Agrégation mathématiques interne 2022, épreuve 1Sujet et rapport du jury

Agrégation interne section mathématiques - Sujet de la première épreuve écrite de la session 2022

Pas encore noté

Réduction des endomorphismes
Polynôme caractéristique et théorème de Cayley-Hamilton
Matrices symétriques et théorème spectral
Groupes de matrices SL2
Morphismes d'anneaux et de corps
Raisonnement par récurrence

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Source officielle : devenirenseignant.gouv.fr

Présentation du sujet

Difficile

Recherche de solutions matricielles non nulles de l'équation de Fermat X^n + Y^n = Z^n, dans les matrices symétriques positives puis dans SL2(Z) et SL2(Q)

Le sujet commence par un questionnaire vrai ou faux et un exercice préliminaire sur le théorème de Cayley-Hamilton. Le problème étudie ensuite l'existence de solutions non nulles X, Y, Z de l'équation X^n + Y^n = Z^n sous forme de matrices : d'abord dans les matrices symétriques réelles positives, puis dans SL2(Z) selon les valeurs de n, enfin par un passage de solutions dans SL2(Q) à des solutions dans SL2(Z).

1Vrai ou fauxQuatre affirmations sur la trace, le polynôme caractéristique, la diagonalisabilité et les morphismes d'anneaux à justifier.
2Exercice préliminaireDémonstration du théorème de Cayley-Hamilton via la matrice compagnon d'un polynôme.
3Partie I : exemple dans les matrices symétriques positivesRésolution du problème dans l'ensemble des matrices symétriques réelles à valeurs propres positives.
4Parties II à VII : existence de solutions dans SL2(Z)Discussion de l'existence de solutions non nulles dans SL2(Z) suivant les valeurs de n.
5Parties VIII et IX : passage de SL2(Q) à SL2(Z)À partir d'une solution dans SL2(Q), construction d'une solution dont une puissance est dans SL2(Z).

Difficile. La moyenne de l'épreuve n'est que de 7,40 sur 20 selon l'histogramme des notes, et le rapport signale à de multiples reprises des questions très rarement ou très peu réussies, par exemple sur le contre-exemple de la question 1d ou l'abordage de la question 7.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 7,4 / 20 · écart-type 3,53 · où vous situez-vous ?

Moyenne: 7,4/ 20
Écart-type: 3,53
Médiane: 7,2

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Théorème spectral appliqué à tort sur C · Contre-exemple non trouvé · Confusion entre diagonalisable et diagonale

Le jury observe que les copies sont rarement indigentes mais que la rédaction manque trop souvent de rigueur mathématique, avec des objets non définis et des structures fondamentales mal maîtrisées. Les démonstrations d'équivalences et les raisonnements par récurrence sont souvent mal rédigés, et l'utilisation des résultats de cours souffre d'un manque de vérification des hypothèses.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Théorème spectral appliqué à tort sur C1c
Le théorème spectral n'est pas valable sur le corps des complexes ; un contre-exemple était attendu et le fait qu'un polynôme caractéristique soit scindé ne suffit pas à conclure à la diagonalisabilité.
« Le théorème spectral n’est pas valable sur le corpsC. Un contre-exemple était attendu et »
2
Contre-exemple non trouvé1d
Très peu de candidats ont su donner le contre-exemple attendu pour l'affirmation sur les morphismes d'anneaux.
« Très peu de candidats ont su donner un contre-exemple. »
3
Confusion entre diagonalisable et diagonale5
Certains candidats confondent les notions d'être diagonalisable et d'être diagonale pour une matrice carrée.
4
Question de cours classique peu abordée7
Bien que la question corresponde à un résultat classique, le jury s'étonne qu'elle n'ait que très rarement été traitée par les candidats.
« il est étonnant de constater qu’elle n’à que très rarement été abordée. »
5
Notion de bijection mal maîtrisée10
Trop de candidats ne maîtrisent pas la notion de bijection lors de l'étude d'une application ensembliste non linéaire.
« Trop de candidats ne maîtrisent pas la notion de bijection. »
6
Confusion entre même polynôme caractéristique et similitude24
Trop de candidats pensent à tort que deux matrices ayant le même polynôme caractéristique sont nécessairement semblables.
« Trop de candidats pensent que si les matrices ont le même polynôme caractéristique alors »

Conseils du jury

Vérifier systématiquement les hypothèses avant d'appliquer un résultat de cours.
Rédiger avec soin les raisonnements par récurrence, en formulant clairement l'hypothèse de récurrence et l'initialisation.
Éviter de se lancer dans des calculs longs et inadaptés et privilégier la recherche d'une méthode adaptée, notamment en début de sujet où les calculs doivent être détaillés.
Bien préciser dans quel espace vectoriel on se place lors de l'utilisation du théorème de la base incomplète.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Description

Sujet officiel Agrégation interne en mathématiques, session 2022.

