Agrégation mathématiques interne 2020, épreuve 2Sujet et rapport du jury

AGRÉGATION
CONCOURS INTERNE
ET CAER

Section : MATHÉMATIQUES

INFORMATION AUX CANDIDATS

• -Concours interne de l'Agrégation de l'enseignement public :
  

  

• -Concours interne du CAER / Agrégation de l'enseignement privé :
  

  

Notations

• -On rappelle que l'on note ℕ l'ensemble des entiers positifs ou nul, ℤ l'anneau des entiers relatifs, ℚ le corps des nombres rationnels, ℝ le corps des nombres réels et ℂ le corps des nombres complexes.
• -On se place dans un espace euclidien (E, ⟨., ⟩. )dedimensionn ∈ ℕ^∗. On note ‖. ‖lanormeeuclidienne associée.
• -Pour tout vecteur x de E et tout réel positif r, on note B(x, r) (resp. B¯(x, r), resp. S(x, r) ) la boule ouverte (resp. la boule fermée, resp. la sphère) de centre x et de rayon r :
  B(x, r) = {y ∈ E|‖y − x‖ < r}, B¯(x, r) = {y ∈ E|‖y − x‖ ⩽ r} et S(x, r) = {y ∈ E|‖y − x‖ = r}.
• -Pour toute partie A de E, on note A˙ l'intérieur de A, c'est-à-dire le plus grand ouvert (au sens de l'inclusion) inclus dans A, A¯ l'adhérence de A, c'est-à-dire le plus petit fermé contenant A et Fr(A) la frontière de A :
  Fr(A) = A¯∖A˙.
• -Si a est un élément de E, on note 𝒱(a) l'ensemble des voisinages de a.
• -Pour toute partie fermée et non vide F de E et tout x ∈ E, on admet sans démonstration que l'ensemble
  {‖x − f‖, f ∈ F}
  admet une borne inférieure notée inf_(f ∈ F)‖x − f‖ et on pose
  d_F(x) = d(x, F) = inf_(f ∈ F)‖x − f‖.
• -On pose alors Γ(x) = {f ∈ F|‖x − f‖ = d(x, F)}. C'est donc l'ensemble (éventuellement vide) des points de F pour lesquels la borne inférieure est atteinte.
• -Lorsque Γ(x) est un singleton, on note π(x) son unique élément.
• -Si u et v sont deux vecteurs de E, on appelle segment [u, v] l'ensemble défini par :
  [u, v] = {x ∈ E|∃t ∈ [0, 1], x = (1 − t)u + tv}.
• -Soient A une partie de E et u : A → ℝ. On suppose que 0 ∈ A¯. On dit que u(h) = o_(h → 0)(‖h‖) lorsqu'il existe une fonction δ définie sur un voisinage V de 0 telle que
  ∀h ∈ V ∩ A, u(h) = δ(h)‖h‖ et δ(h)→−_(h → 0)^0.
• -Soient Ω un ouvert de E et f : Ω → ℝ. On rappelle que l'on dit que f est différentiable en un élément a de Ω lorsqu'il existe une forme linéaire ℓ : E → ℝ vérifiant :
  f(a + h) = f(a) + ℓ(h) + O_(h → 0)(‖h‖).
  Lorsqu'elle existe, ℓ est unique et est notée df(a) et l'image ℓ(h) du vecteur h de E par ℓ est notée df(a) ⋅ h. Le gradient de f en a est alors l'unique vecteur v de E vérifiant :
  ∀h ∈ E, df(a) ⋅ h = ⟨v, h⟩.
  On le note ∇f(a). Ainsi, sous réserve d'existence, on a :
  f(a + h) = f(a) + ⟨∇f(a), h⟩ + o_(h → 0)(‖h‖)
• -Pour tout réel x, on note ⌊x⌋ sa partie entière.

Partie I - Résultats préliminaires

1. Montrer que, pour tout vecteur x de E, d_F(x) = 0 si et seulement si x ∈ F.
2. a) Montrer que, pour tout (x, y) ∈ E^2 et tout f ∈ F, on a :

• b)En déduire que d_F est 1-lipschitzienne.

3. Soient x un vecteur de E et x_0 un vecteur de F. On pose r = ‖x − x_0‖ et K = B¯(x, r) ∩ F.

• a)Montrer que K est une partie compacte et non vide de E.
• b)Montrer que Γ(x) est non vide.

