Agrégation mathématiques interne 2025, épreuve 1Sujet et rapport du jury

INFORMATION AUX CANDIDATS

AGRÉGATION INTERNE MATHÉMATIQUES

• -
  Concours interne de l'Agrégation de l'enseignement public:
  Concours E A I
  Section/option

  1

  3

  0

  0

  A

  Epreuve

  1

  0

  1

  Matière

  0

  5

  4

• -
  Concours interne du CAER / Agrégation de l'enseignement privé :
  Concours
  Section/option

  1

  3

  0

  0

  A

  Epreuve

  1

  0

  1

  Matière

  0

  5

  4

  0

Notations et rappels

Exercice préliminaire 1

• 1.Montrer qu'il existe un unique morphisme de 𝕂-algèbres θ_u : 𝕂[X] ⟶ End(E) envoyant X sur u.

• 2.Montrer que le morphisme θ_u n'est pas injectif.
• 3.En déduire l'existence d'un unique polynôme unitaire μ_u ∈ 𝕂[X] tel que pour tout polynôme P ∈ 𝕂[X], θ_u(P) est l'endomorphisme nul de E si et seulement si μ_u divise P.

• 4.Soit d le degré de μ_u. Montrer que (Id_E, u, …, u^(d − 1)) est une base de 𝕂[u].

Exercice préliminaire 2

• 5.Soit n un entier naturel non nul. Montrer que la valeur de φ(n) est égale au nombre d'éléments inversibles de l'anneau ℤ/nℤ.
• 6.Montrer que si p est un nombre premier et α ∈ ℕ^∗, alors on a la relation φ(p^α) = p^α − p^(α − 1).
• 7.Dans ℕ^∗, résoudre l'inéquation φ(n) ⩽ 2.
  Indication : on pourra décomposer n en produit de nombres premiers; on rappelle que si m et n sont deux entiers naturels non nuls premiers entre eux, alors on a l'égalité φ(mn) = φ(m)φ(n).

Première partie : décomposition de X^n − 1 en produit d'irréductibles

• 8.Dans ℂ[X], exprimer à l'aide de ω_n la décomposition du polynôme X^n − 1 en facteurs irréductibles. En déduire que X^n − 1 est à racines simples dans ℂ.
• 9.(a) Quelles sont, en fonction de n, les racines n-ièmes de l'unité appartenant à ℝ ?
  • (b)Soit θ un nombre réel non nul qui n'est pas de la forme mπ avec m un entier relatif. Justifier que le polynôme de ℂ[X] de degré 2 donné par P_θ = (X − e^(iθ))(X − e^(− iθ)) est un polynôme de ℝ[X] qui est irréductible dont on donnera les coefficients.
  • (c)En fonction de n, donner la décomposition en facteurs irréductibles du polynôme X^n − 1 dans ℝ[X].
• 10.(a) Soit m ∈ ℕ^∗. Démontrer que ω_n^m est une racine primitive n-ième de l'unité si et seulement si m et n sont premiers entre eux.
  • (b)Montrer que le nombre de racines primitives n-ièmes de l'unité est φ(n).

• 11.(a) Justifier que 𝕌_n = ⋃_(d|n)𝔸_d, où 𝔸_d désigne l'ensemble des racines primitives d-ièmes de l'unité. Montrer que cette union est disjointe. En déduire que
  X^n − 1 = ∏_(d|n)Φ_d.
  • (b)Déterminer Φ_n pour 1 ⩽ n ⩽ 6.
  • (c)Soit B ∈ ℤ[X] un polynôme unitaire et A ∈ ℤ[X]. Montrer qu'il existe Q, R ∈ ℤ[X] tels que A = BQ + R avec degR < degB ou R = 0.
    Indication : on pourra faire une preuve par récurrence sur le degré de A.
  • (d)En déduire que pour tout n ∈ ℕ^∗, Φ_n ∈ ℤ[X].

Deuxième partie : un lemme sur les matrices d'ordre fini

• 12.Montrer que A est diagonalisable sur ℂ et que ses valeurs propres sont des racines de l'unité.
• 13.Montrer que le polynôme minimal μ_A de A s'écrit sous la forme μ_A = P_1⋯P_q, où les P_j sont des polynômes irréductibles unitaires de 𝕂[X] deux à deux distincts.

