Agrégation mathématiques interne 2021, épreuve 1Sujet et rapport du jury

AGRÉGATION
CONCOURS INTERNE
ET CAER

INFORMATION AUX CANDIDATS

• -Concours interne de l'Agrégation de l'enseignement public :
  

  

• -Concours interne du CAER / Agrégation de l'enseignement privé :
  

  

NOTATIONS, RAPPELS ET DEFINITIONS

• Dans le sujet, n désigne toujours un entier naturel non nul et 𝕂 un sous-corps de ℂ.
• On note M_n(𝕂) la 𝕂-algèbre des matrices carrées de taille n à coefficients dans 𝕂. L'élément neutre pour la multiplication dans cette algèbre est noté I_n. On note GL_n(𝕂) le groupe des matrices inversibles de M_n(𝕂).
• Une matrice A de M_n(𝕂) est dite scalaire si elle s'écrit A = λI_n avec λ un élément de 𝕂.
• La transposée d'une matrice A est notée de manière usuelle A^T. Si A est un élément de M_n(ℂ), on note A^∗ la matrice adjointe de A définie par A^∗ = A¯^T.
• On rappelle que le groupe unitaire noté 𝕌_n(ℂ) est formé des matrices A de M_n(ℂ) telles que A^∗ = A^(− 1).
• Si E est un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie, L(E) désigne la 𝕂-algèbre des endomorphismes de E.
• Une partie non vide de M_n(𝕂) ou de L(E) est dite commutative si deux quelconques de ses éléments commutent.
• Les éléments d'une partie non vide 𝒜 de M_n(𝕂) sont dits co-trigonalisables s'il existe une matrice inversible P telle que pour toute matrice A de 𝒜, P^(− 1)AP soit triangulaire supérieure.
• Les éléments d'une partie non vide 𝒜 de L(E) sont dits co-trigonalisables s'il existe une base de E dans laquelle tous les éléments de 𝒜 ont une matrice triangulaire supérieure. Cela revient à dire que l'ensemble formé des matrices des éléments de 𝒜 dans une base donnée est formé d'éléments co-trigonalisables.
• Une partie de L(E) est dite irréductible si les seuls sous-espaces de E stables par tous ses éléments sont {0} et E. Elle est dite réductible sinon.
• Une partie de M_n(𝕂) est dite irréductible si la partie formée des endomorphismes de 𝕂^n canoniquement associés est irréductible. Elle est dite réductible sinon.
• Une sous-algèbre de l'algèbre L(E) est un sous-espace vectoriel de L(E) stable par composition et contenant l'application identité. La sous-algèbre engendrée par une partie de L(E) est la plus petite (au sens de l'inclusion) sous-algèbre de L(E) contenant cette partie.
• Une sous-algèbre de l'algèbre M_n(𝕂) est un sous-espace vectoriel de M_n(𝕂) stable par produit et contenant la matrice I_n. La sous-algèbre engendrée par une partie de M_n(𝕂) est la plus petite (au sens de l'inclusion) sous-algèbre de M_n(𝕂) contenant cette partie.
• On appelle polynôme complexe en deux variables non commutatives X, Y toute combinaison linéaire à coefficients complexes de mots formés à partir des deux lettres X et Y. Par exemple,

STRUCTURE DU SUJET

• -La partie 1 (préliminaires) est composée de 5 questions indépendantes qui pourront être utiles par la suite.
• -La partie 2 propose une démonstration du théorème de Burnside, énoncé avant la question 8 et utilisé dans

• -La partie 3 illustre par deux exemples l'importance des hypothèses dans le théorème de Burnside.
• -La partie 4 donne trois applications à des sous-groupes de GL_n(ℂ).
• -La partie 5 étudie les matrices magiques et leur lien avec les matrices de permutation.
• -La partie 6 établit un résultat de co-trigonalisation par passage au quotient et propose quelques applications.

1 Quelques préliminaires

• 1.Soit A un élément nilpotent de M_n(𝕂), c'est à dire pour lequel il existe un entier naturel p non nul tel que A^p = 0. Quelle est sa trace?
• 2.Soient A, B, C trois éléments de M_n(𝕂).
  • (a)Démontrer que tr(AB) = tr(BA) et tr(ABC) = tr(CAB).
  • (b)Soient i, j, k, l quatre entiers tels que 1 ⩽ i ⩽ n, 1 ⩽ j ⩽ n, 1 ⩽ k ⩽ n et 1 ⩽ l ⩽ n. Donner sans démonstration ce que vaut le produit E_(i, j)E_(k, l). On utilisera le symbole de Kronecker.
  • (c)Démontrer que pour n ⩾ 2, il peut arriver que tr(ABC) ≠ tr(CBA).
• 3.Les formes linéaires sur M_n(𝕂).
  • (a)Démontrer que si f est une forme linéaire sur M_n(𝕂), il existe une unique matrice A de M_n(𝕂) telle que pour toute matrice M de M_n(𝕂), on ait f(M) = tr(AM).
  • (b)Démontrer que si les matrices M_1, M_2, …, M_(n^2) forment une base de M_n(𝕂), alors les formes linéaires définies pour tout entier i tel que 1 ⩽ i ⩽ n^2 par f_i(M) = tr(M_i M), forment une base de l'espace vectoriel des formes linéaires sur M_n(𝕂). En déduire qu'il existe une base (F_1, …, F_(n^2)) de M_n(𝕂) telles que pour toute matrice M de M_n(𝕂), on ait
    M = ∑_(i = 1)^(n^2)tr(M_i M)F_i.

