CAPES mathématiques interne Mayotte 2021, épreuve écriteSujet et rapport du jury

CAPES A AFFECTATION LOCALE A MAYOTTE CONCOURS EXTERNE CONCOURS INTERNE

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

INFORMATION AUX CANDIDATS

• Concours externe du CAPES à affectation locale à Mayotte de l'enseignement public :
  

  

• Concours interne du CAPES à affectation locale à Mayotte de l'enseignement public :
  

  

Problème 1 : Vrai-Faux

• 1- On considère un entier naturel n.
  Proposition : si n^2 est pair, alors n est pair.
• 2- Proposition : toute suite strictement croissante tend vers + ∞.
• 3- Soit la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) définie par : {u_0 = − 1; u_1 = 1; u_(n + 2) = 4u_(n + 1) − 3u_n, pour tout entier naturel n ⩾ 0

• 4- Proposition : pour tout entier naturel n, ∑_(k = 0)^n k^3 = (∑_(k = 0)^n k)^2.
• 5- Soient a et b deux réels et f une fonction dérivable de ℝ dans ℝ.
  Proposition : si a ⩽ b et si f(a) ⩽ f(b), alors f est croissante sur l'intervalle [a, b].
• 6- Proposition : toute fonction définie et continue sur un intervalle I ⊂ ℝ est dérivable sur l'intervalle I.
• 7- Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ]a, b[ et soit x_0 ∈ ]a, b[ tel que f^′(x_0) = 0.
  Proposition : la fonction f admet un extremum en x_0.
• 8- Soit f une fonction dérivable de ℝ dans ℝ.
  Proposition : si f est impaire, alors f^′ est paire.
• 9- Soit la fonction f définie sur ℝ∖{2} par f(x) = (x + 2)/(x − 2) et C_f sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.
  Proposition : C_f est symétrique par rapport au point A(2; 1).
• 10- Soit la fonction f définie sur [0, + ∞[ par f(x) = xln((x + 5)/x) pour x > 0 et f(0) = 0.
  Proposition : la fonction f est dérivable en 0.
• 11- Soit une fonction f définie et continue sur l'intervalle [-2,5] telle que f(− 2) = − 2 et f(5) = 3.
  Proposition : l'équation f(x) = 0 admet exactement une solution dans l'intervalle [-2,5].
• 12- Soit f une fonction continue sur l'intervalle [1,2].
  Proposition : si ∫_1^2 f(t)dt ⩾ 1, alors f(x) ⩾ 1 pour tout nombre réel x ∈ [1, 2].
• 13- Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé (O; i⃗, j⃗, k⃗), on note (P) le plan d'équation 3x + 2y − z − 1 = 0 et (D) la droite de vecteur directeur u⃗ = i⃗ + j⃗ − k⃗ passant par le point A(2, 1, 7).
  Proposition : le plan (P) et la droite (D) ont un unique point commun.

• 14- Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O; i⃗, j⃗), on considère la droite ( D ) d'équation x + y + 3 = 0 et le cercle (C) d'équation x^2 + y^2 − 2y − 7 = 0.
  Proposition : la droite (D) est tangente au cercle (C).
• 15- Dans le plan complexe, on considère les points M, N, P d'affixes respectives 1 + 3i, 5 + 4i, 2 − i. Proposition : le triangle MNP est isocèle rectangle en M.
• 16- Une entreprise fabrique des boîtes en bois qui ne peuvent présenter que deux défauts : un défaut d'aspect et un défaut de dimensions.
  À la suite d'un contrôle qualité de la fabrication, on constate que :
  • — 91% des boîtes fabriquées n'ont pas de défaut d'aspect;
  • -parmi les boîtes n'ayant pas de défaut d'aspect, 96 % n'ont pas de défaut de dimensions;
  • -3% des boîtes fabriquées présentent les deux défauts.
  On prélève au hasard une boîte dans la production. On définit l'événement A : «la boîte ne présente pas de défaut de dimensions ».
  Proposition : la probabilité de l'événement A est égale à 0,97.
• 17- On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6 . On note X la variable aléatoire donnant le numéro inscrit sur la face supérieure du dé.
  On suppose que le dé est truqué de telle sorte que la probabilité d'obtenir une face est proportionnelle au carré du numéro inscrit sur cette face.
  Proposition : l'espérance de la variable aléatoire X est égale à (63)/(13).

k ← 0
u←100
S ← 100
Tant que S < 2000
    k ← k + 1
    u←u+5
    S←S+u
Fin Tant que
Afficher k

Problème 2 : nombres entiers, décimaux, rationnels, irrationnels

I - Nombres décimaux

• (...)

• (...)

• 1- Les nombres entiers sont des nombres décimaux.
• 2 − 1/(65536) est un nombre décimal.
• 3 − 1/3 n'est pas un nombre décimal.

II - Division euclidienne

• 1- Démontrer qu'il existe un entier naturel n tel que nb > a.
• 2- Soit S = {s ∈ ℕ, bs > a}. Comme S est non vide, on admet qu'il possède un plus petit élément t. En déduire l'existence d'un couple d'entiers naturels (q, r) vérifiant bq ≤ a < b(q + 1).
• 3- Démontrer l'unicité du couple d'entiers naturels (q, r) vérifiant a = bq + r et 0 ≤ r < b.

• 4- On effectue une division euclidienne où le dividende est égal à 53 et le reste à 5. Quels peuvent être le diviseur et le quotient?
• 5- On suppose a > b et on divise a et b par leur différence a − b. Comparer les quotients et les restes obtenus.