Troisième partie : endomorphismes cycliques et décomposition de Frobenius

• 14.Soit P un polynôme unitaire de 𝕂[X]. Démontrer que le polynôme caractéristique de C_P est égal à P.
  Indication : on pourra procéder par récurrence sur l'entier n ⩾ 1.
• 15.Soit x ∈ E. On note
  I_x = {P ∈ 𝕂[X]|P(u)(x) = 0}.
  • (a)Justifier qu'il existe un unique polynôme unitaire μ_x de 𝕂[X] tel que I_x = μ_x 𝕂[X] et que l'on a μ_x|μ_u.
  • (b)Justifier que E = ⨁_(i = 1)^q Ker(P_i^(m_i)(u)) et que les sous-espaces N_i = Ker(P_i^(m_i)(u)) sont stables par u.
  • (c)Pour tout i ∈ [ [1, q] ], on note u_i l'endomorphisme induit par u sur N_i. Montrer que μ_(u_i) = P_i^(m_i). En déduire qu'il existe x_i ∈ E tel que μ_(x_i) = μ_(u_i), puis qu'il existe x ∈ E tel que μ_x = μ_u.

• i)L'endomorphisme u est cyclique.
• ii)Il existe une base B de E telle que Mat_B(u) soit la matrice compagnon d'un certain polynôme.
• iii) χ_u = μ_u.

17. Soit u un endomorphisme cyclique de E. On note Com(u) = {v ∈ End(E)|v ∘ u = u ∘ v} l'ensemble des endomorphismes qui commutent avec u. Justifier que Com(u) = 𝕂[u].
18. Dans cette question, on suppose que μ_u est irréductible sur 𝕂. Pour x ∈ E, on note

• (a)Montrer que E_x est stable par u pour tout x dans E. Montrer que si x est non nul, l'endomorphisme v induit par u sur E_x est cyclique, de polynôme minimal égal à μ_u. En déduire la dimension de E_x.
• (b)Soit F un sous-espace de E stable par u et x ∈ E. Montrer que E_x ⊆ F ou E_x ∩ F = {0}.
• (c)Montrer qu'il existe des vecteurs x_1, …, x_p de E tels que
  E = ⨁_(i = 1)^p E_(x_i).

19. Dans cette question, on suppose que μ_u est sans facteurs carrés, c'est-à-dire que sa décomposition en produit de polynômes irréductibles unitaires est de la forme μ_u = P_1⋯P_q où les P_i sont 2 à 2 distincts.

• (a)Déduire de la question précédente qu'il existe des vecteurs x_1, …, x_p de E tels que
  E = ⨁_(i = 1)^p E_(x_i),
  puis qu'il existe une base B de E telle que la matrice de u dans B est diagonale par blocs de la forme
  Diag(C_(P_1), …, C_(P_1), …, C_(P_q), …, C_(P_q))
  où chaque bloc C_(P_j) est présent un certain nombre de fois, noté ℓ_j.
• (b)Montrer que χ_u = P_1^(ℓ_1)⋯P_q^(ℓ_q).

Quatrième partie : matrices complexes ou réelles d'ordre fini

20. Dans cette question, on prend 𝕂 = ℂ et A ∈ GL_k(ℂ) est une matrice d'ordre fini. Par conséquent, il existe un entier n de ℕ^∗ tel que A^n = I_k.

• (a)Justifier que A est diagonalisable et que ses valeurs propres sont des racines n-ièmes de l'unité.
• (b)On note λ_1, …, λ_k les valeurs propres de A et pour j ∈ [ [1, k] ], on note n_j l'ordre de λ_j dans le groupe 𝕌_n des racines n-ièmes de l'unité. Exprimer l'ordre de A dans le groupe GL_k(𝕂) en fonction des n_j.
• (c)Montrer que pour tout r ∈ ℕ^∗, il existe une matrice A_r ∈ GL_k(ℂ) d'ordre exactement r.

