Agrégation mathématiques interne 2024, épreuve 1Sujet et rapport du jury

INFORMATION AUX CANDIDATS

AGRÉGATION INTERNE MATHÉMATIQUES

• Concours interne de l'Agrégation de l'enseignement public :

• Concours interne du CAER / Agrégation de l'enseignement privé :

Notations et rappels

Première partie

Exercice 1

• 1.Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Les réponses devront être soigneusement justifiées.
  • (a)Tout endomorphisme de E est diagonalisable.
  • (b)Soient f un endomorphisme de E et F un sous-espace vectoriel de E stable par f. Il existe un sous-espace vectoriel F^′ de E stable par f tel que E = F ⊕ F^′.
  • (c)Soit f un endomorphisme de E diagonalisable. Alors f^2 est diagonalisable.
  • (d)Soit f un endomorphisme de E tel que f^2 est diagonalisable. Alors f est diagonalisable.
  • (e)Soient f et g deux endomorphismes de E. Alors Tr(f ∘ g) = Tr(g ∘ f).

Exercice 2

• 2.(Question de cours). Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
  • (a) f est diagonalisable.
  • (b) f est annulé par un polynôme P dont les racines sont toutes de multiplicité 1.
  • (c)Les racines du polynôme minimal de f sont toutes de multiplicité 1.
• 3.Soit F un sous-espace vectoriel de E stable par f. On considère l'endomorphisme f_(|F) de F, défini par
  f_(|F) : {F, ⟶, F; x, ⟼, f(x).
  Montrer que si f est diagonalisable, alors f_(|F) est diagonalisable.
• 4.Soient E un ℂ-espace vectoriel de dimension finie et f_1, …, f_k des endomorphismes de E, où k est un entier naturel non nul. On suppose que pour tout i ∈ [ [1, k] ], f_i est diagonalisable et que pour tous i, j ∈ [ [1, k] ], f_i ∘ f_j = f_j ∘ f_i.
  • (a)On suppose dans cette question que k ⩾ 2. Soit F un sous-espace propre de f_k. Montrer que F est stable par f_1, …, f_(k − 1).
  • (b)On suppose dans cette question que k ⩾ 2. Montrer que pour tout i ∈ [ [1, k − 1] ], l'endomorphisme de F induit par f_i est diagonalisable.
  • (c)Montrer qu'il existe une base de E formée de vecteurs propres communs à f_1, …, f_k.

Exercice 3

• 5.Soit g un élément de G, dont l'ordre est noté n et soit d ∈ ℕ, divisant n. Déterminer l'ordre de g^d.
• 6.Soit g un élément de G, dont l'ordre est noté n et soit d ∈ ℕ. Déterminer l'ordre de g^d.
• 7.Soient g et h deux éléments de G, d'ordre respectif k et l premiers entre eux.
  • (a)Montrer que ⟨g⟩ ∩ ⟨h⟩ est réduit à l'élément neutre de G.
  • (b)En déduire l'ordre de g ⋅ h.
• 8.Soient g_1, …, g_n des éléments de G, d'ordre respectif k_1, …, k_n deux-à-deux premiers entre eux. Montrer que l'ordre de g_1 ⋅ … ⋅ g_n est k_1…k_n.
• 9.On décompose l'exposant de G en produit de nombres premiers, sous la forme
  exp(G) = p_1^(α_1)…p_n^(α_n)
  avec p_1, …, p_n des nombres premiers deux-à-deux distincts et α_1, …, α_n des entiers supérieurs ou égaux à 1.
  • (a)Soit i ∈ {1, …, n}. Montrer que G possède un élément d'ordre un multiple de p_i^(α_i) puis que G possède un élément d'ordre p_i^(α_i).
  • (b)Montrer que G a un élément d'ordre exp(G).