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Sujet en PDF

SESSION 2022

AGRÉGATION CONCOURS INTERNE ET CAER

Section : MATHÉMATIQUES

PREMIÈRE ÉPREUVE

Durée : 6 heures

L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout matériel électronique (y compris la calculatrice) est rigoureusement interdit.

Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.

NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier.

INFORMATION AUX CANDIDATS

Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie.

Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

Concours interne de l'Agrégation de l'enseignement public :

Concours E|A|I

Section/option 1|3/0|0|A

Epreuve 1|0|1

Matière 0|5|4|0

Concours interne du CAER / Agrégation de l'enseignement privé :

Concours E|A|H

Section/option 1|3/0|0|A

Epreuve 1|0|1

Matière 0|5|4|0

Notations.

Dans tout le problème, n désignera un entier naturel non nul et $L$ désignera le corps des nombres réels $R$ ou le corps des nombres complexes C.
Si p désigne un entier naturel non nul et $L$ un corps, on note $M_p(L)$ l'ensemble des matrices carrées de taille $p \times p$ à coefficients dans $L$ ; on notera $Tr(M)$ la trace d'une matrice carrée $M$ .
On appelle $I_p$ la matrice identité de $M_p(L)$ , qui est la matrice diagonale constituée uniquement de 1 sur la diagonale.
L'ensemble des matrices inversibles de $M_p(L)$ est noté $GL_p(L)$ et l'ensemble des matrices de $GL_p(L)$ de déterminant 1 est noté $SL_p(L)$ .
Soit $A$ un sous-anneau de $L$ . On note $M_p(A)$ (respectivement $GL_p(A)$ et $SL_p(A)$ ) l'ensemble des matrices de $M_p(L)$ (respectivement de $GL_p(L)$ et $SL_p(L)$ ) à coefficients dans A.
Soit $M \in M_p(L)$ , on note $χ_M$ le polynôme caractéristique de $M$ défini par $χ_M(X) = det(XI_p - M)$ .
Soit $δ \in C∖Q$ tel que $D = δ^2 \in Q$ . Dans tout le problème, on posera $K = Q[δ] = {a + bδ|a, b \in Q}$ .
Pour tout $a, b$ de $Q$ , on pose $a + δb^- = a - δb$ .
Pour $x \in K$ , on pose $N(x) = xx¯$ .
Pour $M = [a_(i, j)]_(1 ⩽ i, j ⩽ p)$ une matrice de $M_p(K)$ , on définit la matrice $M¯ = [a_(i, j)^-]_(1 ⩽ i, j ⩽ p)$ .
On note $S_p(R)$ l'ensemble des matrices carrées symétriques réelles de taille $p \times p$ et $S_p^+(R)$ l'ensemble des matrices carrées symétriques réelles de taille $p \times p$ ayant des valeurs propres positives ou nulles.
Soit $E$ un espace euclidien muni d'un produit scalaire $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ . Un endomorphisme $u$ de $E$ est dit symétrique si : $\forallx, y \in E, ⟨u(x), y⟩ = ⟨x, u(y)⟩$ .
Pour $m, n \in Z$ , tel que $m ⩽ n$ , on note $[ [m, n] ]$ l'intervalle d'entiers relatifs constitué des éléments de l'ensemble ${m, m + 1, \dots, n - 1, n}$ .

Objectifs du problème.
Après un questionnaire "vrai ou faux" et un exercice préliminaire, les parties du problème portent sur la recherche de solutions non nulles de l'équation matricielle

X^n + Y^n = Z^n

, avec

n

un entier strictement positif.

La partie I traite de la résolution du problème dans $S_p^+(R)$ .
Les parties II à VII visent à discuter de l'existence de solutions dans $SL_2(Z)$ , suivant les valeurs de $n$ .
Dans les parties VIII et IX, à partir d'une solution $(X, Y, Z)$ dans $(SL_2(Q))^3$ , nous montrons comment construire une solution $(X_1, Y_1, Z_1)$ dans $(SL_2(Q))^3$ telle que $(X_1^n, Y_1^n, Z_1^n)$ soit dans $(SL_2(Z))^3$ .
Les parties I, II, III et VIII peuvent se traiter indépendamment des autres, tout comme la partie VII en dehors de la dernière question.

Vrai ou faux ?

1.Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? On justifiera soigneusement les réponses.
- (a)Soit $n$ un entier strictement positif.
  Affirmation : "Il existe des matrices $M$ et $N$ de $M_n(C)$ telles que $Tr(MN) \neq Tr(NM)$ ."
- (b)Affirmation : "Deux matrices de $M_2(C)$ ont le même polynôme caractéristique si et seulement si elles ont la même trace et le même déterminant."
- (c)Affirmation : "Les matrices carrées et symétriques à coefficients dans C sont diagonalisables."
- (d)Soit $φ : A \to B$ un morphisme d'anneaux.
  Affirmation : "Si $φ(a)$ est inversible dans $B$ , alors $a$ est inversible dans $A$ ."