• 21.Dans le cas où θ n'est pas congru à 0 modulo π, déterminer le polynôme minimal de R_θ et en déduire que R_θ est semblable à (0, − 1; 1, 2cosθ).
• 22.Soit A ∈ GL_k(ℝ) une matrice d'ordre fini. Justifier que le polynôme minimal μ_A de A est de la forme
  μ_A = (X − 1)^(ε_1)(X + 1)^(ε_2)P_(θ_1)⋯P_(θ_q)
  où ε_1 et ε_2 sont des éléments de {0, 1}, P_(θ_j) = X^2 − 2cos(θ_j)X + 1 et les θ_j sont des éléments de 2πℚ∖πℤ qui sont deux-à-deux distincts.
• 23.Soit A ∈ GL_k(ℝ). Montrer que A est d'ordre fini si et seulement si A est semblable à une matrice diagonale par blocs de la forme
  Diag(I_(k_1), − I_(k_2), R_(θ_1), …, R_(θ_1), …, R_(θ_q), …, R_(θ_q)),
  où chaque bloc R_(θ_j) apparaît ℓ_j fois, avec k = k_1 + k_2 + 2(ℓ_1 + ⋯ + ℓ_q) et les θ_j sont des éléments de 2πℚ∖πℤ qui sont deux-à-deux distincts. Certains blocs peuvent ne pas apparaître dans cette écriture.
• 24.Soit A ∈ GL_k(ℝ) une matrice d'ordre fini. En gardant les notations de la question précédentes, et en écrivant θ_j = 2π(a_j)/(b_j) où a_j et b_j sont premiers entre eux, exprimer l'ordre de A en fonction des b_j.
  Indication : on pourra distinguer les cas k_2 > 0 et k_2 = 0.
• 25.On considère le cas k = 2. Montrer que A est d'ordre fini si et seulement si A est semblable à (1, 0; 0, − 1) ou à une matrice R_θ avec θ ∈ 2πℚ.
• 26.Montrer que pour tout r ∈ ℕ^∗, il existe une matrice de GL_2(ℝ) d'ordre exactement r.
• 27.Soit G un sous-groupe fini de GL_2(ℝ).
  • (a)Pour u et v des éléments de ℝ^2, on pose
    (u, v)_G = 1/(|G|)∑_(A ∈ G)⟨Au, Av⟩,
    où ⟨ −, − ⟩ désigne le produit scalaire canonique de ℝ^2. Montrer que (−, −)_G est un produit scalaire sur ℝ^2 et que pour tout u et v de ℝ^2 et pour tout A de G, on a (u, v)_G = (Au, Av)_G.
  • (b)On note S l'élément de M_2(ℝ) qui est la matrice du produit scalaire (−, −)_G dans la base canonique de ℝ^2. Justifier qu'il existe P ∈ GL_2(ℝ) telle que S = P^T P, puis montrer que pour tout A ∈ G, on a PAP^(− 1) ∈ O_2(ℝ).

• 28.On note SO_2(ℝ) le sous-groupe de O_2(ℝ) constitué des matrices de déterminant 1 , qui sont les matrices de rotation plane. Montrer que si G est un sous-groupe fini d'ordre n de SO_2(ℝ), alors G est un groupe cyclique, engendré par la matrice R_((2π)/n).
• 29.Soit n un entier naturel non nul. On considère le sous-groupe D_n de O_2(ℝ) engendré par les matrices
  A = R_((2π)/n) = (cos((2π)/n), − sin((2π)/n); sin((2π)/n), cos((2π)/n)), B = (1, 0; 0, − 1).
  Montrer que l'on a
  D_n = {I_2, A, …, A^(n − 1), B, BA, …, BA^(n − 1)}.
  Indication : on pourra d'abord montrer que AB = BA^(− 1).

• (a)Montrer que G ∩ SO_2(ℝ) est un sous-groupe d'indice 2 de G.
• (b)Montrer que G contient une matrice de la forme
  S_θ = (cos(θ), sin(θ); sin(θ), − cos(θ)),
  où θ est un nombre réel.
• (c)Montrer qu'il existe P ∈ SO_2(ℝ) tel que P^(− 1)S_θ P = (1, 0; 0, − 1).
• (d)En déduire qu'il existe un entier n tel que G est conjugué dans SO_2(ℝ) au groupe diédral D_n.

Cinquième partie : matrices rationnelles d'ordre fini

31. Soit A ∈ GL_k(ℚ) une matrice d'ordre fini. Par conséquent, il existe un entier n de ℕ^∗ tel que A^n = I_k. Justifier que le polynôme minimal μ_A de A est de la forme

• (b)En déduire que A ∈ GL_k(ℚ) est d'ordre fini si et seulement si A est semblable à une matrice de la forme
  Diag(C_(Φ_(d_1)), …, C_(Φ_(d_1)), …, C_(Φ_(d_q)), …, C_(Φ_(d_q))),
  où chaque bloc C_(Φ_(d_j)) est présent ℓ_j fois et ℓ_1 φ(d_1) + ⋯ + ℓ_q φ(d_q) = k.
• (c)Lorsque A ∈ GL_k(ℚ) est d'ordre fini, exprimer son ordre en fonction des entiers d_j.
• (d)On prend k = 4. Exhiber une matrice A ∈ GL_4(ℚ) d'ordre 12.
• (e)Montrer que l'ordre maximal d'une matrice A de GL_k(ℚ) est inférieur ou égal à
  ppcm{m, φ(m) ⩽ k}.