• (c)Démontrer que si f est une forme linéaire sur M_n(𝕂) telle que f(MN) = f(NM) pour toutes matrices M et N de M_n(𝕂), alors f est proportionnelle à la trace. On pourra utiliser les matrices E_(i, j) et le symbole de Kronecker, définis au début de cette partie.

4. Soit G un sous-groupe de GL_n(𝕂). On note 𝒢 la sous-algèbre de M_n(𝕂) engendrée par G.

• (a)Démontrer que 𝒢 = Vect(G), où Vect(G) désigne le sous-espace vectoriel de M_n(𝕂) engendré par G.
• (b)Démontrer qu'il existe une base de 𝒢 formée d'éléments de G.

5. Soit E un 𝕂-espace vectoriel de dimension finie et f et g deux endomorphismes de E. On suppose qu'ils commutent.

• (a)Démontrer que tout sous-espace vectoriel propre de f est stable par g.
• (b)Démontrer que si g est diagonalisable, alors sa restriction à tout sous-espace stable (par g ) est diagonalisable.
• (c)Démontrer que si f et g sont diagonalisables, alors ils sont co-diagonalisables, c'est à dire qu'ils possèdent une base commune de diagonalisation.

2 Un théorème de Burnside

• -On considère l'espace vectoriel E^n et ρ le morphisme de L(E) vers L(E^n) qui à f ∈ L(E) associe l'endomorphisme ρ(f) de E^n donné par ρ(f) : (v_1, …, v_n) ↦ (f(v_1), …, f(v_n)).
• -On désigne par E_i le sous-espace vectoriel de E^n défini par E_i = {0} × … × {0} × E × {0} × … × {0} où tous les termes sont tous {0} sauf le terme numéro i qui est E. Ainsi, E^n = E_1 ⊕ … ⊕ E_n.
• -On fixe une base (e_1, …, e_n) de E. Cela détermine une base de chaque E_i, et une base de E^n = E_1 ⊕ … ⊕ E_n. Dans cette base, un élément de L(E^n) est donc représenté par une matrice de taille n^2 par blocs, tous de taille n.

• 8.(a) Décrire dans la base ci-dessus la matrice par blocs d'un élément de L(E^n) qui commute avec tous les éléments ρ(a) pour a ∈ 𝒜. On désigne par 𝒞 l'ensemble des endomorphismes de E^n qui commutent avec tous les éléments ρ(a) pour a ∈ 𝒜.
  • (b)Démontrer que si f ∈ L(E), alors ρ(f) commute avec tous les éléments de 𝒞. On pourra considérer la matrice par blocs de ρ(f).
• 9.Soit W ⊂ E^n un sous-espace vectoriel stable par tous les ρ(a) pour a ∈ 𝒜. On se propose de démontrer que W admet un supplémentaire dans E^n également stable par tous les ρ(a) pour a ∈ 𝒜.
  • (a)Démontrer que si i ∈ {1, …, n}, alors W ∩ E_i = {0} ou W ∩ E_i = E_i.
  • (b)Si W ∩ E_1 = {0}, on pose W_2 = W ⊕ E_1 et si W ∩ E_1 = E_1, on pose W_2 = W. Que vaut W_2 ∩ E_2 ?
  • (c)En poursuivant comme ci-dessus, construire une suite croissante W_1 = W, W_2, …, W_n de n sous-espaces de E^n stables par tous les ρ(a) pour a ∈ 𝒜, avec W_n = E^n et en déduire l'existence d'un supplémentaire de W dans E^n également stable par tous les ρ(a) pour a ∈ 𝒜.
• 10.Soit W ⊂ E^n un sous-espace vectoriel stable par tous les ρ(a) pour a ∈ 𝒜. Soit W^′ un supplémentaire de W dans E^n également stable par tous les ρ(a) pour a ∈ 𝒜. Notons p : E^n → E^n la projection sur W parallèlement à W^′. Démontrer que p commute avec tous les ρ(a) pour a ∈ 𝒜.
• 11.Soit W ⊂ E^n l'ensemble formé des éléments (a(e_1), …, a(e_n)) quand a décrit 𝒜. Vérifier que W est un sousespace vectoriel de E^n et qu'il est stable par tous les ρ(b) pour b ∈ 𝒜. En utilisant la question précédente, démontrer que si f ∈ L(E), il existe a ∈ 𝒜 tel que (f(e_1), …, f(e_n)) = (a(e_1), …, a(e_n)). Conclure que 𝒜 = L(E) et énoncer finalement le résultat obtenu.

