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Agrégation mathématiques interne 2026, épreuve 1Sujet

Agrégation interne section mathématiques - Sujet de la première épreuve écrite de la session 2026

5,0(1 vote)
  • Réduction des endomorphismes
  • Polynôme caractéristique
  • Formes bilinéaires symétriques
  • Groupes de matrices
  • Arithmétique des polynômes
  • Congruences et nombres premiers
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Action de conjugaison de matrices orthogonales rationnelles sur les matrices symétriques entières
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Le problème étudie l'action de conjugaison de O(n,Q) sur l'ensemble des matrices symétriques à coefficients entiers. Il construit d'abord des outils sur les matrices entières, le résultant de deux polynômes et les sous-espaces stables, puis les combine pour démontrer deux résultats de congruence liant un diviseur premier du dénominateur d'une matrice orthogonale au discriminant du polynôme caractéristique d'une matrice symétrique entière.

  1. 1Vrai ou fauxQuatre affirmations d'algèbre linéaire et de réduction des endomorphismes à justifier.
  2. 2Partie I : matrices à coefficients dans ZÉtude du groupe GL(n,Z), des matrices orthogonales entières et des matrices de transvection et de permutation.
  3. 3Partie II : résultant et applicationsConstruction du résultant de deux polynômes et de son discriminant associé, avec le lemme de Gauss.
  4. 4Partie III : sous-espaces stablesÉtude d'un endomorphisme autoadjoint pour une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur un sous-espace stable.
  5. 5Partie IV : arithmétique dans Fp[X]Propriétés des polynômes sur un corps fini, endomorphisme de Frobenius et polynômes de dérivée nulle.
  6. 6Partie V : forme normale de SmithDémonstration de la décomposition d'une matrice entière en produit U.Oméga.V avec Oméga diagonale à diviseurs emboîtés.
  7. 7Parties VI et VII : preuve des deux résultatsCombinaison des parties précédentes pour établir puis réciproquer le lien entre diviseurs premiers et discriminant.

Description

Sujet officiel Agrégation interne en mathématiques, session 2026.

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SESSION 2026
AGRÉGATION
Concours interne et CAER
Section
MATHÉMATIQUES
Première épreuve
Durée : 6 heures
L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout matériel électronique (y compris la calculatrice) est rigoureusement interdit.
Il appartient au candidat de vérifier qu'il a reçu un sujet complet et correspondant à l'épreuve à laquelle il se présente.
Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.
NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier.
Le fait de rendre une copie blanche est éliminatoire.

INFORMATION AUX CANDIDATS

Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie. Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

AGRÉGATION INTERNE MATHÉMATIQUES

  • -
    Concours interne de l'Agrégation de l'enseignement public:
    Concours E A I
    Section/option
    1 3 0 0 A
    Epreuve
    1 0 1
    Matière
    0 5 4 0
  • -
    Concours interne du CAER / Agrégation de l'enseignement privé :
    Concours
    Section/option
    1 3 0 0 A
    Epreuve
    1 0 1
    Matière
    0 5 4 0