Deuxième partie : définition et exemples

• (a)Soit θ une représentation d'un groupe (G, ⋅) d'espace E.
  • i.Déterminer θ(e_G), où e_G est l'élément neutre du groupe (G, ⋅).
  • ii.Pour g ∈ G, déterminer θ(g^(− 1)) en fonction de θ(g).
• (b)Soient E un ℂ-espace vectoriel et f un automorphisme de E. Montrer que l'application suivante est une représentation du groupe (ℤ, +) d'espace E :
  θ_1 : {ℤ, ⟶ GL(E); k, ⟼ f^k.
• (c)Soient E un ℂ-espace vectoriel, n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et f un endomorphisme de E tel que f^n = Id_E. Montrer que l'application suivante est une représentation du groupe ( ℤ/nℤ, +) d'espace E :
  θ_2 : {ℤ/nℤ, ⟶ GL(E); k¯, ⟼ f^k.
• (d)Pour λ ∈ ℂ, soit f_λ l'endomorphisme de ℂ^2 défini par
  ∀(x/y) ∈ ℂ^2, f_λ(x/y) = ((x + λy)/y).
  Montrer que l'application suivante est une représentation du groupe (ℂ, +) d'espace ℂ^2 :
  θ_3 : {ℂ, ⟶ GL(ℂ^2); λ, ⟼ f_λ.

• (e)Soit σ ∈ 𝔖_3. On considère l'endomorphisme de ℂ^3 défini par
  ∀(x_1; x_2; x_3) ∈ ℂ^3, g_σ(x_1; x_2; x_3) = (x_(σ^(− 1)(1)); x_(σ^(− 1)(2)); x_(σ^(− 1)(3))).
  Montrer que l'application suivante est une représentation du groupe 𝔖_3 d'espace ℂ^3 :
  θ_4 : {𝔖_3, ⟶ GL(ℂ^3); σ, ⟼ g_σ.

• 11.(a) Montrer que si F est un sous-espace invariant de θ, alors pour tout g ∈ G, θ(g) induit une bijection de F dans F. Par abus de notation, cette bijection sera notée θ(g)_(|F).
• (b)Montrer que si F est un sous-espace invariant de θ, alors l'application suivante est une représentation de G :
  θ_(|F) : {G, ⟶ GL(F); g, ⟼ θ(g)_(|F).
• (c)Déterminer les sous-espaces invariants de la représentation θ_3 du groupe ℂ. Indication : on pourra considérer les espaces propres de l'endomorphisme θ_3(1).
• (d)On considère la représentation θ_4 de 𝔖_3.
  • i.Soit F = {(x, y, z) ∈ ℂ^3|x + y + z = 0}. Montrer que F est sous-espace invariant de θ.
  • ii.Déterminer une base de F et déterminer les matrices de θ_(4|F)(σ) dans cette base pour tout σ ∈ 𝔖_3.
  • iii.Déterminer un sous-espace F^′ invariant de θ, supplémentaire de F dans E.

• 12.Soient θ : G ⟶ GL(E) et θ^′ : G ⟶ GL(E^′) deux représentations d'un même groupe G et f un homomorphisme de représentations de θ vers θ^′.
  • (a)Montrer que Ker(f) est un sous-espace invariant de θ.
  • (b)Montrer que Im(f) est un sous-espace invariant de θ^′.
  • (c)On suppose que E = E^′ et que θ = θ^′. Montrer que les espaces propres de f sont des sous-espaces invariants de θ.

• 13.Soient θ : G ⟶ GL(E) et θ^′ : G ⟶ GL(E^′) deux représentations irréductibles d'un même groupe fini G et f un homomorphisme de représentations de θ vers θ^′.
  • (a)(Lemme de Schur).
    • i.Montrer que f est soit nul, soit un isomorphisme.
    • ii.Dans le cas particulier où θ = θ^′, montrer qu'il existe un nombre complexe λ tel que f = λId_E.
  • (b)Soit h : E ⟶ E^′ une application linéaire quelconque.
    • i.Montrer que l'application suivante est un homomorphisme de représentations de θ vers θ^′ :
      f = 1/(|G|)∑_(g ∈ G)θ^′(g) ∘ h ∘ θ(g^(− 1)).
    • ii.Montrer que si θ et θ^′ ne sont pas isomorphes, alors f = 0.
    • iii.Dans le cas particulier où θ = θ^′, montrer que
      f = (Tr(h))/(dim(E))Id_E.
      Indication : on pourra d'abord montrer que f est un multiple de Id_E puis considérer sa trace.