3 Sur les hypothèses dans le théorème de Burnside

• 12.Dans cette question, on confond matrice de M_3(ℂ) et endomorphisme de ℂ^3 canoniquement associé. On définit
  𝒜 = {(0, a, 0; b, 0, − a; 0, b, 0), (a, b) ∈ ℂ^2}}}{{.
  • (a)Démontrer que tous les éléments de 𝒜 sont nilpotents.
  • (b)Démontrer que la sous-algèbre de M_3(ℂ) engendrée par 𝒜 contient toutes les matrices diagonales. On pourra considérer A dans 𝒜 formée avec a = 0 et b = 1 et B formée avec a = 1 et b = 0.
  • (c)Déterminer les sous-espaces vectoriels de ℂ^3 stables par tous les éléments de 𝒜. Que peut-on en déduire quant aux hypothèses du théorème de Burnside ?
• 13.Dans cette question, on note u l'endomorphisme de ℚ^3 canoniquement associé à la matrice
  (0, 0, − 1; 1, 0, − 1; 0, 1, 0)

• (a)Démontrer que le polynôme X^3 + X + 1 est irréductible dans ℚ[X].
• (b)Expliciter une base de 𝒜 en fonction de u.
• (c)Démontrer que 𝒜 est un corps.
• (d)Déterminer les sous-espaces de ℚ^3 stables par u. Que peut-on en déduire quant aux hypothèses du théorème de Burnside?

4 Trois applications du théorème de Burnside à des sous-groupes de GL_n(ℂ)

• (a)Démontrer que si X et Y sont deux vecteurs de ℂ^n de norme (associée au produit scalaire canonique) valant 1, il existe U ∈ 𝕌_n(ℂ) telle que UX = Y.
• (b)Démontrer que le sous-espace vectoriel de M_n(ℂ) engendré par 𝕌_n(ℂ) est M_n(ℂ) tout entier. On pourra utiliser la question 4(a) du préliminaire.

15. Un sous-groupe nécessairement borné.

• (a)Démontrer qu'il existe une base ( M_1, …, M_(n^2) ) de M_n(ℂ) formée d'éléments de G. On pourra utiliser la question 4(a) du préliminaire.
• (b)Démontrer que pour tout entier i tel que 1 ⩽ i ⩽ n^2 et tout élément M de G, on a |tr(M_i M)| ⩽ n. En déduire que le groupe G est borné pour toute norme sur M_n(ℂ). On pourra utiliser la question 3(b) du préliminaire.

16. Un résultat de co-trigonalisation.

• (a)Démontrer qu'un endomorphisme g de ℂ^n admet 1 comme seule valeur propre si et seulement si g − Id_(ℂ^n) est nilpotent.
  On suppose que 𝒢 est irréductible.
  Soit a un élément de G. On écrit a = Id_(ℂ^n) + b avec b nilpotent.
• (b)Démontrer que pour tout élément f de G, tr(b ∘ f) = 0.

• (c)En déduire que b = 0 puis que l'hypothèse faite sur l'irréductibilité de 𝒢 est absurde.
  D'après la question précédente, 𝒢 n'est pas irréductible.
• (d)Démontrer le théorème de Kolchin énoncé ci-dessus en procédant par récurrence.

