Agrégation mathématiques interne 2026, épreuve 2Sujet

Agrégation interne section mathématiques - Sujet de la seconde épreuve écrite de la session 2026

Pas encore noté

Séries de Fourier et convergence
Formes quadratiques et matrices symétriques définies non négatives
Optimisation sous contrainte et multiplicateurs de Lagrange
Projection orthogonale et espaces préhilbertiens
Équations différentielles linéaires du second ordre et problèmes aux limites
Espaces de Hilbert

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Présentation du sujet

Minimisation de fonctionnelles quadratiques, séries de Fourier et résolution d'un problème aux limites

Le sujet relie l'étude des séries de Fourier à la résolution d'un problème aux limites du second ordre via la minimisation d'une fonctionnelle quadratique associée à une matrice symétrique non négative. Il construit progressivement les outils : convergence des séries de Fourier, existence et caractérisation du minimum d'une fonctionnelle quadratique sous contrainte linéaire, puis approximation de la solution d'une équation différentielle par projection sur un sous-espace de fonctions trigonométriques.

1Questions préliminairesRésultats généraux d'analyse et d'algèbre linéaire (extremum d'une fonction, projection orthogonale, image de la transposée) réutilisés dans la suite du problème.
2Première partie : sur les séries de FourierÉtude de la convergence des séries de Fourier d'une fonction périodique de classe C^r et comparaison entre l'intégrale d'une fonction et une somme de Riemann périodisée.
3Deuxième partie : étude d'une fonctionnelle quadratiqueCaractérisation du minimum d'une fonctionnelle quadratique associée à une matrice symétrique positive, et existence d'un unique minimiseur.
4Troisième partie : un problème connexeMinimisation de la même fonctionnelle sous une contrainte affine, système d'équations associé faisant intervenir un multiplicateur de Lagrange, et convergence d'un algorithme de gradient projeté.
5Quatrième partie : sur un problème aux limitesRésolution d'une équation différentielle du second ordre avec conditions aux bords, formulation variationnelle sur un espace préhilbertien, et approximation de la solution par projection sur un sous-espace engendré par des fonctions sinus.
6Cinquième partie : un cadre fonctionnel plus élaboréConstruction d'un espace de Hilbert de fonctions périodiques défini à partir des coefficients de Fourier, et démonstration de la convergence uniforme de l'approximation construite en partie 4 vers la solution exacte.

Description

Sujet officiel Agrégation interne en mathématiques, session 2026.

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SESSION 2026

AGRÉGATION
Concours interne et CAER

Section
MATHÉMATIQUES

Deuxième épreuve

Durée : 6 heures

L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout matériel électronique (y compris la calculatrice) est rigoureusement interdit.

Il appartient au candidat de vérifier qu'il a reçu un sujet complet et correspondant à l'épreuve à laquelle il se présente.

Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.

NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier.
Le fait de rendre une copie blanche est éliminatoire.

INFORMATION AUX CANDIDATS

Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie. Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.

AGRÉGATION INTERNE MATHÉMATIQUES

Concours interne de l'Agrégation de l'enseignement public:

Concours Section/option Épreuve Matière

\begin{tabular}{|l|l|l|l|}

\hline 1 & O & O & A

\hline
\end{tabular} \begin{tabular}{|l|l|l|l|}

\hline 1 & & 5 & 1

\hline
\end{tabular}

Concours interne du CAER / Agrégation de l'enseignement privé :

Concours Section/option Épreuve Matière

\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}

\hline 1 & O & O & A

\hline
\end{tabular}

\begin{tabular}{|l|l|l|l|}

\hline 1 & 0 & 2

\hline
\end{tabular}

Notations, définitions et énoncés utiles

On désigne par

ℕ

l'ensemble des entiers naturels, par

ℝ

le corps des nombres réels, par

ℂ

l'ensemble des nombres complexes.