Notations, rappels et définitions

Soit 𝕂 un corps, on note 𝕂[X] l'ensemble des polynômes à coefficients dans 𝕂. On note ℤ[X] l'ensemble des polynômes à coefficients dans ℤ.
Pour R ∈ 𝕂[X], on notera d^∘(R) le degré de R. On dira que R ∈ 𝕂[X] est unitaire si son coefficient dominant vaut 1. Pour R, S ∈ 𝕂[X], on notera R ∧ S le plus grand diviseur commun de R et S qui sera par convention unitaire.
On dit qu'une matrice M de M_n(ℤ) est dans GL_n(ℤ) si M est inversible dans M_n(ℝ) et M^(− 1) est dans M_n(ℤ). On appelle I_n la matrice identité de M_n(𝕂), qui est la matrice diagonale constituée uniquement de 1 sur la diagonale. On notera M^T la transposée d'une matrice M.
Soit 𝕂 un corps, on note M_n(𝕂) l'ensemble des matrices de taille n × n à coefficients dans 𝕂 et on note GL_n(𝕂) l'ensemble des matrices inversibles de M_n(𝕂). On note M_n(ℤ) l'ensemble des matrices de M_n(ℝ) à coefficients dans ℤ. On note O_n(ℤ) = {M ∈ M_n(ℤ), M^T M = I_n} et O_n(ℚ) = {M ∈ M_n(ℚ), M^T M = I_n}. On note S_n(ℤ) l'ensemble des matrices A de M_n(ℤ) telles que A^T = A.
Soit M ∈ M_n(𝕂), on note χ_M le polynôme caractéristique de M défini par χ_M(X) = det(XI_n − M).
Pour i, j deux entiers strictement positifs distincts et a ∈ 𝕂, l'opération élémentaire consistant à ajouter a fois la colonne i à la colonne j d'une matrice se notera C_j ← C_j + aC_i. De même l'opération élémentaire consistant à ajouter a fois la ligne i à la ligne j se notera L_j ← L_j + aL_i.
On notera (E_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) la base canonique de M_n(𝕂). Ainsi pour i et j dans [ [1, n] ], la matrice E_(i, j)n^′ a que des zéros sauf au niveau de la i-ème ligne et j-ème colonne où l'on a un coefficient qui vaut 1.
Soit M ∈ M_n(ℚ). On note ℓ(M) le plus petit entier naturel non nul tel que ℓ(M)M soit dans M_n(ℤ).
Soit p un nombre premier. On note 𝔽_p le corps ℤ/pℤ et pour a dans ℤ, on note a¯ sa classe dans 𝔽_p. Soit R = ∑_(k = 0)^n r_k X^k dans ℤ[X], on note R¯ = ∑_(k = 0)^n r_k^–X^k qui est un polynôme de 𝔽_p[X].
Soient p un nombre premier et R = ∑_(k = 0)^n r_k X^k et S = ∑_(k = 0)^n s_k X^k dans ℤ[X]. On écrira R ≡ S[p^2] si : ∀k ∈ [ [0, n] ], r_k ≡ s_k[p^2].
Soit M = [m_(i, j)]_(1 ⩽ i ⩽ r; 1 ⩽ j ⩽ s) ∈ M_(r, s)(ℤ), on note M¯ = [m_(i, j)^–]_(1 ⩽ i ⩽ r; 1 ⩽ j ⩽ s) la matrice de M_(r, s)(𝔽_p) obtenue par réduction modulo p de ses coefficients.
Soient p un nombre premier, k ∈ ℕ^∗ et M = [m_(i, j)]_(1 ⩽ i ⩽ r) et N = [n_(i, j)]_(1 ⩽ i ⩽ r) dans M_(r, s)(ℤ). On écrira M ≡ N[p^k]si : ∀(i, j) ∈ [ [1, r] ] × [ [1, s] ], m_(i, j) ≡ n_(i, j)[p^k].
Soit E un 𝕂-espace vectoriel. On notera L(E) l'ensemble des endomorphismes de E. Soient B une base de E et f ∈ L(E). On notera Mat_B(f) la matrice de f dans la base B et χ_f le polynôme caractéristique de f défini par χ_f(X) = det(XId_E − Mat_B(f)). Soient F un espace vectoriel ayant pour base C et, une application linéaire de E dans F, g ∈ L(E, F). On notera Mat _(B, C)(g) la matrice de g dans les bases B et C. On rappelle qu'une forme bilinéaire symétrique φ : E × E → 𝕂 définie sur E × E est non dégénérée si pour tout x dans E on a l'implication :
[∀y ∈ E, φ(x, y) = 0] ⇒ x = 0.
On note ℕ^∗ = ℕ∖{0}. Pour m, n ∈ ℤ, tels que m ⩽ n, on note [ [m, n] ] l'intervalle d'entiers relatifs défini par {m, m + 1, …, n − 1, n}.
On note S_n l'ensemble des permutations de [ [1, n] ].
Pour (i, j) dans ℕ^2, on note δ_(ij) le symbole de Kronecker défini par{δ_(ij) = 1, si, i = j; δ_(ij) = 0, si, i ≠ j.

Objectif et structure du problème

Ce problème porte sur l'action de conjugaison de O_n(ℚ) sur S_n(ℝ) ∩ M_n(ℤ). Nous y démontrons deux résultats qui feront l'objet des deux dernières parties.
Le sujet débute par un Vrai/Faux. Il est suivi d'un problème en sept parties. Les quatre premières parties sont totalement indépendantes et peuvent être traitées individuellement.
La partie V reprend des résultats de la partie I.
La partie VI utilise les partie I, partie II et partie III.
La partie VII utilise toutes les parties précédentes.

Vrai ou faux?