Troisième partie : théorème de Maschke

• − E = F_1 ⊕ … ⊕ F_k.
• -Pour tout i ∈ [ [1, k] ], la représentation θ_(|F_i) est irréductible.
• 14.Soient θ : G ⟶ GL(E) une représentation d'un groupe fini G et F un sous-espace invariant de θ.
  • (a)Justifier l'existence d'un supplémentaire F^′ de F dans E.
  • (b)Soit p la projection sur F parallèlement à F^′. On considère l'endomorphisme de E défini par
    q = 1/(|G|)∑_(g ∈ G)θ(g) ∘ p ∘ θ(g^(− 1)).
  • (c)Montrer que pour tout x ∈ F, q(x) = x.
  • (d)Montrer que Im(q) = F puis que q est une projection sur F.
  • (e)Montrer que q est un homomorphisme de représentations de θ vers elle-même.
  • (f)Montrer que Ker(q) est un sous-espace invariant de θ et que E = F ⊕ Ker(q).
• 15.Soit θ : G ⟶ GL(E) une représentation de G dont l'espace E est de dimension 1. Montrer que θ est irréductible.
• 16.Démontrer le théorème de Maschke. Indication : on pourra procéder par récurrence sur la dimension de E.

Quatrième partie : le cas des groupes abéliens finis

• (a)Montrer que pour tout g ∈ G, θ(g)^N = Id_E. En déduire que pour tout g ∈ G, θ(g) est diagonalisable.
• (b)Montrer que les endomorphismes θ(g) de E, où g parcourt G, ont un vecteur propre commun.
• (c)En déduire que E est de dimension 1 .

18. Justifier que lorsque E est de dimension 1 , alors GL(E) est isomorphe au groupe ℂ^∗.

• (a)Montrer que l'application suivante est un élément de Gˆ :
  α_1 : {G, ⟶, ℂ^∗; k¯, ⟼, e^((2iπk)/n).
• (b)Montrer que Gˆ est un groupe cyclique d'ordre n, engendré par α_1. Indication : si α ∈ Gˆ, on pourra considérer α(1^–).

21. Déterminer Gˆ lorsque G est le groupe ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ.

Cinquième partie : prolongement des caractères et théorème de Kronecker

• (a)On supppose H est différent de G. Soit alors x un élement de G n'appartenant pas à H. On considère le sous-groupe K de G engendré par les éléments de H et par x. Montrer que
  K = {hx^p|h ∈ H, p ∈ ℤ}
  et en déduire que K/H est un groupe cyclique non nul.
  L'ordre de K/H sera noté r.
• (b)Montrer que tout élément g de K s'écrit de façon unique g = hx^p, avec h ∈ H et p ∈ [ [0, r − 1] ].

• (c)Justifier que x^r ∈ H.
  On pose alors z = α(x^r).
• (d)Soit ω ∈ ℂ^∗ tel que ω^r = z. Pour h ∈ H et p ∈ [ [0, r − 1] ], on pose α~(hx^p) = α(h)ω^p. Montrer que cela définit un caractère α~ ∈ Kˆ prolongeant α de H à K.
• (e)Conclure. Indication : on pourra raisonner par récurrence sur [G : H] = (|G|)/(|H|).

23. Le but de cette question est de démontrer que |G| = |Gˆ|.

• (a)Conclure lorsque G est cyclique.
• (b)On suppose G non cyclique. Soit x un élément de G différent de l'élément neutre et soit H = ⟨x⟩. Montrer que l'application suivante est un homomorphisme surjectif de groupes :
  θ : {Gˆ, ⟶, H^; α, ⟼, α_(|H).
• (c)Soit α ∈ Ker(θ). On pose
  α¯ : {G/H, ⟶ ℂ^∗; g¯, ⟼ α(g).
  Montrer que α¯ est une application bien définie et qu'il s'agit d'un élément de G/Hˆ.
• (d)Montrer que Ker(θ) est isomorphe à G/Hˆ.
• (e)Conclure.