Dans tout le problème, N et M désignent des entiers naturels non nuls.
On désigne par

(x, y) \in ℝ^N \times ℝ^N \mapsto (x|y) = \sum_(i = 1)^N x_i y_i

le produit scalaire usuel sur

ℝ^N

et par

x \in ℝ^N \mapsto ‖x‖ = \sqrt((x|x))

la norme associée. Étant donné un sous-espace vectoriel

F

ℝ^N

, on note alors

F^⊥ = {x ∈ ℝ^N, (x|y) = 0

pour tout

y \in F}

On note

M_N(ℝ)

l'ensemble des matrices carrées

N \times N

à coefficients réels et

M_(M, N)(ℝ)

l'ensemble des matrices à

M

lignes et

N

colonnes, à coefficients réels. On identifiera les vecteurs de

ℝ^N

avec des matrices de

M_(N, 1)(ℝ)

Pour

A

une matrice à

M

lignes et

N

colonnes, on note

A^⊤

sa matrice transposée, à

N

lignes et

M

colonnes.

On dit qu'une matrice symétrique

A

M_N(ℝ)

est non négative si pour tout

x \in ℝ^N

, on a

(Ax|x) ⩾ 0

. On dit que

A

est positive si pour tout

x ∈ ℝ^N∖{0}

, on a

(Ax|x) > 0

Le problème est organisé en 5 parties. Les résultats des questions préliminaires peuvent donner des idées ou des arguments utiles dans les parties ultérieures. Chacune des parties fait appel à des techniques différentes et commence de manière à se familiariser progressivement avec les notions mises en jeu. Les parties 2 et 3 puis 4 et 5 sont liées. Le cas échéant, il peut être fait référence à un résultat établi dans une des parties précédentes.

Questions préliminaires

1.Soient $a, b$ deux réels avec $a > 0$ . Donner l'allure du graphe de $x \in ℝ \mapsto a/2x^2 - bx$ .
2.Soient $a, b$ deux réels avec $a < b$ et $u : [a, b] \to ℝ$ une fonction de classe $C^2$ sur $[a, b]$ . On suppose qu'il existe $x_0 \in ]a, b[$ tel que $u(x_0) = min_(a ⩽ x ⩽ b)u(x)$ . Montrer que $u^'(x_0) = 0$ et $u^('')(x_0) ⩾ 0$ .
3.Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $ℝ^N$ et soit $P$ la matrice de la projection orthogonale de $ℝ^N$ sur $F$ relativement à la base canonique de $ℝ^N$ . Montrer que pour tout $x \in ℝ^N$ , on a $‖Px‖ ⩽ ‖x‖$ .
4.Soit une matrice $C \in M_(M, N)(ℝ)$ . Montrer que $Im(C^⊤) = (Ker(C))^⊥$ .

Première partie : sur les séries de Fourier

Dans cette partie, on considère une fonction

f : ℝ \to ℂ, 2π

-périodique et continue sur

[ - π, π]

. On lui associe la série de Fourier

ù \sum_(n \in ℤ)f^(n)e^(inx) où, pour tout n \in ℤ, f^(n) = 1/(2π)\int_(- π)^π f(t)e^(- int) dt.

5.Rappeler, sans plus de justification mais précisément, en quel(s) sens la série de Fourier converge vers $f$ lorsque $f$ est continue et lorsque $f$ est de classe $C^1$ .
6.On considère la fonction définie par $g(x) = x(π - x)$ pour $x \in [0, π]$ et prolongée par parité sur $[ - π, 0]$ et par $2π$ -périodicité sur $ℝ$ . En donner une représentation graphique sur $[ - 2π, 2π]$ et exprimer sa série de Fourier.

7.Calculer $\int_(- π)^π|g(x)|^2 dx$ pour la fonction $g$ introduite à la question précédente.
8.En déduire les sommes $\sum_(n = 1)^\infty1/(n^2)$ et $\sum_(n = 1)^\infty1/(n^4)$ .

Dans toute la suite de cette partie, on fixe

r \in ℕ

avec

r ⩾ 2

et on suppose que

f

est

2π

-périodique et de classe

C^r

sur

ℝ

9.Montrer que l'on peut trouver une constante $M_r > 0$ telle que pour tout $n \in ℤ∖{0}$ , on a
$|fˆ(n)| ⩽ (M_r)/(|n|^r).$
10.A-t-on alors convergence normale sur $[ - π, π]$ de la série de Fourier vers $f$ ? Peut-on dire que la série de Fourier converge uniformément sur $[ - π, π]$ ? (Ce qui permettrait d'écrire $f(x) = \sum_(n \in ℤ)fˆ(n)e^(inx)$ .)
11.Soit un entier naturel $L \in ℕ∖{0}$ . On pose
$I_L[f] = 1/L\sum_(ℓ = 0)^(L - 1)f((2πℓ)/L).$
Montrer que
$I_L[f] = \sum_(n \in ℤ)fˆ(nL).$
12.En déduire que l'on peut trouver une constante $M_r^' > 0$ telle que
$|1/(2π)\int_(- π)^π f(t)dt - I_L[f]| ⩽ (M_r^')/(L^r).$
13.Illustrer par un dessin et commenter le résultat obtenu.

