = 1)^m c_i ψ_(u_i) = id_(ℝ^n)

52.Soit $v \in \partialC \cap S^(n - 1)$ . D'après la question 27, il existe $y \in ℝ^n$ , non nul, tel que pour tout $x \in C, ⟨y, x - v⟩ ⩽ 0$ .
- (a)Montrer que l'ensemble $H = {x ∈ ℝ^n, ⟨y, x − v⟩ = 0}$ est l'hyperplan tangent à $S^(n - 1)$ en $v$ .
- (b)En déduire que pour tout $x \in C, ⟨v, x⟩ ⩽ 1$ .

Soit $E$ l'ellipsoïde inclus dans $C$ de mesure maximale.

- (a)Montrer qu'il existe une base orthonormée $(e_1, \dots, e_n)$ de $ℝ^n$ et des nombres réels $α_1, \dots, α_n$ strictement positifs tels que
  $E = {x ∈ ℝ^n, ∑_(j = 1)^n(⟨x, e_j⟩^2)/(α_j^2) ⩽ 1}.$
  Quitte à appliquer une isométrie, on suppose maintenant que $(e_1, \dots, e_n)$ est la base canonique $F$ de $ℝ^n$ . Alors
  $E = {x = (x_1, …, x_n) ∈ ℝ^n, ∑_(j = 1)^n(x_j^2)/(α_j^2) ⩽ 1}.$
- (b)Exprimer la mesure de $E$ en fonction de $α_1, \dots, α_n$ .
- (c)Soit $v = (v_1, \dots, v_n) \in \partialC \cap S^(n - 1)$ . Montrer que $\sum_(j = 1)^n α_j v_j^2 ⩽ 1$ . Indication : On pourra utiliser le vecteur $w = (α_1 v_1, \dots, α_n v_n)$ .
- (d)Calculer $\sum_(i = 1)^m c_i$ .

(e)Montrer que si $x \in ℝ^n$ , alors $‖x‖^2 = \sum_(i = 1)^m c_i⟨x, u_i⟩^2$ .
(f)Pour tout $i \in {1, \dots, m}$ , on pose $u_i = (u_(i, 1), \dots, u_(i, n))$ . Montrer que
$\sum_(i = 1)^m\sum_(j = 1)^n c_i α_j u_(i, j)^2 ⩽ n.$
(g)En déduire que
$(\prod_(j = 1)^n α_j)^(1/n) ⩽ 1/n\sum_(j = 1)^n α_j ⩽ 1.$
(h)Conclure.

Septième partie : le théorème de John, sens direct

Soit

C

un corps convexe symétrique de

ℝ^n

et on suppose que son ellipsoïde de mesure maximale est

B_2^n

. On note

X

l'ensemble des points de contact entre

C

S^(n - 1)

, i.e.

X = S^(n - 1) \cap \partialC

On munit

M_n(ℝ)

du produit scalaire

Φ

défini dans l'exercice préliminaire.
54. Montrer que

X

est un compact non vide.

On pose

T = {Mat_F(ψ_u), u ∈ X} ⊂ M_n(ℝ)

où, rappelons-le,

F

est la base canonique de

ℝ^n

. On admet dans toute la suite que

conv(T)

(le plus petit convexe de

M_n(ℝ)

qui contient

T

) est un compact de

M_n(ℝ)

(théorème de Carathéodory). On souhaite donc montrer que

1/nI_n \in conv(T)

. Pour cela, on raisonne par l'absurde et on suppose que

1/nI_n \notin conv(T)

.
55. Montrer que

conv(T)

est inclus dans

S_n(ℝ)

.
56. Montrer que pour toute matrice

M \in conv(T)

, la trace de

M

vaut 1.
57. (a) Montrer qu'il existe une forme linéaire

f

M_n(ℝ)

telle que

\forallM \in conv(T), f(M) > f(1/nI_n).

(b)Montrer qu'il existe $H \in M_n(ℝ)$ unique telle que
$\forallM \in M_n(ℝ), f(M) = Tr(HM).$

Quitte à changer

f

on peut supposer aussi que

H \in S_n(ℝ)

et que

H

est de trace nulle (admis). On conserve cette hypothèse dans toute la suite.
58. En déduire que pour tout

u \in \partialC \cap S^(n - 1), ⟨Hu, u⟩ > 0

59.Pour tout $δ > 0$ , on pose $E_δ = {x ∈ ℝ^n, ⟨(I_n + δH)x, x⟩ ⩽ 1}$ . Montrer qu'il existe $α > 0$ tel que pour tout $δ \in ]0, α[, E_δ$ est un ellipsoïde de $ℝ^n$ et calculer sa mesure.
60.(a) Montrer qu'il existe $η \in ]0, α[$ tel que pour tout $δ \in ]0, η[$ , pour tout $u \in \partialC$ ,
$⟨(I_n + δH)u, u⟩ > 1.$
Indication : On pourra utiliser le fait suivant, après l'avoir justifié : pour toute réunion $\partialC = ⋃_(i \in I)(U_i \cap \partialC)$ avec pour tout $i \in I, U_i$ ouvert de $ℝ^n$ , il existe $J \subset I$ fini tel que $\partialC = ⋃_(i \in J)(U_i \cap \partialC)$ .

- (b)En déduire que pour tout $δ \in ]0, η[, E_δ \subset C$ .
61.Conclure.

Huitième partie : une conséquence du théorème de John

Soit

C

un corps convexe symétrique de

ℝ^n

. On note

E

l'ellipsoïde de mesure maximale inclus dans

C

62.On suppose uniquement dans cette question que $E = B_2^n$ . Montrer que $B_2^n \subset C \subset \sqrtnB_2^n$ .
63.En déduire que $E \subset C \subset \sqrtnE$ .

Dans les questions numérotées de 64 à 66, on se propose de montrer que la constante

\sqrtn

est optimale. On pose

C = [ - 1, 1]^n

64.Vérifier que $C$ est un corps convexe symétrique.

Soit

E

l'ellipsoïde inclus dans

C

de mesure maximale. On note

J_E

la jauge de

E

. On rappelle qu'il s'agit d'une norme euclidienne.

65.Soit $(X_i)_(1 ⩽ i ⩽ n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur un univers probabilisé $(Ω, A, P)$ , qui suivent une loi de Rademacher. Montrer que :
$E(‖(X_1, \dots, X_n)‖_E^2) ⩾ n.$
66.Conclure.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte l'épreuve 2 de l'agrégation interne de maths 2025 ?

D'après le rapport, elle commence par un vrai-faux d'analyse et de probabilités, puis un exercice préliminaire sur les matrices symétriques positives, avant plusieurs parties sur la convexité, la projection orthogonale et les fonctions convexes.

Quelle est la moyenne de la seconde épreuve écrite de l'agrégation interne de mathématiques 2025 ?

Le rapport indique une moyenne de 36,04 sur 100 avec un écart-type de 18,3 et une médiane de 38.

Quelles erreurs le jury de l'agrégation interne 2025 a-t-il relevées à l'épreuve 2 ?

Le jury cite la confusion entre une fonction et son intégrale, l'indépendance de variables aléatoires supposée sans justification, des critères faux de positivité d'une matrice, l'oubli de la dimension finie pour la compacité et des confusions sur la nature des objets.

Comment rédiger le vrai-faux de l'agrégation interne de maths ?

Le jury demande d'afficher clairement la conclusion, de nommer les propriétés utilisées, de vérifier les hypothèses des théorèmes et de privilégier un contre-exemple justifié.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Agrégation mathématiques interne 2025, épreuve 2

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...