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? On justifiera soigneusement les réponses.
  • 1.Soient p un nombre premier et A ∈ M_n(ℤ).
    Affirmation : "Dans 𝔽_p, on a det(A)^– = det(A¯)."
  • 2.Soient E et F deux espaces vectoriels admettant respectivement les bases (e_i)_(1 ⩽ i ⩽ m) et (f_i)_(1 ⩽ i ⩽ n).
    Affirmation : " (e_i, f_j)_(1 ⩽ i ⩽ m; 1 ⩽ j ⩽ n) est une base de E × F."
  • 3.Soient E un espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E diagonalisable. Soit F un sous-espace vectoriel de E.
    Affirmation : "Si F est un sous-espace stable par f, alors f induit un endomorphisme diagonalisable sur F."
  • 4.Soient 𝕂 un corps, R un polynôme dans 𝕂[X] et R^′ son polynôme dérivé.
    Affirmation : "Si R^′ = 0, alors R est un polynôme constant."

Partie I. Quelques résultats sur les matrices à coefficients dans ℤ.

Soit n ∈ ℕ^∗.
  • 5.Soient Q ∈ O_n(ℚ) et A ∈ M_n(ℤ) telles que Q^T AQ soit dans M_n(ℤ).
    On rappelle que ℓ(Q) est le plus petit entier naturel non nul tel que ℓ(Q)Q soit dans M_n(ℤ).
    On note Qˆ = ℓ(Q)Q et on suppose que p est un nombre premier qui divise ℓ(Q).
    Démontrer que Qˆ^T Qˆ ≡ 0[p^k] et Qˆ^T AQˆ ≡ 0[p^k], pour k dans {1, 2} où 0 désigne la matrice nulle.
  • 6.Soit U ∈ M_n(ℤ).
    On rappelle qu'une matrice M de M_n(ℤ) est dans GL_n(ℤ) si M est inversible dans M_n(ℝ) et M^(− 1) est dans M_n(ℤ).
    • (a)On suppose que U est dans GL_n(ℤ). Démontrer que det(U) vaut 1 ou -1 .
    • (b)On suppose que det(U) vaut 1 ou -1 . Démontrer que U est dans GL_n(ℤ).
    • (c)Montrer que (GL_n(ℤ), ×), où × désigne le produit matriciel, est un groupe.
  • 7.(a) Soit M ∈ O_n(ℤ). Démontrer que sur chaque ligne et chaque colonne de M, on n'a qu'un et un seul coefficient non nul et que celui-ci vaut 1 ou -1.
    • (b)En déduire le cardinal de O_n(ℤ).
  • 8.Soit une permutation σ ∈ S_n. On pose Q_σ = [δ_(i, σ(j))]_(1 ⩽ i, j ⩽ n). Démontrer que Q_σ^T = Q_(σ^(− 1)), puis que Q_σ est dans O_n(ℤ).
  • 9.Pour i, j des entiers naturels dans [ [1, n] ], avec i ≠ j, on pose

    la matrice ayant des coefficients nuls en dehors de la diagonale, sauf 1 en position (i, j) et (j, i); et, sur la diagonale, on n'a que des 1 sauf en position (i, i) et (j, j) où l'on a 0. On pose A = [a_(ij)]_(1 ⩽ i ⩽ n; 1 ⩽ j ⩽ p) dans M_n(ℝ).
    • (a)Démontrer qu'il existe une permutation σ ∈ S_n tel que P_(i, j) = Q_σ.
    • (b)Démontrer soigneusement que la matrice obtenue à partir de A en échangeant les lignes i et j est le résultat du produit matriciel P_(i, j)A.
On admettra de même que l'échange des colonnes i et j de A s'obtient en effectuant le produit matriciel AP_(i, j).
  • 10.Soient q ∈ ℤ et i, j ∈ [ [1, n] ] tels que i ≠ j. On pose

    la matrice ayant des coefficients nuls en dehors de la diagonale, sauf − q en position (i, j); et, sur la diagonale, on n'a que des 1.
    • (a)Démontrer que T_(i, j)(q) est dans GL_n(ℤ).
    • (b)Démontrer soigneusement que la matrice obtenue à partir de A en effectuant l'opération C_j ← C_j − qC_i est le résultat du produit matriciel AT_(i, j)(q).
    • (c)Donner, sans démonstration, une matrice S_(i, j)(q) dans GL_n(ℤ) telle que S_(i, j)(q)A est la matrice obtenue en effectuant l'opération L_j ← L_j − qL_i sur la matrice A.

