CAPES mathématiques externe Mayotte 2021, épreuve 1Sujet et rapport du jury

CAPES A AFFECTATION LOCALE A MAYOTTE CONCOURS EXTERNE

INFORMATION AUX CANDIDATS

• Concours externe du CAPES à affectation locale à Mayotte de l'enseignement public :

Exercice 1

• 1.Démontrer que l'ensemble des points équidistants du point F et de la droite (d) est la parabole (P) d'équation y = 1/4x^2.

• -H son projeté orthogonal sur la droite (d).
• - (Δ_M) la droite perpendiculaire à la droite (d) passant par M.
• -A un point sur la droite (Δ_M) distinct de M tel que le point M appartienne au segment [AH].
• - (T_M) la tangente à la parabole (P) au point M.
• -Q le point d'intersection des droites (d) et (T_M).
• -B un point sur la droite (T_M) distinct de M tel que le point M appartienne au segment [BQ].
  

  

• 2.
  • a)Expliquer pourquoi les angles AMBˆ et HMQˆ sont égaux.
  • b)Démontrer que FQ = QH.
  • c)En déduire que les angles AMBˆ et FMQˆ sont égaux.
  • d)Citer une application physique de cette propriété.

Partie B

• 1.Démontrer que le point C a pour ordonnée ab.

• 2.Conformément à la figure ci-contre, on considère tous les points C obtenus en faisant varier les réels a et b de la question précédente dans ℕ^∗∖{1}. Quelle propriété vérifie l'ordonnée des points de l'axe des ordonnées de coordonnées entières qui ne sont pas atteints par cette construction ?

Exercice 2

• 1.Écrire, en langage Python, un algorithme « suite» qui calcule et affiche les quinze premiers termes de la suite (u_n) en fonction du réel a.

2. Le tableau ci-dessous présente l'exécution d'un tel algorithme pour différentes valeurs de a.
   Conjecturer, selon la valeur de a, la nature de la suite (u_n).

• 1.a) Calculer v_0.
  • b)Démontrer que pour tout entier naturel n : v_(n + 1) = (n + 1)v_n − 1/e
• 2.a) Démontrer que la suite (v_n) est décroissante et minorée par 0.
  • b)En déduire que la suite (v_n) est convergente.
• 3.a) Démontrer que pour tout réel t appartenant à l'intervalle [0; 1] :
  1/e ≤ e^(− t) ≤ 1
  • b)En déduire que pour tout entier naturel n :

• • c)Déterminer la limite de la suite (v_n).

• 1.Démontrer que pour tout entier naturel n : u_n = v_n + n!(u_0 − v_0).
• 2.En déduire la limite de la suite (u_n) selon la valeur du réel a.

Exercice 3

On se place dans le repère ( A; AB^(→−); AD^(→−); AE^(→−) )

Partie A

• 1.Démontrer que les coordonnées des points K et L sont : K(0; 0; 1 − a/2) et L(0; 1; a/2)

• 2.un parallélogramme ?
• 3.un losange ?
• 4.un rectangle ?
• 5.un carré?

Partie B

• 1.Déterminer les coordonnées du point N projeté orthogonal de H sur le plan (FKJ) et en déduire que HN = 2/(√(11)).
• 2.En déduire le volume de la pyramide HFJLK en unité de volume.

Exercice 4

• -À l'instant initial, la particule se trouve sur l'une des positions.
• -À chaque instant, elle avance d'une position avec la probabilité 3/4 ou elle recule d'une position avec la probabilité 1/4.
• -Le processus s'arrête lorsque la particule a atteint les positions 0 ou 4.

• 1.a) Démontrer que p_1 ≥ 1/4.
  • b)Démontrer que p_2 ≥ 1/(16).
  • c)Démontrer que p_3 ≥ 1/(64).

2. On a obtenu la copie d'écran ci-dessous en utilisant le langage Python.

from math import *
import random

%Run 'algos proba.py'
freq_zero(1000000,1)
0.324773

freq_zero(1000000,2)
0.099997

freq_zero(1000000,3)
0.024848

• a)Expliquer le rôle des deux fonctions « marche » et « freq_zero ».
• b)Conjecturer les valeurs de p_n pour n ∈ {1; 2; 3}.

• 1.Justifier que p_0 = 1 et que p_4 = 0.
• 2.Justifier que pour n ∈ {1; 2; 3} : p_n = 3/4p_(n + 1) + 1/4p_(n − 1).
• 3.En déduire l'expression de p_n en fonction de n. On pourra résoudre un système.

• 1.100 particules sont en position 3 à l'instant initial. On considère que le comportement de chacune des particules est indépendant.

• 2.Combien faut-il de particules, dont le comportement est indépendant, en position 3 à l'instant initial pour être sûr, au risque 1%, qu'au moins une d'entre elles s'arrête en position zéro ?

Exercice 5

• l'aire de la surface latérale du cône droit pour un volume donné.
  On considère un cône droit dont la base est un disque.
  On note h sa hauteur, r son rayon, A l'aire de sa surface latérale et V son volume.
  1. a) Rappeler la formule donnant le volume V en fonction de r et de h. Aucune démonstration n'est demandée.
  

  

  • b)Tracer un schéma du patron du cône et démontrer que :
    A = πr√(r^2 + h^2)
• 2.Dans cette question, le volume est fixé à 250 cm^3. Quelles formules doit-on inscrire dans les cellules A3, B2 et C2 pour construire la feuille de tableur ci-dessous en utilisant la recopie vers le bas ?

3. Soit A la fonction définie sur ℝ^(+ ∗) qui au rayon r associe l'aire A de la surface latérale.

• a)Démontrer que
  A(r) = (√(π^2 r^6 + 9V^2))/r
• b)Déterminer en fonction de V le rayon r qui rend le volume minimal.
• c)Calculer une valeur approchée au mm près du rayon et de la hauteur qui minimisent l'aire de la surface latérale d'un cône de 250 cm^3.