Deuxième partie : étude d'une fonctionnelle quadratique

Soient

b \in ℝ^N

A

une matrice symétrique de

M_N(ℝ)

qu'on suppose non négative

^1

. On pose

J : x \in ℝ^N ⟼ 1/2(Ax|x) - (b|x).

14.Montrer que si $x \in ℝ^N$ satisfait $Ax = b$ alors, pour tout $h \in ℝ^N$ , on a $J(x + h) ⩾ J(x)$ .
15.Réciproquement, montrer que si $J$ atteint un minimum en $x \in ℝ^N$ , alors $Ax = b$ . (On pourra poser $h = tk$ , avec $t \in ℝ, k \in ℝ^N$ , dans l'expression de $J(x + h)$ .)
Dans toute la suite de cette partie, on suppose que A est positive. (La définition est rappelée en préambule du sujet.)

16.Montrer qu'il existe $α > 0$ tel que pour tout $x \in ℝ^N$ , on a $(Ax|x) ⩾ α‖x‖^2$ .
17.En déduire que $lim_(‖x‖ \to + \infty)J(x) = + \infty$ .
18.Montrer que $A$ est inversible et que l'on peut trouver $β > 0$ tel que pour tout $y \in ℝ^N$ , on a $(A^(- 1)y|y) ⩾ β‖y‖^2$ .
19.En conclure qu'il existe un unique $x \in ℝ^N$ , que l'on caractérisera, en lequel $J$ admet un minimum sur $ℝ^N$ .

Troisième partie : un problème connexe

Soient

A

une matrice symétrique et positive

^2

M_N(ℝ), b \in ℝ^N, C

une matrice de

M_(M, N)(ℝ)

et une matrice colonne

c \in ℝ^M

. On note

C = {x ∈ ℝ^N, Cx = c}.

On suppose de plus dans toute cette partie que

A

admet au moins deux valeurs propres distinctes.

20.Montrer que $inf_(x \neq 0)((Ax|x))/(‖x‖^2) < ‖|A|‖ = sup_(x \neq 0)(‖Ax‖)/(‖x‖)$ .
21.En étudiant comme précédemment $J(x + h)$ avec $x \in C$ et $h \in Ker(C)$ , montrer que $J$ atteint un minimum sur $C$ en $x$ si et seulement si pour tout $h \in Ker(C)$ , on a $(Ax - b|h) = 0$ .
22.En déduire que $J$ atteint un minimum sur $C$ en $x$ si et seulement si il existe $p \in ℝ^M$ tel que
${Ax + C^⊤p = b,; Cx = c.$
23.Montrer que ce système (2) admet une unique solution $(x, p) \in ℝ^N \times ℝ^M$ si et seulement si $rang(C^⊤) = M$ .
24.Donner un procédé permettant de construire, à partir de la matrice $C$ , la matrice de la projection orthogonale $P$ de $ℝ^N$ (dans la base canonique) sur $Ker(C)$ .
25.On suppose $c = 0$ . Soient $(x, p) \in ℝ^N \times ℝ^M$ solution de (2) et $P$ la matrice de la projection orthogonale de $ℝ^N$ sur $Ker(C)$ (dans la base canonique). Avec $x^((0)) \in ℝ^N$ et $ρ > 0$ donnés, on construit la suite définie par
$x^((n + 1)) = P(x^((n)) - ρ(Ax^((n)) - b)), pour tout n \in ℕ.$
Montrer qu'il existe $ρ_0 > 0$ et $0 < κ_0 < 1$ (qu'on explicitera) tels que si $0 < ρ < ρ_0$ , alors pour tout $n \in ℕ$ , on a
$‖x^((n + 1)) - x‖^2 ⩽ κ_0‖x^((n)) - x‖^2.$
26.Que peut-on en déduire?