Partie II. Résultant et applications

Soient des entiers naturels m, n ∈ ℕ^∗, avec m ⩾ 2. Soient R = ∑_(k = 0)^m r_k X^k et S = ∑_(k = 0)^n s_k X^k deux polynômes de 𝕂[X], avec R de degré exactement m et S de degré au plus n. On pose
φ_(R, S) : {𝕂_(n − 1)[X] × 𝕂_(m − 1)[X], →, 𝕂_(n + m − 1)[X]; (G, H), ↦, GR + HS.
On pose D = R ∧ S et d = d^∘(D).
On note
ψ_R = φ_(R, R^′) : {𝕂_(m − 2)[X] × 𝕂_(m − 1)[X], →, 𝕂_(2m − 2)[X]; (G, H), ↦, GR + HR^′
et Δ(R) = det(ψ_R).
  • 11.Démontrer le lemme de Gauss; à savoir, étant donnés trois polynômes G, H, L ∈ 𝕂[X], si G ∧ H = 1 et G|HL, alors on a G|L.
  • 12.Démontrer que φ_(R, S) est une application linéaire de 𝕂_(n − 1)[X] × 𝕂_(m − 1)[X] dans 𝕂_(n + m − 1)[X].
  • 13.Soit la famille U = ((1, 0), (X, 0), …, (X^(n − 1), 0), (0, 1), (0, X), …, (0, X^(m − 1))). Démontrer que U est une base de 𝕂_(n − 1)[X] × 𝕂_(m − 1)[X].
  • 14.Expliciter les coefficients de Mat_(U, V)(φ_(R, S)), avec V = (1, X, …, X^(m + n − 1)) la base canonique de 𝕂_(n + m − 1)[X].
  • 15.Soient deux polynômes R_1, S_1 ∈ 𝕂[X] tels que R = DR_1 et S = DS_1.
    Démontrer que Ker(φ_(R, S)) = {(S_1 W, − R_1 W), W ∈ 𝕂_(d − 1)[X]} et en déduire dim(Ker(φ_(R, S))).
  • 16.Déterminer Im(φ_(R, S)).
  • 17.Démontrer que si R a un facteur multiple dans sa décomposition en facteurs irréductibles, alors on a Δ(R) = 0.
  • 18.On suppose que dimKer(ψ_R) = 1.
    • (a)Démontrer qu'il existe λ ∈ 𝕂 et T ∈ 𝕂[X] tels que T(λ) ≠ 0 et R = (X − λ)^2 T.
    • (b)Démontrer dans ce cas que Ker(ψ_R) = vect((2T + (X − λ)T^′, − (X − λ)T)).
  • 19.Démontrer que s'il existe deux polynômes T, W ∈ 𝕂[X], avec d^∘(T) ⩾ 2 tels que R = T^2 W, alors on a l'inégalité dim(Ker(ψ_R)) ⩾ 2.
  • 20.En déduire que si dimKer(ψ_R) = 1, alors il existe des scalaires λ ∈ 𝕂, μ ∈ 𝕂∖{0} et des polynômes T_1, …, T_r ∈ 𝕂[X] deux à deux distincts et irréductibles tels que l'on a la décomposition R = μ(X − λ)^2∏_(i = 1)^r T_i avec ∀i ∈ [ [1, r] ], T_i(λ) ≠ 0.