III - Division euclidienne et nombres décimaux

• 1- (a) Déterminer (q_0, r_0), (q_1, r_1), (q_2, r_2) et (q_3, r_3) pour a = 22, b = 7.
  • (b)Repérer les restes r_1 et r_2 dans la division posée "en potence" de 22 par 7 pour établir une relation entre r_1, r_2, q_1, q_2 et b.
    − 2/2, 2, 7; 2, 1, 3, 142; 1, 0; −, 7; 3, 0; −; 2; 8; −, 2, 0; 1, 4
• 2- Démontrer que, pour tout n ∈ ℕ,
  (q_n)/(10^n) ⩽ a/b < (q_n + 1)/(10^n)
• 3- Démontrer que, pour tout n ∈ ℕ^∗ r_n − 10 × r_(n − 1) = (10 × q_(n − 1) − q_n) × b
• 4- Démontrer qu'il existe un entier k tel que r_k = 0 si et seulement si a/b est un nombre décimal.
• 5- Pour n ∈ ℕ^∗, Q(n) est le quotient et R(n) le reste de la division euclidienne de 10r_(n − 1) par b.
  • (a)Montrer que 0 ⩽ Q(n) ⩽ 9.
  • (b)Exprimer q_n et r_n en fonction de q_(n − 1), Q(n) et R(n).
  • (c)Démontrer que, pour tout n ∈ ℕ^∗,
    (q_(n − 1))/(10^(n − 1)) ⩽ (q_n)/(10^n) et (q_n + 1)/(10^n) ⩽ (q_(n − 1) + 1)/(10^(n − 1))

• 7- Lorsque l'on poursuit la division "en potence" de 22 par 7, on obtient r_6 = 1. On a alors r_6 = r_0. Est-ce que l'existence d'un reste partiel non nul répété permet de conclure à la périodicité des décimales?

• 1- Étudier les variations de la fonction f définie sur l'intervalle [1,2] par f(x) = 1/2(x + 2/x).
• 2- Démontrer, par récurrence, que pour tout entier n ∈ ℕ, √2 ⩽ a_(n + 1) < a_n ⩽ 3/2.
• 3- Démontrer que, pour tout entier n ∈ ℕ, a_(n + 1) − √2 ⩽ 1/2(a_n − √2).
• 4- En déduire que, pour tout entier n ∈ ℕ, 0 < a_n − √2 ⩽ (1/2)^(n + 1).
• 5- En déduire la limite de la suite (a_n)_(n ∈ ℕ).
• 6- Écrire un programme en Python permettant de donner, à partir de l'encadrement du IV-4, une valeur approchée à 10^(− 10) près de √2 à l'aide de la suite (a_n)_(n ∈ ℕ).

• 1- Soit n ∈ ℕ, déterminer les chiffres des unités possibles pour n^2, puis les chiffres des unités possibles pour 2n^2 ?

• 2- En raisonnant sur le chiffre des unités de p et de q, montrer que la seule possibilité est que le chiffre des unités de p soit 0 et que celui de q soit 0 ou 5 .
• 3- En déduire que √2 est un nombre irrationnel.

• 1- Démontrer que pour tout entier n ⩾ 1,
  S_n = 1/(n + 1) + 1/(n + 2) + … + 1/(2n)
• 2- Démontrer que la suite S_n est convergente.
• 3- Démontrer que pour tout entier n ⩾ 1,
  S_n ⩽ ∫_1^2 1/x dx ⩽ S_n + 1/(2n)
• 4- En déduire un encadrement de S_n et déterminer sa limite.

Problème 3 : angles, relations métriques et variations de l'aire d'un triangle

I - Formules d'addition

On considère la configuration du plan correspondant à la figure ci-dessous.

• 1- Justifier que les angles CDEˆ et BACˆ ont même mesure.
• 2- En remarquant que sin(a + b) = EF + DF, établir la relation sin(a + b) = sinacosb + cosasinb.
• 3- On admettra que cos(a + b) = cosacosb − sinasinb. En déduire la relation :
  tan(a + b) = (tana + tanb)/(1 − tanatanb)
• 4- Exprimer tan(2a) en fonction de tana, puis calculer la valeur exacte de tanπ/8.

II - Relations métriques

• 1- Démontrer que l'aire du triangle ABC est égale p × r.
• 2- Démontrer que p = r(1/(tana) + 1/(tanb) + 1/(tanc)).
• 3- On suppose le triangle ABC rectangle en A.
  • (a)Exprimer tanc en fonction de tanb.
  • (b)En déduire que r = p(tanb(1 − tanb))/(1 + tanb).

III - Variations du rayon et de l'aire du triangle rectangle

• 1- Soit f la fonction de la variable réelle x définie sur ]0, 1[ par f(x) = p(x(1 − x))/(1 + x), où p est un nombre réel strictement positif.
  Dresser le tableau de variation de f.
• 2- Soit g la fonction de la variable réelle b définie sur l'intervalle ]0, π/4[parg(b) = f(tanb). Étudier le sens de variation de la fonction g.
• 3- Pour quelle mesure b de l'angle, le rayon du cercle inscrit dans le triangle rectangle ABC, de périmètre 2p donné, est-il maximal?
• 4- Exprimer, en fonction de b, l'aire S(b) du triangle ABC.
• 5- Pour quelle mesure b de l'angle, l'aire du triangle rectangle ABC, de périmètre 2p donné, est-elle maximale?