Exercice préliminaire.

2.Soit $d$ un entier strictement positif. Soit $P(X) = X^d + a_(d - 1)X^(d - 1) + \dots + a_0$ un polynôme de $C[X]$ à coefficients complexes. On appelle matrice compagnon du polynôme $P$ la matrice $C_P$ de $M_d(C)$ suivante
$C_P = (0, \dots, \dots, 0, - a_0; 1, 0, ⋮, - a_1; 0, 1, ⋱, ⋮, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0, - a_(d - 2); 0, \dots, 0, 1, - a_(d - 1))$
En développant le déterminant $χ_(C_P)(X) = det(XI_d - C_P)$ par rapport à sa première ligne et à l'aide d'une récurrence, montrer que $χ_(C_P)(X) = P(X)$ .
3.Soit $p$ un entier strictement positif et soit $M$ une matrice de $M_p(C)$ .
- (a)Étant donné un élément $x$ quelconque non nul de $C^p$ on pose
  $éμ = min{r ⩾ 1| la famille {x, Mx, …, M^r x} est liée dans C^p}.$
  - i)Montrer qu'il existe un élément $(α_0, \dots, α_(μ - 1))$ de $C^μ$ et une matrice $N$ de $M_(p - μ)(C)$ tels que la matrice $M$ soit semblable à une matrice $M^'$ de la forme suivante
    $M^' = (0, \dots, \dots, 0, - α_0, *; 1, 0, ⋮, - α_1, *; 0, 1, ⋱, ⋮, ⋮, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0, - α_(μ - 2), *; 0, \dots, 0, 1, - α_(μ - 1), *; O, \dots, O, N)$
    où les * représentent des lignes d'éléments de C et les $O$ représentent des colonnes nulles.
  - ii)Montrer que $χ_M(M)x = 0$ .
- (b)Montrer que $χ_M$ est un polynôme annulateur de $M$ .

Problème.

I. Exemple dans $S_p^+(R)$ .

Soient

n

p

deux entiers strictement positifs.

4.Soit $A$ une matrice de $S_p(R)$ et soit $a$ l'endomorphisme de $R^p$ dont la matrice relativement à la base canonique de $R^p$ est $A$ . Montrer que $a$ est un endomorphisme symétrique de $R^p$ .
5.Soit $S \in S_p(R)$ . Démontrer que $S$ est une matrice de $S_p^+(R)$ si et seulement si
$\forallY \in M_(p, 1)(R), ^t YSY ⩾ 0.$

6.Démontrer que pour toutes les matrices $S$ et $T$ de $S_p^+(R)$ , la matrice $S + T$ appartient à $S_p^+(R)$ .
7.Soit $S \in S_p^+(R)$ . Montrer qu'il existe une matrice $R$ de $S_p^+(R)$ telle que $R^n = S$ .
8.Soient $S \in S_p^+(R)$ et $U \in S_p^+(R)$ telles que $U^n = S$ . On note $s$ et $u$ les endomorphismes de $R^p$ dont les matrices relativement à la base canonique de $R^p$ sont respectivement $S$ et $U$ . Soit ${λ_1, …, λ_q}$ le spectre de $s$ ; pour $i$ élément de $[ [1, q] ]$ , on note $E_(λ_i)(s)$ le sous-espace propre associé à la valeur propre $λ_i$ .
- (a)Soit $i \in [ [1, q] ]$ . Démontrer que $u$ induit un endomorphisme symétrique sur $E_(λ_i)(s)$ . On notera cet endomorphisme $u_i$ .
- (b)Soit $i \in [ [1, q] ]$ . Démontrer que $n\sqrt(λ_i)$ est la seule valeur propre possible de $u_i$ .
- (c)Démontrer que l'endomorphisme $u$ est unique.
9.Soit $S \in S_p^+(R)$ . Montrer qu'il existe une unique matrice $R$ de $S_p^+(R)$ telle que $R^n = S$ . Étant donnée une matrice $S$ de $S_p^+(R)$ , on notera $R = n\sqrtS$ , l'unique matrice de $S_p^+(R)$ telle que $R^n = S$ .
10.Démontrer que l'application
$ψ : {(S_p^+(R))^2, →, {(X, Y, Z) ∈ (S_p^+(R))^3|X^n + Y^n = Z^n}; (U, V), ↦, (n√U, n√V, n√(U + V))$
est une bijection.