Partie III. Quelques résultats d'algèbre linéaire sur les sous-espaces stables

Soient 𝕂 un corps, E un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie n ⩾ 2 et F un sous-espace vectoriel de E, de dimension s ⩾ 1 avec s < n; on fixe une base B_1 = (e_1, …, e_s) de F.
On considère une forme bilinéaire symétrique φ : E × E → 𝕂 non dégénérée (on renvoie aux notations pour la définition de ce point) qui vérifie la propriété ∀x, y ∈ F, φ(x, y) = 0. De plus, on note F^∘ = {x ∈ E/∀y ∈ F, φ(x, y) = 0}.
Soit un endomorphisme f ∈ L(E) tel que F soit stable par f, c'est-à-dire que l'on a f(F) ⊂ F. On suppose que cet endomorphisme satisfait la propriété
∀x, y ∈ E, φ(f(x), y) = φ(x, f(y)).
Enfin, on note g : {F, →, F; x, ↦, f(x) l'endomorphisme induit par f sur F et Γ = χ_g le polynôme caractéristique de g.
  • 21.On suppose, uniquement dans cette question, que rang(f) = n − 1.
    Soient u ∈ Ker(f)∖{0} et v ∈ E tels que φ(u, v) = 0.
    • (a)Démontrer que l'on a
      ∀x ∈ vect(v) + Im(f), φ(u, x) = 0.
    • (b)En déduire que v est dans Im(f).
  • 22.En faisant intervenir une récurrence, démontrer que
    ∀S ∈ 𝕂[X], ∀x, y ∈ E, φ(S(f)(x), y) = φ(x, S(f)(y)).
  • 23.(a) Soit J un sous-espace vectoriel de 𝕂^s tel que l'on a dim(J) < s. Montrer qu'il existe des éléments a_1, …, a_s ∈ 𝕂 non tous nuls tels que
    ∀(y_1, …, y_s) ∈ J, ∑_(i = 1)^s a_i y_i = 0.
    • (b)En déduire que l'application linéaire ψ : {E, →, 𝕂^s; x, ↦, (φ(x, e_1), …, φ(x, e_s)) est surjective.
    • (c)En déduire l'égalité dim(F^∘) = n − s.
  • 24.Démontrer que l'on a
    ∀x ∈ F, Γ(f)(x) = 0.
  • 25.On suppose, uniquement dans cette question, que le vecteur e_1 n'est pas dans Im(Γ(f)).
    • (a)Démontrer que l'on a l'inclusion Im(Γ(f)) ⊕ vect(e_1) ⊂ F^∘.
    • (b)En déduire l'inégalité : rang(Γ(f)^2) ⩽ n − (s + 1).
  • 26.On suppose, uniquement dans cette question, qu'il existe un vecteur z de E tel que e_1 = Γ(f)(z).
    • (a)Démontrer que la famille (e_1, …, e_s, z) est libre dans E.
    • (b)En déduire l'inégalité : rang(Γ(f)^2) ⩽ n − (s + 1).
  • 27.Démontrer qu'il existe des vecteurs e_(s + 1), …, e_n de E tels que B = (e_1, …, e_s, e_(s + 1), …, e_n) soit une base de E de telle sorte que Mat_B(f) = (A, B; 0, C) et A = Mat_(B_1)(g). On précisera la taille des matrices B et C.
  • 28.Démontrer l'inégalité rang(Γ(f)^2) ⩾ rang(Γ(C)^2).
  • 29.(a) On suppose que les polynômes Γ et χ_C sont premiers entre eux. Dans ce cas, démontrer que la matrice Γ(C) est inversible.
    • (b)À l'aide des questions précédentes, mettre en évidence une contradiction dès lors que Γ et χ_C sont des polynômes qui sont premiers entre eux.
    • (c)Démontrer que χ_f a un moins un facteur multiple dans sa décomposition en facteurs irréductibles.
  • 30.On suppose que χ_f = (X − λ)^2 S, avec S un polynôme sans facteurs multiples dans sa décomposition en facteurs irréductibles.
    Démontrer que (X − λ)|Γ et (X − λ)|χ_C, puis qu'il existe u ∈ F non nul tel que f(u) = λu.

Partie IV. Arithmétique des polynômes dans 𝔽_p[X]

Soit un entier naturel n ∈ ℕ^∗. Dans cette partie, p désignera un nombre premier. Fixons un polynôme R = ∑_(k = 0)^n r_k X^k ∈ 𝔽_p[X] de degré n unitaire.
  • 31.Soit k ∈ [ [1, p − 1] ], démontrer que l'on a p(p/k).
  • 32.Démontrer que l'application F : {𝔽_p[X], →, 𝔽_p[X]; S, ↦, S^p est un morphisme d'anneaux.
  • 33.Soit a ∈ 𝔽_p∖{0^–}, démontrer que a^(p − 1) = 1^–. En déduire que l'on a
    ∀x ∈ 𝔽_p, x^p = x.
  • 34.On suppose que R^′, le polynôme dérivé de R, vérifie la relation R^′ = 0^–.
    • (a)Démontrer que R = ∑_(l = 0)^(⌊n/p⌋)r_(lp)X^(lp), où ⌊n/p⌋ désigne la partie entière de n/p.
    • (b)En déduire qu'il existe W ∈ 𝔽_p[X] tel que R = W^p.
  • 35.On suppose que R = (X − λ)^2∏_(i = 1)^r T_i, avec λ ∈ 𝔽_p et T_1, …, T_r ∈ 𝔽_p[X] des polynômes deux à deux distincts et irréductibles dans 𝔽_p[X] qui vérifient ∀i ∈ [ [1, r] ], T_i(λ) ≠ 0^–.
    • (a)Soit j ∈ [ [1, r] ] tel que T_j|R^′. Démontrer que T_j^′ = 0^–.
    • (b)En déduire que R ∧ R^′ = X − λ.