Quatrième partie : sur un problème aux limites

On va étudier le problème aux limites

- (a(x)u^'(x))^' = f(x) pour 0 < x < π et u(0) = u(π) = 0

où

f : [0, π] \to ℝ

est une fonction continue,

a : [0, π] \to ℝ

est une fonction de classe

C^1

telle qu'il existe

a_* > 0

vérifiant

a(x) ⩾ a_* > 0

pour tout

x \in [0, π]

. À cette fin, on introduit l'ensemble

H_0 = {v : [0, π] → ℝ, de classe C^1 et telle que v(0) = v(π) = 0}

qu'on munit de la norme

‖v‖_(H_0)^2 = \int_0^π(|v(t)|^2 + |v^'(t)|^2)dt

qui fait de

H_0

un espace préhilbertien réel. On notera

(u|v)_(H_0)

le produit scalaire associé.

27.Montrer que la famille de fonctions $x \mapsto sin(x), \dots, x \mapsto sin(Nx)$ est orthogonale dans $H_0$ (pour ce produit scalaire), puis justifier que c'est une famille libre. On notera $F_N$ le sous-espace engendré par cette famille.
28.On introduit la matrice $A \in M_N(ℝ)$ dont les coefficients sont donnés par
$A_(k, ℓ) = kℓ\int_0^π a(x)cos(kx)cos(ℓx)dx.$
Montrer que $A$ est symétrique et positive $^3$ .
29.Montrer qu'on peut trouver une constante réelle $γ > 0$ telle que pour tout élément $v$ de $H_0$ et tout $x \in [0, π]$ , on a
$|v(x)| ⩽ γ\sqrt(\int_0^π|v^'(x)|^2 dx).$
30.Soit $μ \in ℝ$ . Montrer que le problème de Cauchy
$- (au^')^' = f, u(0) = 0, u^'(0) = μ$
admet une unique solution, qu'on notera $u_μ$ , définie sur $[0, π]$ .
31.Établir que $μ \mapsto u_μ(π)$ est une fonction affine et en déduire que l'on peut trouver une unique valeur $μ_* \in ℝ$ telle que $u_(μ_*)(π) = 0$ (ce qui définit donc une solution de (3)).
32.Soit $u : [0, π] \to ℝ$ une fonction de classe $C^2$ qui est solution de (3). Montrer que pour tout $φ \in H_0$ , on a
$\int_0^π a(x)u^'(x)φ^'(x)dx = \int_0^π f(x)φ(x)dx.$
33.Montrer que
$(v_1, v_2) \mapsto A(v_1, v_2) = \int_0^π a(x)v_1^'(x)v_2^'(x)dx$
définit un produit scalaire sur $H_0$ .
34.En déduire que (3) admet une unique solution dans $H_0$ .
35.Soient un réel $K > 0$ et $(f_m)_(m \in ℕ)$ une suite de fonctions définies sur $[0, π]$ telle que, pour tous $m \in ℕ$ et $x \in [0, π], |f_m(x)| ⩽ K$ et $lim_(m \to + \infty)f_m(x) = f(x)$ .
Montrer que $lim_(m \to + \infty)\int_0^π|f_m(x) - f(x)|dx = 0$ .
36.On désigne alors par $u_m$ et $u$ les solutions de (3) associées à $f_m$ et $f$ respectivement. Montrer que
$lim_(m \to + \infty)\int_0^π|u_m^'(t) - u^'(t)|^2 dt = 0$
et que $u_m$ converge vers $u$ uniformément sur $[0, π]$ .
37.On suppose que $f(x) > 0$ pour tout $x \in [0, π]$ . Montrer que la solution $u$ de (3) associée vérifie $u(x) > 0$ pour tout $x \in ]0, π[$ . On suppose ensuite que $f(x) ⩾ 0$ . Montrer qu'alors $u$ est à valeurs non négatives.
38.On définit $x \mapsto u˜_N(x) = \sum_(k = 1)^N y_k sin(kx)$ comme le projeté orthogonal sur $F_N$ de $u$ , solution de (3), pour le produit scalaire défini par $A$ . Montrer que le vecteur $y = (y_1, \dots, y_N)$ vérifie $Ay = b$ où $A$ est la matrice définie par les relations (4), pour un vecteur $b \in ℝ^N$ qu'on précisera.