II. Si $n \equiv 0[4]$ , l'équation $X^n + Y^n = Z^n$ n'admet pas de solutions dans $SL_2(Z)$ .

11.Soit $M \in SL_2(Z)$ . Démontrer que $Tr(M^4) = Tr(M)^4 - 4Tr(M)^2 + 2$ .
12.En déduire que l'on a $Tr(M^4) \equiv 2[8]$ ou $Tr(M^4) \equiv - 1[8]$ .
13.Démontrer que l'équation $X^4 + Y^4 = Z^4$ d'inconnues $X, Y$ et $Z$ n'admet pas de solutions dans $SL_2(Z)$ .
14.En déduire que si 4 divise $n$ , alors l'équation $X^n + Y^n = Z^n$ d'inconnues $X, Y$ et $Z$ n'admet pas de solutions dans $SL_2(Z)$ .

III. Le corps $K = Q[δ]$ .

On pose

φ : {K, \to, K; x, \mapsto, x¯

15.Démontrer que K est un Q-espace vectoriel dont on précisera la dimension.
16.Démontrer que K est un sous-corps de C.
17.Démontrer que $φ$ est un isomorphisme de corps.
18.(a) Démontrer que l'application $ψ : {Q, \to, C; x, \mapsto, (x + δ)/(x - δ)$ est injective.
- (b)Démontrer que ${θ/(θ¯), θ \in K∖{0}}$ est un ensemble infini.

IV. Matrices de $M_p(K)$ conjuguées à une matrice de $M_p(Q)$ .

Soit

p

un entier strictement positif.

19.Démontrer que si $A$ et $B$ sont des matrices quelconques de $M_p(K)$ , alors on a la relation $AB^- = A¯B¯$ .
20.Soit $F \in M_p(K)$ . Démontrer que $F$ appartient à $GL_p(K)$ si et seulement si $F¯$ appartient à $GL_p(K)$ . Dans ce cas, démontrer que l'on a $(F¯)^(- 1) = F^(- 1)^-$ .
21.Soit $X \in GL_p(K)$ .
- (a)On suppose qu'il existe une matrice $F$ de $GL_p(K)$ tel que $X = F(F¯)^(- 1)$ . Déterminer la matrice $XX¯$ .
- (b)On suppose que $XX¯ = I_p$ .
  Pour tout élément $θ$ de $K$ , on pose $F(θ) = θI_p + θ¯X$ .
  - i)Montrer qu'il existe un élément $θ_0$ de $K$ tel que $F(θ_0)$ soit inversible.
  - ii)En déduire, pour ce $θ_0$ , que $X = F(θ_0)(F(θ_0)^-)^(- 1)$ .
- (c)Soient $A, B \in M_p(K)$ . Démontrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
  - i)Il existe une matrice $F$ de $GL_p(K)$ telle que les matrices $F^(- 1)AF$ et $F^(- 1)BF$ appartiennent à $M_p(Q)$ .
  - ii)Il existe une matrice $X$ de $GL_p(K)$ tel que : ${X^(− 1)AX = A¯; X^(− 1)BX = B¯; XX¯ = I_p$
22.Soient $A = (λ, 0; 0, λ)$ et $B = (a, b; c, d)$ deux matrices à coefficients dans K. On suppose que $λ$ n'est pas élément de Q.
- (a)Soit $X \in GL_2(K)$ . Démontrer que $X$ vérifie les relations ${X^(− 1)AX = A¯; XX¯ = I_2$ si et seulement s'il existe un élément $u$ de $K∖{0}$ tel que $X = (0, u; 1/(u¯), 0)$ .
- (b)On suppose qu'il existe une matrice $F$ de $GL_2(K)$ telle que les matrices $F^(- 1)AF$ et $F^(- 1)BF$ appartiennent à $SL_2(Q)$ .
  Montrer que l'on a $det(A) = det(B) = 1$ et $d = a¯$ et en déduire qu'il existe un élément $x$ de K tel que l'on a $N(a) - 1 = N(x)$ (c'est-à-dire $aa¯ - 1 = xx¯$ ).

V. Conditions pour qu'une somme de matrices de $SL_2(Q)$ soit dans $SL_2(Q)$ .

Soient

α

un élément de

Q

δ

un élément de

C∖Q

tels que

α^2 - 1 = δ^2

23.Soient $A_1 = (α + δ, 0; 0, α - δ)$ et $B_1 = (a, b; c, d)$ deux matrice de $M_2(K)$ , posons $m_1 = (Tr(B_1))/2$ .
On suppose que $det(B_1) = det(A_1 + B_1) = 1$ . Démontrer l'égalité $a - d = (2αm_1 + 1)/δ$ .
24.On suppose qu'il existe deux matrices $A$ et $B$ de $SL_2(Q)$ telles que $Tr(A) = 2α$ et $det(A + B) = 1$ . Posons $m = (Tr(B))/2$ .