• (a)Justifier que H possède un caractère α ∈ Hˆ injectif.
• (b)Justifier qu'il existe β ∈ Gˆ tel que β_(|H) = α.
• (c)Monter que β(G) = α(H) = {z ∈ ℂ|z^N = 1}.
• (d)Justifier que l'exposant de Ker(β) divise N.
• (e)Montrer G est isomorphe à H × Ker(β).
• (f)Conclure.

25. Donner une décomposition de Kronecker du groupe abélien ℤ/6ℤ × ℤ/15ℤ.

Sixième partie : applications centrales

• 26.(a) Montrer que C(G) est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des applications de G dans ℂ.
  • (b)Soit λ : G ⟶ ℂ une application. Montrer que λ est centrale si, et seulement si, elle est constante sur chaque classe de conjugaison de G.
  • (c)Soit C une classe de conjugaison de G. On considère l'application
    ι_C : {G, ⟶, ℂ; g, ⟼, {1 si g ∈ C; 0 sinon
    Montrer que ces applications forment une base de C(G). En déduire la dimension de C(G).
• 27.Soit θ : G ⟶ GL(E) une représentation de G.
  • (a)Montrer que l'application suivante est centrale :
    χ_θ : {G, ⟶ ℂ; g, ⟼ Tr(θ(g)).
  • (b)Montrer que pour tout g ∈ G, θ(g) est diagonalisable et que ses valeurs propres sont des racines de l'unité.
  • (c)En déduire que pour tout g ∈ G, χ_θ(g^(− 1)) = χ_θ(g)^–.
• 28.Pour tous λ, μ ∈ C(G), on pose
  ⟨λ, μ⟩ = 1/(|G|)∑_(g ∈ G)λ(g)^–μ(g).
  Montrer que cela définit une forme hermitienne définie positive sur C(G).
• 29.Soient θ : G ⟶ GL(E) et θ^′ : G ⟶ GL(E^′) deux représentations irréductibles d'un même groupe G. La dimension de E est notée n et la dimension de E^′ est notée n^′. On fixe des bases B et B^′ de E et E^′. Pour tout g ∈ G, la matrice de θ(g) dans la base B est notée M_B(θ(g)), la matrice de θ^′(g) dans la base B^′ est notée M_(B^′)(θ^′(g)) et on pose
  M_B(θ(g)) = (a_(i, j)(g))_(1 ⩽ i, j ⩽ n), M_(B^′)(θ^′(g)) = (a_(k, l)^′(g))_(1 ⩽ k, l ⩽ n^′).
  • (a)Exprimer ⟨χ_(θ^′), χ_θ⟩ en fonction des coefficients a_(i, j)(g) et a_(k, l)^′(g) des matrices M_B(θ(g)) et M_(B^′)(θ^′(g)).
  • (b)Soit X = (x_(i, j))_(1 ⩽ i ⩽ n^′, 1 ⩽ j ⩽ n) ∈ M_(n^′, n)(ℂ) une matrice et h : E ⟶ E^′ l'application linéaire dont la matrice dans les bases B et B^′ est X. On pose
    f = 1/(|G|)∑_(g ∈ G)θ^′(g) ∘ h ∘ θ(g^(− 1)).
    Exprimer les coefficients de la matrice Y = (y_(i, l))_(1 ⩽ i ⩽ n^′, 1 ⩽ l ⩽ n) de la matrice de f dans les bases B et B^′.
  • (c)On suppose que θ et θ^′ ne sont pas isomorphes. Montrer que pour tous i, j ∈ [ [1, n^′] ], pour tous k, l ∈ [ [1, n] ],
    1/(|G|)∑_(g ∈ G)a_(i, j)^′(g)a_(k, l)(g^(− 1)) = 0.
    En déduire que ⟨χ_θ, χ_(θ^′)⟩ = 0. Indication : on pourra utiliser le lemme de Schur.