39.Soient $w_1, w_2 \in ℝ^N$ et $c_1, c_2 \in ℝ$ . Exprimer le problème de minimisation de l'application $y ↦ 1/2(Ay|y) − (b|y)sur{y ∈ ℝ^N, (w_1|y) = c_1, (w_2|y) = c_2}$ sous forme matricielle, et justifier qu'il admet une unique solution, moyennant une hypothèse adéquate sur les vecteurs $w_1$ et $w_2$ .

Cinquième partie : un cadre fonctionnel plus élaboré

On introduit maintenant l'ensemble

H

des fonctions continues sur

ℝ

, éventuellement à valeurs dans

ℂ

, et

2π

-périodiques telles que

N(f) = \sqrt(\sum_(n \in ℤ)(1 + |n|^2)|f^(n)|^2)⎷) < + \infty

où

fˆ(n)

est défini par la relation (1) dans la première partie.

40.Montrer que si $f : ℝ \to ℂ$ est de classe $C^2$ sur $ℝ$ et $2π$ -périodique, alors $f \in H$ .
41.On admet que que pour toute fonction $f$ continue et $2π$ -périodique et pour $ε > 0$ il existe un polynôme trigonométrique $x \mapsto φ_ε(x) = \sum_(|k| ⩽ K_ε)α_k e^(ikx)$ , où les coefficients $α_k$ sont des complexes, tel que $‖f - φ_ε‖_(L^\infty([ - π, π])) = sup_(x \in [ - π, π])|f(x) - φ_ε(x)| ⩽ ε$ .
Justifier que la série de Fourier de $f$ converge vers $f$ dans $L^2([ - π, π])$ .
42.Soir $f \in H_0$ . On prolonge cette fonction en une fonction impaire sur $[ - π, 0]$ , puis par $2π$ périodicité en une fonction de classe $C^1$ sur $ℝ$ . On peut alors considérer les coefficients de Fourier de ce prolongement $^4$ , qu'on persiste à noter $f$ . Montrer que $‖f‖_(H_0) = \sqrtπN(f)$ .
43.Montrer que $(H, N)$ est un espace vectoriel normé.
44.Montrer que $(H, N)$ est un espace de Hilbert.
45.Soit $f \in H$ . Montrer que l'on peut trouver une constante réelle $K > 0$ telle que pour tout $ψ : ℝ \to ℂ$ , de classe $C^1$ sur $ℝ$ et $2π$ -périodique, on a
$|\int_(- π)^π f(t)ψ^'(t)dt| ⩽ K\sqrt(\int_(- π)^π|ψ(t)|^2 dt).$
Cette dernière relation permet d'identifier $f^'$ comme une fonction de carré intégrable, qui coïncide avec sa série de Fourier.
46.Montrer que la suite $(u˜_N)_(N ∈ ℕ∖{0})$ construite dans la partie précédente converge uniformément vers $u$ , solution de (3).
47.Quel est l'intérêt des résultats de la première partie dans ce contexte?

1. La définition est rappelée en préambule du sujet.
1. La définition est rappelée en préambule du sujet
1. La définition est rappelée en préambule du sujet.
1. On ne demande pas de vérifier la régularité $C^1$

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve 2 de maths agrégation interne 2026 ?

Elle porte sur les séries de Fourier, les formes quadratiques associées à des matrices symétriques non négatives, l'optimisation sous contrainte linéaire et la résolution approchée d'un problème aux limites via un cadre hilbertien.

Les parties du sujet agrégation interne maths épreuve 2 2026 sont-elles indépendantes ?

L'énoncé précise que les parties 2 et 3 d'une part, et les parties 4 et 5 d'autre part, sont liées ; les résultats des questions préliminaires et de la partie 1 sur les séries de Fourier sont réutilisés dans les parties suivantes.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

Il faut maîtriser la convergence des séries de Fourier, les matrices symétriques positives, la caractérisation des minima d'une fonctionnelle convexe, la projection orthogonale et les notions de base sur les équations différentielles linéaires et les espaces de Hilbert.

Ce sujet relie-t-il analyse fonctionnelle et algèbre linéaire ?

Oui, il illustre comment la résolution approchée d'une équation différentielle se ramène à la minimisation d'une fonctionnelle quadratique associée à une matrice symétrique, construite à partir de fonctions trigonométriques.

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