(a)Démontrer que dans $M_2(K)$ , la matrice $A$ est semblable à la matrice $A_1 = (α + δ, 0; 0, α - δ)$ .
(b)En utilisant la question 23. et la question 22b., montrer qu'il existe un élément $x$ de K tel que l'on ait
$((αm + 1/2)^2 - (α^2 - 1)(m^2 - 1))/(1 - α^2) = N(x) = xx¯.$
(c)Démontrer que le résultat de la question précédente est équivalent à l'existence d'un élément $y$ de K tel que
$(αm + 1/2)^2 - (α^2 - 1)(m^2 - 1) = N(y) = yy¯.$
Dans la suite du problème, on admettra que ce résultat reste valable si $δ$ appartient à $Q$ . C'est-à-dire qu'étant donné un élément $α$ de $Q$ et des matrices $A$ et $B$ de $SL_2(Q)$ qui vérifient $Tr(A) = 2α$ et $det(A + B) = 1$ , alors si $m = (Tr(B))/2$ il existe deux éléments $u$ et $v$ de $Q$ tels que
$(αm + 1/2)^2 - (α^2 - 1)(m^2 - 1) = u^2 - (α^2 - 1)v^2.$

VI. Si $n \equiv 0[3]$ , l'équation $X^n + Y^n = Z^n$ n'admet pas de solutions dans $SL_2(Z)$ .

25.(a) Soit $x \in Z$ . Déterminer les classes de congruence de $x^3 - 3x$ modulo 9. Pour chaque classe, on explicitera un représentant.
- (b)Soit $M$ une matrice de $SL_2(Z)$ , démontrer que l'on a $Tr(M^3) = (Tr(M))^3 - 3Tr(M)$ .
- (c)Soient $A, B$ et $C$ trois matrices de $SL_2(Z)$ qui vérifient la relation $A^3 + B^3 = C^3$ .
  On suppose que parmi les nombres $Tr(A^3), Tr(B^3)$ et $Tr(C^3)$ , au moins l'un d'entre eux n'est pas divisible par 9.
  - i)Montrer qu'il existe trois matrices $A_1, B_1$ et $C_1$ de $SL_2(Z)$ telles que $A_1^3 + B_1^3 = C_1^3$ , $Tr(A_1^3) \equiv 0[9], Tr(B_1^3) \equiv 2[9]$ et $Tr(C_1^3) \equiv 2[9]$ .
    Étant donnée une matrice $M = [a_(i, j)]_(1 ⩽ 2, j ⩽ 2)$ de $M_2(Z)$ , on note $M^∙ = [a^∙_(i, j)]_(1 ⩽ 2, j ⩽ 2)$ la matrice de $M_2(Z/3Z)$ où $a˙_(i, j)$ est la classe de $a_(i, j)$ dans Z/3Z.
  - ii)Dans Z/3Z[X], démontrer que les polynômes caractéristiques de $B^∙_1$ et de $C^∙_1$ sont égaux à $(X - 1)^2$ .
  - iii)Dans $M_2(Z/3Z)$ , démontrer que chacune des matrices $B˙_1$ et $C˙_1$ est semblable à une matrice de la forme $(1, k; 0, 1)$ , avec $k$ un élément de $Z/3Z$ .
  - iv)Montrer que $Å (Å_1)^3$ est égale à 0 la matrice nulle de $M_2(Z/3Z)$ , en déduire une contradiction.

Nous venons de démontrer que si trois matrices

A, B

C

SL_2(Z)

vérifient

A^3 + B^3 = C^3

, alors on a

Tr(A^3) \equiv 0[9], Tr(B^3) \equiv 0[9]

Tr(C^3) \equiv 0[9]

26.Soient $α$ et $m$ deux éléments de $Q$ tels que $2α$ et $2m$ appartiennent à $Z$ et qui vérifient les relations $2α \equiv 0[9]$ et $2m \equiv 0[9]$ .
On suppose qu'il existe deux éléments $x$ et $y$ de Q tels que
$(αm + 1/2)^2 - (α^2 - 1)(m^2 - 1) = x^2 - (α^2 - 1)y^2$
On note alors $d$ le plus petit entier naturel non nul tel que $x = r/d$ et $y = s/d$ , avec $r$ et $s$ des éléments de $Z$ ; on admet alors que
$d^2[(4αm + 2)^2 - ((2α)^2 - 4)((2m)^2 - 4)] = (4xd)^2 - ((2α)^2 - 4)(2yd)^2 (**).$
- (a)Démontrer que l'on a
  $[(4αm + 2)^2 - ((2α)^2 - 4)((2m)^2 - 4)] \equiv 6[9]$
  et
  $(4xd)^2 + (2yd)^2 \equiv 0[3].$
- (b)Montrer que l'on a $4xd \equiv 0[3]$ et $2yd \equiv 0[3]$ .
- (c)À l'aide de l'égalité (**) montrer que 3 divise $d$ .
- (d)En déduire une contradiction sur la définition de $d$ .
27.Soient $α$ et $m$ deux éléments de $Q$ tels que $2α$ et $2m$ appartiennent à $Z$ et qui vérifient les relations $2α \equiv 0[9]$ et $2m \equiv 0[9]$ .
Montrer qu'il n'existe pas de matrices $U$ et $V$ de $SL_2(Z)$ vérifiant
$Tr(U) = 2α, Tr(V) = 2m et det(U + V) = 1.$
28.Montrer si 3 divise $n$ , alors l'équation $X^n + Y^n = Z^n$ d'inconnues $X, Y$ et $Z$ n'admet pas de solutions dans $SL_2(Z)$ .