Partie V. Forme normale de Smith

Dans cette partie, on pourra s'aider des résultats obtenus dans la partie I.
Soit un entier naturel n ∈ ℕ^∗. Soit une matrice M ∈ M_n(ℤ) non nulle, on note
μ(M) = min{|m_(i, j)|, i, j ∈ [ [1, n] ] et m_(i, j) ≠ 0}.
Nous allons démontrer qu'il existe des matrices U et V dans GL_n(ℤ) et une matrice diagonale
Ω = (d_1, 0, 0, ⋯, 0; 0, d_2, 0, ⋯, 0; 0, 0, ⋱, 0; ⋮, d_r, ⋮; 0; ⋱; 0, ⋯, 0)
dans M_n(ℤ) telles que M = UΩV, avec d_1, …, d_r non nuls qui vérifient ∀i ∈ [ [1, r − 1] ], d_i|d_(i + 1).
  • 36.Soient des entiers naturels i, j ∈ [ [1, n] ], avec i ≠ j. On reprend la notation P_(i, j) des matrices définies la partie I.
    Démontrer que μ(P_(i, j)M) = μ(MP_(i, j)).
  • 37.Démontrer qu'il existe des matrices P_0, Q_0 ∈ GL_n(ℤ) telles que
    ∀P, Q ∈ GL_n(ℤ), μ(P_0 MQ_0) ⩽ μ(PMQ).
  • 38.On pose la matrice A = P_0 MQ_0 = [a_(i, j)]_(1 ⩽ i, j ⩽ n). Quitte à modifier P_0 et Q_0, démontrer que, l'on peut supposer que : |a_(1, 1)| = μ(A), puis que : a_(1, 1) = μ(A).
    Dans la suite, on se place donc dans le cas où l'on a a_(1, 1) = μ(A)
  • 39.Soit un entier j ∈ [ [2, n] ]. Notons q_j le quotient et r_j le de reste la division euclidienne de a_(1, j) par a_(1, 1) ce qui conduit à la relation a_(1, j) = a_(1, 1)q_j + r_j.
    Soit A˜ la matrice obtenue à partir de la matrice A après les opérations élémentaires C_j ← C_j − q_j C_1, pour tout j de [ [2, n] ].
    • (a)S'il existe j_0 ∈ [ [2, n] ] tel que r_(j_0) ≠ 0, démontrer l'inégalité μ(A˜) < μ(A).
    • (b)En déduire que A˜ est de la forme (a_(1, 1), 0, ⋯, 0; u_(2, 1), u_(2, 2), ⋯, u_(2, n); ⋮, ⋮, ⋮; u_(n, 1), u_(n, 2), ⋯, u_(n, n)) et que ∀j ∈ [ [2, n] ], a_(1, 1)|a_(1, j).
  • 40.Démontrer qu'il existe des matrices P_1, Q_1 ∈ GL_n(ℤ) telles que la matrice B = P_1 MQ_1 soit de la forme B = (a_(1, 1), 0, ⋯, 0; 0, b_(2, 2), ⋯, b_(2, n); ⋮, ⋮, ⋮; 0, b_(n, 2), ⋯, b_(n, n)) avec μ(B) = min{μ(PMQ), P, Q ∈ GL_n(ℤ)}.
  • 41.Soit un entier naturel i ∈ [ [2, n] ]. Soit B˜ la matrice obtenue à partir de B en effectuant l'opération L_1 ← L_1 + L_i.
    • (a)Démontrer l'égalité μ(B˜) = μ(B).
    • (b)En utilisant le résultat de la question 39b et en s'aidant de la matrice B˜, démontrer que l'on a
      ∀i, j ∈ [ [2, n] ], a_(1, 1)|b_(i, j).
      On peut donc écrire B = (d_1, 0; 0, d_1 N), avec N une matrice dans M_(n − 1)(ℤ).
  • 42.Démontrer que pour toute matrice M de M_n(ℤ) non nulle, il existe des matrices U et V dans GL_n(ℤ) et une matrice diagonale
    Ω = (d_1, 0, 0, ⋯, 0; 0, d_2, 0, ⋯, 0; 0, 0, ⋱, 0; ⋮, d_r, ⋮; 0; ⋱; 0, ⋯, 0)
    dans M_n(ℤ) telles que M = UΩV, avec d_1, …, d_r des entiers non nuls qui vérifient ∀i ∈ [ [1, r − 1] ], d_i|d_(i + 1).
    Cette décomposition s'appelle la forme normale de Smith.
  • 43.Soient une matrice M ∈ M_n(ℤ) non nulle décomposée comme dans la question 42 et soit p un nombre premier. On suppose qu'il existe une matrice colonne Y ∈ M_(n, 1)(ℤ) telle que Y≢0[p] et MY ≡ 0[p^2].
    • (a)Si r = n, démontrer que p^2|d_n.
  • (b)Démontrer que p^2|det(M).