5 Autour des matrices magiques et des matrices de permutation

• -Si M = (m_(i, j)) est une matrice de M_n(ℂ), on dit que M est magique si la somme de ses coefficients par ligne et par colonne est constante. On note ℳ l'ensemble des matrices magiques de M_n(ℂ). C'est clairement un sous-espace vectoriel de M_n(ℂ).
• -Si σ est une permutation de {1, …, n}, on note p_σ l'endomorphisme de ℂ^n défini sur la base canonique 𝒞 = (e_1, …, e_n) de ℂ^n par p_σ(e_i) = e_(σ(i)) pour tout i et P_σ la matrice de p_σ dans cette même base.
• -On note D la droite dirigée par le vecteur e_1 + … + e_n et H l'hyperplan d'équation x_1 + … + x_n = 0 dans la base 𝒞.
• 17.Pour i ∈ {1, …, n}, on note f_i (resp g_i ) la forme linéaire qui à une matrice de M_n(ℂ) associe la somme des coefficients de la ligne i (resp la colonne i ).
  Démontrer que la famille (f_1, …, f_n, g_1, …, g_n) est liée mais que (f_1, …, f_n, g_1, …, g_(n − 1)) est libre.
• 18.Déterminer la dimension du sous-espace ℳ_0 de ℳ formé des matrices dont la somme des éléments de chaque ligne et de chaque colonne vaut 0.
• 19.En déduire la dimension de ℳ.
• 20.Justifier que l'espace vectoriel engendré par les matrices de permutation P_σ est inclus dans ℳ.
• 21.Démontrer que si m est un endomorphisme de ℂ^n de matrice M dans la base 𝒞, alors M ∈ ℳ si et seulement si H et D sont stables par m.
• 22.Démontrer que les seuls sous-espaces de ℂ^n stables par tous les endomorphismes p_σ quand σ parcourt toutes les permutations de {1, …, n} sont {0}, la droite D, l'hyperplan H et ℂ^n. On pourra traiter le cas d'une droite puis celui d'un sous-espace non inclus dans D.
• 23.Pour toute permutation σ de {1, …, n}, on note p_(σ|H) la restriction de p_σ à H. Démontrer que tout endomorphisme f de H peut s'écrire sous la forme
  f = ∑_(i = 1)^N λ_i p_(σ_i|_H)
  avec N ∈ ℕ^∗, λ_1, …, λ_N des éléments de ℂ et σ_1, …, σ_N des permutation de {1, …, n}. On utilisera le théorème de Burnside démontré à la partie 2 .
• 24.Soit M ∈ ℳ et m l'endomorphisme de ℂ^n canoniquement associé. Soit u l'endomorphisme de ℂ^n canoniquement associé à la matrice dont tous les coefficients valent 1.

25. Etablir un lien entre l'endomorphisme u et la somme des endomorphismes p_σ quand σ parcourt l'ensemble des permutations de {1, …, n} et en déduire que l'espace vectoriel ℳ formé des matrices magiques est exactement l'espace vectoriel engendré par les matrices de permutation P_σ.

6 Passage au quotient et co-trigonalisation

• Si E est un espace vectoriel et F est un sous-espace vectoriel de E, on note E/F l'ensemble des classes d'équivalence sur E pour la relation ℛ définie sur E par xℛy ⟺ x − y ∈ F.
• Pour (x, y) ∈ E^2 et λ ∈ ℂ, en notant x¯ la classe de x pour la relation d'équivalence précédente, x¯ + y¯ et λx¯ sont alors définis par x¯ + y¯ = x + y^– et λx¯ = λx^–. Ainsi, E/F est muni d'une structure d'espace vectoriel appelé espace vectoriel quotient de E par F. Dans ce contexte, dimE/F = dimE − dimF.
• Si E est un espace vectoriel et f un endomorphisme de E, si F et G sont des sous-espaces vectoriels de E tous deux stables par f avec G ⊂ F, on dispose de l'endomorphisme de l'espace vectoriel quotient F/G, noté f¯ et défini par ∀x ∈ F, f¯(x¯) = f(x)^–. On dit que f¯ est obtenu à partir de f par passage au quotient.
• Une propriété 𝒫 est dite transmise par passage au quotient si, quand une famille ℱ d'endomorphismes vérifie la propriété 𝒫, alors toute famille d'endomorphismes obtenus par passage au quotient (comme cidessus) à partir de ℱ, hérite de la propriété 𝒫.
• Ainsi par exemple, pour une famille ℱ d'endomorphismes, le fait de commuter, d'être nilpotent ou d'avoir une structure d'algèbre est clairement une propriété transmise par passage au quotient.

26. Soit ℱ une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel E, vérifiant une propriété 𝒫 transmise par passage au quotient. Soit F un sous-espace de E stable par tous les éléments de ℱ. Démontrer que la famille formée des restrictions des éléments de ℱ à F vérifie encore la propriété 𝒫.
27. Démontrer que si f, endomorphisme d'un espace vectoriel E, laisse stable un sous-espace vectoriel F de E, alors l'endomorphisme f¯ de E/F défini parf¯(x¯) = f(x)^– vérifie rgf¯ ⩽ rgf.
28. Démontrer que si F est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel E et L^′ est un sous-espace vectoriel de E/F non nul et distinct de E/F, alors L = {x ∈ E, x¯ ∈ L^′} est un sous-espace vectoriel de E distinct de F et de E.
29. Le lemme fondamental de co-trigonalisation.

• (a)Démontrer que toute famille d'endomorphismes d'un espace de dimension au moins 2 et qui commutent 2 à 2 est réductible. On pourra considérer un sous-espace propre d'un de ces endomorphismes.
• (b)En déduire que les éléments de 𝒞 sont co-trigonalisables.

31. Le cas nilpotent.