\section*{VII. Recherche de solutions de $X^n + Y^n = Z^n$ dans $SL_2(Z)$ si $n$ n'est pas divisible par 3 ou 4.}
Soit $k \in N^*$ et soit $p \in N^*$ . On dit qu'une matrice $M$ de $M_p(R)$ est $k$ -périodique si $M^k = I_p$ . Soient $A = (0, - 1; 1, - 1), B = (- 1, 1; - 1, 0)$ et $C = - I_2$ trois matrices de $SL_2(Z)$ qui vérifient la relation $A + B = C$ .
29.Montrer qu'une matrice $k$ -périodique est diagonalisable dans $M_p(C)$ .
30.(a) Déterminer toutes les matrices $X$ de $SL_2(Z)$ qui vérifient $Tr(X) = - 1$ et $X^2 = A$ . Montrer que ces matrices sont 12-périodiques,
- (b)Déterminer une matrice $Y$ de $SL_2(Z)$ qui est 12-périodique et qui vérifie la relation $Y^2 = B$ .
- (c)En déduire au moins un triplet $(X, Y, Z)$ de matrices de $(SL_2(Z))^3$ , constitué de matrices 12-périodiques, tel que $X^2 + Y^2 = Z^2$ .
31.Soit $n \equiv 2[12]$ , montrer qu'il existe au moins un triplet $(X, Y, Z)$ de matrices de $(SL_2(Z))^3$ tel que $X^n + Y^n = Z^n$ .
32.En déduire, lorsque $n \equiv - 2[12]$ , qu'il existe au moins un triplet ( $X, Y, Z$ ) de matrices de $(SL_2(Z))^3$ tel que $X^n + Y^n = Z^n$ .

33.Lorsque $n \equiv 1[6]$ ou $n \equiv 5[6]$ , à l'aide des matrices $A$ et $B$ déterminer des matrices $X, Y$ et $Z$ de $SL_2(Z)$ qui vérifient la relation $X^n + Y^n = Z^n$ .
34.Suivant les valeurs de l'entier strictement positif $n$ , discuter l'existence de matrices $X, Y$ et $Z$ de $SL_2(Z)$ qui vérifient la relation $X^n + Y^n = Z^n$ .

VIII. Réseaux de $Q^n$ .

Dans cette partie,

n

m

désignent deux entiers naturels non nuls. Soient

v_1, \dots, v_m

des éléments non nuls de

Q^n

, posons

R = Zv_1 + … + Zv_m = {∑_(i = 1)^m k_i v_i|k_1, …, k_m ∈ Z}.

n ⩾ 2

, on note

Q^(n − 1) × {0} = {(x_1, …, x_(n − 1), 0)|x_1, …, x_(n − 1) ∈ Q}.

35.Démontrer que $R$ est un sous-groupe additif de $(Q^n, +)$ .
36.Si $n = 1$ , montrer qu'il existe un élément $r$ de $Q$ tel que
$R = rZ = {rk|k \in Z}.$
Ce $r$ est-il unique?
37.On suppose $n ⩾ 2$ , posons $π : {Q^n, →, Q; (x_1, …, x_n), ↦, x_n$ . Montrer qu'il existe un élément $w$ de $R$ tel que
$π(R) = π(w)Z = {π(w)k|k \in Z}.$
Dans la suite de cette partie, si $π(R) = {0}$ , on prendra $w = (0, \dots, 0)$ .
38.Soit $x$ un élément de $R$ et $w$ un élément de $R$ défini comme dans la question précédente.
- (a)Montrer qu'il existe un couple $(q, x˜)$ de $Z × (R ∩ (Q^(n − 1) × {0}))$ tel que $x = qw + x˜$ .
- (b)Démontrer que $x˜$ est unique. L'entier $q$ est-il toujours unique?
39.Démontrer que l'on a
$R ∩ (Q^(n − 1) × {0}) = Zv_1˜ + … + Zv_m˜ = {∑_(i = 1)^m k_i v_i˜|k_1, …, k_m ∈ Z}$
où les éléments $v_1˜, \dots, v_m˜$ de $R$ sont définis comme dans la question précédente.
40.Montrer par récurrence sur la dimension de $Q^n$ , qu'il existe des éléments $u_1, \dots, u_p$ de $R$ tels que pour tout $x$ de $R$ il existe un unique $p$ -uplet $(k_1, \dots, k_p)$ de $Z^p$ vérifiant $x = \sum_(i = 1)^p k_i u_i$ .
Une telle famille $(u_1, \dots, u_p)$ de $R$ est appelée $Z$ -base de $R$ , on notera alors $R = ⨁_(i = 1)^p Zu_i$ .
41.Supposons que $vect_Q(v_1, \dots, v_m) = Q^n$ . Si $(u_1, \dots, u_p)$ est une Z-base de $R$ démontrer que $(u_1, \dots, u_p)$ est une base de $Q^n$ et que $p = n$ .