Partie VI. Preuve du premier résultat

On reprend les notations des parties précédentes, et on rappelle que ℓ(Q) est le plus petit entier naturel non nul tel que ℓ(Q)Q soit dans M_n(ℤ).
On rappelle la notation suivante, étant donnée une matrice M = [m_(i, j)]_(1 ⩽ i ⩽ n; 1 ⩽ j ⩽ p) ∈ M_(n, p)(ℤ), on note M¯ = [m_(i, j)^–]_(1 ⩽ i ⩽ n) la matrice de M_(n, p)(𝔽_p), avec m_(i, j)^– la classe de m_(i, j) dans 𝔽_p. Étant données deux matrices M ∈ M_(r, s)(ℤ) et N ∈ M_(s, t)(ℤ), on pourra utiliser la relation MN^– = M¯N¯ sans démonstration.
Cette partie fait uniquement appel à des résultats des parties I., II. et III..
Soit un entier naturel n ∈ ℕ tel que n ⩾ 2 et soit une matrice Q ∈ O_n(ℚ). On notera Qˆ = ℓ(Q)Q et C_1, …, C_n les colonnes de Qˆ.
Soit une matrice A ∈ S_n(ℤ), on note ^1 Δ_A l'entier relatif Δ_A = Δ(χ_A). L'objet de cette partie consiste à démontrer le résultat suivant :
Si la matrice Q^T AQ est dans S_n(ℤ), alors pour tout diviseur premier p de ℓ(Q), on a p|Δ_A.
Dans cette partie, on suppose que la matrice B = Q^T AQ est dans S_n(ℤ).
  • 44.Soit 𝕂 un corps.
    Soit l'application φ : {(M_(n, 1)(𝕂))^2, →, 𝕂; (Y, Z), ↦, Y^T Z. Démontrer que φ est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée.
    Pour toute la suite de cette partie, on prendra 𝕂 = 𝔽_p, avec p un nombre premier qui divise ℓ(Q).
  • 45.(a) Démontrer que l'on a
    ∀i, j ∈ [ [1, n] ], φ(C_i^–, C_j^–) = 0^–.
    • (b)Démontrer que l'on a
      ∀(Y, Z) ∈ Im(Qˆ^–)^2, φ(Y, Z) = 0^–.
  • 46.Démontrer que Im(Qˆ^–) est stable par l'application Y ↦ A¯.Y définie sur M_(n, 1)(𝔽_p).
  • 47.Démontrer l'inégalité dim(Im(Qˆ^–)) < n.
  • 48.En utilisant la partie III., démontrer que le polynôme χ_(A¯) possède au moins un facteur multiple dans sa décomposition en facteurs irréductibles sur 𝔽_p[X].
  • 49.En déduire que l'on a p|Δ_A.