IX. Condition pour que certains sous-groupes de $SL_2(Q)$ soient semblables à un sous-groupe de $SL_2(Z)$ .

Soit

p

un entier strictement positif. Dans cette partie, on identifie

M_(p, 1)(Q)

Q^p

. On note

(e_1, \dots, e_p)

la base canonique de

Q^p

et on admet que

(SL_p(Q), .)

est un groupe.

42.Soit $G$ un sous-groupe multiplicatif de $(SL_p(Q)$ ,.) tel qu'il existe un entier strictement positif $d$ vérifiant
$\forallM \in G, dM \in M_p(Z).$
Soit $H$ le sous-groupe additif de $(Q^p, +)$ engendré par les éléments $Me_i$ , avec $M$ une matrice de $G$ et $i$ un élément de $[ [1, p] ]$ ; c'est le plus petit sous-groupe de $(Q^p, +)$ contenant l'ensemble ${Me_i|M ∈ G, i ∈ [ [1, p] ]}$ et il peut s'écrire sous la forme suivante
$H = {y_1 + y_2 + … + y_q|q ∈ N^∗, y_1, y_2, …, y_q ∈ M}$
où
$M = {Me_i|M ∈ G, i ∈ [ [1, p] ]} ∪ { − Me_i|M ∈ G, i ∈ [ [1, p] ]} ∪ {0}.$
- (a)Démontrer que les vecteurs $e_1, \dots, e_p$ appartiennent à $H$ .
- (b)Démontrer que $H$ est stable par $G$ , c'est-à-dire que l'on a
  $\forallM \in G, \forallh \in H, Mh \in H.$
- (c)Soient $M \in G$ et $j \in [ [1, p] ]$ . Montrer qu'il existe des éléments $r_1, \dots, r_p$ de $[ [0, d - 1] ]$ et des éléments $q_1, \dots, q_p$ de $Z$ tels que
  $Me_j = \sum_(i = 1)^p q_i e_i + 1/d\sum_(i = 1)^p r_i e_i.$
- (d)Montrer qu'il existe une famille génératrice $(v_1, \dots, v_m)$ de $Q^p$ telle que
  $H = Zv_1 + … + Zv_m = {∑_(i = 1)^m k_i v_i|k_1, …, k_m ∈ Z}.$
- (e)En déduire qu'il existe une base $(u_1, \dots, u_p)$ de $Q^p$ telle que
  $∀M ∈ G, Mu_i ∈ Zu_1 + … + Zu_p = {∑_(i = 1)^p k_i u_i|k_1, …, k_p ∈ Z}.$
- (f)En déduire qu'il existe une matrice $F$ de $GL_p(Q)$ telle que
  $\forallM \in G, F^(- 1)MF \in SL_p(Z).$
  Jusqu'à la fin du problème, on se place dans le cas particulier $p = 2$ .
43.Soient $A$ et $B$ deux éléments de $SL_2(Q)$ et soit $G$ le sous-groupe (multiplicatif) de ( $SL_2(Q)$ ,.) engendré par $A$ et $B$ . C'est le plus petit sous-groupe de $(SL_2(Q)$ ,.) contenant $A$ et $B$ , il peut s'écrire
$G = {Q_1 Q_2…Q_p|p ∈ N^∗, Q_1, Q_2, …, Q_p ∈ {I_2, A, B, A^(− 1), B^(− 1)}}.$

On considère

K

le sous-groupe additif de

(M_2(Q), +)

K = ZI_2 + ZA + ZB + ZAB + ZBA + ZABA + ZBAB

que l'on peut écrire

K = {k_1 I_2 + k_2 A + k_3 B + k_4 AB + k_5 BA + k_6 ABA + k_7 BAB|k_1, …, k_7 ∈ Z}.

On suppose de plus que

Tr(A), Tr(B)

Tr(AB)

appartiennent à Z.

(a)Démontrer que $A^(- 1)$ et $B^(- 1)$ appartiennent à $K$ .
(b)Démontrer que $G \subset K$ .
(c)En déduire qu'il existe un entier strictement positif $d$ tel que
$\forallM \in G, dM \in M_2(Z).$

Soient $A, B \in SL_2(Q)$ .

(a)Montrer l'équivalence entre les deux propositions suivantes :
- i)Il existe une matrice $F$ de $GL_2(Q)$ telle que $F^(- 1)AF$ et $F^(- 1)BF$ appartiennent à $SL_2(Z)$ .
- ii) $Tr(A), Tr(B)$ et $det(A + B)$ appartiennent à Z.
(b)Soit $n$ un entier strictement positif. Soient $X, Y$ et $Z$ des matrices de $SL_2(Q)$ telles que $Tr(X)$ et $Tr(Y)$ appartiennent à $Z$ et qui satisfont la relation $X^n + Y^n = Z^n$ .
Montrer qu'il existe une matrice $F$ de $GL_2(Q)$ telle que $X_1 = F^(- 1)XF, Y_1 = F^(- 1)YF$ et $Z_1 = F^(- 1)ZF$ , avec $X_1^n, Y_1^n$ et $Z_1^n$ qui appartiennent à $SL_2(Z)$ et $X_1^n + Y_1^n = Z_1^n$ .

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve écrite 1 de l'agrégation interne de mathématiques 2022 ?

Le sujet porte sur la réduction des endomorphismes, le théorème de Cayley-Hamilton, les matrices symétriques et le théorème spectral, ainsi que sur le groupe SL2(Z) et SL2(Q), autour de l'équation matricielle X^n + Y^n = Z^n.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur l'épreuve 1 de l'agrégation interne de maths 2022 ?

Le jury relève un manque général de rigueur, des raisonnements par récurrence mal rédigés, des hypothèses de théorèmes non vérifiées, et plusieurs confusions précises comme diagonalisable et diagonale, ou même polynôme caractéristique et similitude.

L'épreuve 1 de l'agrégation interne de mathématiques 2022 est-elle difficile ?

Oui, la moyenne n'est que de 7,40 sur 20 et le rapport signale à plusieurs reprises des questions très peu ou très rarement réussies.

Quelle est la moyenne à l'épreuve 1 de l'agrégation interne de mathématiques 2022 ?

La moyenne est de 7,40 sur 20, avec un écart type de 3,53, d'après l'histogramme des notes du rapport de jury.

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INFORMATION AUX CANDIDATS

Vrai ou faux ?

Exercice préliminaire.

Problème.

I. Exemple dans S_p^+(R).

II. Si n ≡ 0[4], l'équation X^n + Y^n = Z^n n'admet pas de solutions dans SL_2(Z).

III. Le corps K = Q[δ].

IV. Matrices de M_p(K) conjuguées à une matrice de M_p(Q).

V. Conditions pour qu'une somme de matrices de SL_2(Q) soit dans SL_2(Q).

VI. Si n ≡ 0[3], l'équation X^n + Y^n = Z^n n'admet pas de solutions dans SL_2(Z).

VIII. Réseaux de Q^n.

IX. Condition pour que certains sous-groupes de SL_2(Q) soient semblables à un sous-groupe de SL_2(Z).

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte l'épreuve écrite 1 de l'agrégation interne de mathématiques 2022 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur l'épreuve 1 de l'agrégation interne de maths 2022 ?

L'épreuve 1 de l'agrégation interne de mathématiques 2022 est-elle difficile ?

Quelle est la moyenne à l'épreuve 1 de l'agrégation interne de mathématiques 2022 ?

Commentaires• Agrégation mathématiques interne 2022, épreuve 1

Commentaires• Agrégation mathématiques interne 2022, épreuve 1

I. Exemple dans $S_p^+(R)$ .

II. Si $n \equiv 0[4]$ , l'équation $X^n + Y^n = Z^n$ n'admet pas de solutions dans $SL_2(Z)$ .

III. Le corps $K = Q[δ]$ .

IV. Matrices de $M_p(K)$ conjuguées à une matrice de $M_p(Q)$ .

V. Conditions pour qu'une somme de matrices de $SL_2(Q)$ soit dans $SL_2(Q)$ .

VI. Si $n \equiv 0[3]$ , l'équation $X^n + Y^n = Z^n$ n'admet pas de solutions dans $SL_2(Z)$ .

VIII. Réseaux de $Q^n$ .

IX. Condition pour que certains sous-groupes de $SL_2(Q)$ soient semblables à un sous-groupe de $SL_2(Z)$ .