Partie VII. Preuve du second résultat

On reprend les notations des parties précédentes.
Soit un entier naturel n ∈ ℕ tel que n ⩾ 2 et soit une matrice Q ∈ O_n(ℚ). On note Qˆ = ℓ(Q)Q. On note C_1, …, C_n les colonnes de Qˆ. Soit une matrice A ∈ S_n(ℤ). On note Δ_A = Δ(χ_A).
L'objet de cette partie consiste à démontrer le résultat suivant :
Si Q^T AQ est dans S_n(ℤ) et si Δ_A est un entier impair sans facteurs multiples dans sa décomposition en facteurs premiers, alors Q est dans O_n(ℤ).
Dans la suite de cette partie, on suppose que Q^T AQ est dans S_n(ℤ) et que Δ_A est un entier impair sans facteurs multiples dans sa décomposition en facteurs premiers. De plus, p désignera un nombre premier impair qui divise ℓ(Q); d'après la partie précédente on sait que p|Δ_A, par conséquent l'hypothèse faite sur Δ_A implique que p^2 ne divise pas Δ_A.
  • 50.Soient un entier naturel l ∈ ℕ^∗ et une matrice M ∈ M_l(ℤ) tels que le rang de M¯ dans M_l(𝔽_p) vérifie rang(M¯) = l − k, avec k dans [ [0, l] ].
    • (a)Démontrer qu'il existe deux matrices B ∈ M_l(ℤ) et C ∈ M_(l − k, l)(ℤ) telles que l'on a les deux égalités BM^– = ((C¯)/O), où O désigne la matrice mulle, et det(B¯) ≠ 0^–.
    • (b)En déduire que p^k|det(B)det(M).
    • (c)Puis, en déduire que p^k|det(M).
  • 51.En reprenant les notations de la partie II., avec 𝕂 = 𝔽_p, démontrer que Ker(ψ_(χ_A^–)) est de dimension 1.
  • 52.Montrer qu'il existe un entier relatif λ ∈ ℤ et un polynôme S ∈ ℤ[X] unitaire de degré n − 2 tels que l'on a χ_A^– = (X − λ¯)^2 S¯, avec S¯ sans facteurs multiples dans sa décomposition en facteurs irréductibles dans 𝔽_p[X] et S(λ)^– ≠ 0^–.
    On pourra s'aider des résultats de la partie II.
  • 53.En utilisant la question 30, la partie II. et la partie IV., démontrer qu'il existe une matrice colonne Y ∈ M_(n, 1)(ℤ) telle qu'il existe des entiers relatifs β_1, …, β_n ∈ ℤ vérifiant
    Y¯ = ∑_(i = 1)^n β_i^– ⋅ C_i^–
    avec Y¯ ≠ 0^– et A¯ ⋅ Y¯ = λ¯ ⋅ Y¯.
  • 54.On suppose dans cette question que le rang de la matrice λ¯ ⋅ I_n^– − A¯ de M_n(F_p) vaut n − 1. Soit la matrice colonne Z = 1/p(AY − λY), avec Y la matrice trouvée dans la question précédente.
    • (a)Démontrer que Y¯^T Z¯ = 0^–. On pourra utiliser la question 5.
    • (b)En utilisant la question 21, démontrer qu'il existe une matrice colonne Y_1 ∈ M_(n, 1)(ℤ) telle que
      Z¯ = (A¯ − λ¯ ⋅ I_n^–)Y_1^–.
    • (c)En déduire qu'il existe une matrice colonne Y_2 ∈ M_(n, 1)(ℤ) telle que
      Y_2^– ≠ 0^– et (A − λI_n)Y_2 ≡ 0[p^2]
      puis que p^2|χ_A(λ).
      On pourra utiliser la question 43b pour cette dernière relation.
  • 55.(a) Démontrer qu'il existe deux polynômes R_1 et R_2 dans ℤ[X], avec d^∘(R_1) < n − 1 tels que
    χ_A = (X − λ)^2 S + p(X − λ)R_1 + p^2 R_2.
    • (b)Comment peut-on choisir μ dans ℤ de telle sorte que ((R_1 + 2μS)/(X − λ))^– définisse un polynôme de 𝔽_p[X] de degré au plus n − 3 ?
      On note H ∈ ℤ[X] de degré au plus n − 3 tel que ((R_1 + 2μS)/(X − λ))^– = H¯, pour ce μ.
    • (c)On pose les polynômes T = 2S + (X − λ)S^′ + pR_1^′ + pH + μpS^′ et W = (X − λ)S + pR_1 + μpS, avec μ choisi comme dans la question précédente. Démontrer que W¯ est non nul dans 𝔽_p[X] et que d^∘(T) < n − 1 et d^∘(W) < n.
    • (d)Démontrer que l'on a Tχ_A ≡ Wχ_A^′[p^2].
  • 56.En s'aidant des questions 14 et 43b, mettre en évidence une contradiction
  • 57.Démontrer que si la matrice Q^T AQ est dans S_n(ℤ) et si l'entier Δ_A est impair sans facteurs multiples dans sa décomposition en facteurs premiers, alors Q est dans O_n(ℤ).
    1. On se réfère à la notation de la PartieII.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet agrégation interne maths épreuve 1 2026 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet agrégation interne maths épreuve 1 2026 ?

Le sujet mobilise la réduction des endomorphismes, les formes bilinéaires symétriques, les matrices entières et l'arithmétique des polynômes sur un corps fini.

Les parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Les parties I, II, III et IV sont indépendantes entre elles. La partie V s'appuie sur la partie I, et les parties VI et VII réutilisent les résultats de toutes les parties précédentes.

Faut-il connaître la forme normale de Smith pour aborder ce sujet ?

La forme normale de Smith n'est pas supposée connue : l'énoncé la fait redémontrer intégralement dans la partie V à partir des outils de la partie I.

Quel est l'objectif final du problème ?

Établir, puis démontrer une réciproque partielle, un résultat reliant les diviseurs premiers du dénominateur d'une matrice orthogonale rationnelle au discriminant du polynôme caractéristique d'une matrice symétrique entière conjuguée.

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