4. On suppose, dans cette question seulement, que F est en outre une partie convexe de E.

• a)Montrer que, quels que soient les vecteurs u et v de E, on a : ‖u + v‖^2 + ‖u − v‖^2 = 2(‖u‖^2 + ‖v‖^2).
• b)Soit x un vecteur de E et soient f et f^′ deux éléments de Γ(x). On suppose que f ≠ f^′.
  Montrer que : ‖1/2(f + f^′) − x‖^2 < d(x, F)^2.
  En déduire que, pour tout vecteur x de E, Γ(x) est un singleton.
  Ainsi, avec les notations de l'introduction, Γ(x) = {π(x)}.
• c)On souhaite montrer que : ∀x ∈ E, ∀f ∈ F, ⟨f − π(x), x − π(x)⟩ ⩽ 0.
  Pour cela, on fixe des éléments x de E et f de F. On introduit la fonction
  φ : {[0, 1], ⟶ ℝ; t, ⟼ ‖(1 − t)π(x) + tf − x‖^2.
  • i.Montrer que φ est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à 2 .
  • ii.Justifier que φ admet un minimum en 0. Conclure.
• d)On fixe un vecteur x de E. Soit z un vecteur de F. On suppose que :
  ∀f ∈ F, ⟨f − z, x − z⟩ ⩽ 0.
  Montrer que z = π(x).

Partie II - Étude en dimension 1

• 5.Expliciter d_({0}), puis déterminer l'ensemble des points où d_({0}) est dérivable et déterminer sa dérivée.

• 6.Montrer que ℤ est fermé dans ℝ.
• 7.Justifier que d_ℤ est 1-périodique. Étudier la parité.
• 8.Pour tout x élément de [0, 1[, expliciter, en justifiant, d_ℤ(x) en fonction de x. Tracer le graphe de d_ℤ.
• 9.Étudier la dérivabilité de d_ℤ en tout point de [0, 1[.
• 10.Développement en série de Fourier de d_ℤ.
  • a)Calculer les coefficients de Fourier de d_ℤ.
  • b)La série de Fourier de d_ℤ converge-t-elle simplement/uniformément/normalement vers d_ℤ ?
  • c)En déduire la valeur de ∑_(n = 1)^∞1/((2n + 1)^2) puis de ∑_(n = 1)^∞1/(n^2), de ∑_(n = 1)^∞1/((2n + 1)^4) et de ∑_(n = 1)^∞1/(n^4). On commencera par justifier la convergence des séries.

• 11.On définit, sur Ω, une relation binaire ~ de la manière suivante : étant donnés deux éléments x et y de Ω, on dit que x est en relation avec y lorsqu'il existe un intervalle ouvert ]a, b[ inclus dans Ω et contenant les éléments x et y :
  ∀(x, y) ∈ Ω^2, x ∼ y ⟺ (∃(a, b) ∈ ℝ^2, a < b et (x, y) ∈ ]a, b[^2 et ]a, b[ ⊂ Ω).
  • a)Montrer que ~ est une relation d'équivalence.
  • b)Montrer que les classes d'équivalences sont des intervalles ouverts deux à deux disjoints.
  • c)En déduire qu'il existe une famille (] a_i, b_i[)_(i ∈ I) d'intervalles ouverts deux à deux disjoints, indexée par un ensemble I fini ou dénombrable, telle que
    Ω = ⋃_(i ∈ I)]a_i, b_i[.
• 12.Soit x un élément de Ω. Il existe donc un unique i_0 élément de I tel que x ∈ ]a_(i_0), b_(i_0)[.
  • a)Exprimer d_F(x) à l'aide de x, de a_(i_0) et b_(i_0).
  • b)Étudier la dérivabilité de d_F en x.
• 13.On suppose dans cette question que F^∘ ≠ ∅. Soit x un élément de F^∘. Étudier la dérivabilité de d_F en x.

14. Étude à la frontière.

• a)On suppose, dans cette question, que F = [0, 1]. Expliciter Fr(F). d_F est-elle dérivable en un point de Fr(F) ?
• b)Dans cette question, on pose : F = ℝ∖Ω où Ω = ⋃_(n ⩾ 2)]1/n − 1/(n^3), 1/n [, la réunion étant prise sur l'ensemble des entiers naturels n tels que n ⩾ 2.
  • i.Justifier rapidement que Ω ⊂ ]0, 1/2[, que F est un fermé de ℝ et que 0 ∈ Fr(F).
  • ii.Soit x ∈ Ω. Montrer qu'il existe un unique entier naturel n tel que n ⩾ 2 et x ∈ ]1/n − 1/(n^3), 1/n[. Montrer que n = ⌊1/x⌋.
  • iii.En déduire qu'il existe un réel C strictement positif tel que ∀x ∈ ]0, 1/2[, d_F(x) ⩽ Cx^3.
  • iv.Montrer que d_F est dérivable à droite en 0 et en calculer (d_F)_d^′(0).
  • v. d_F est-elle dérivable en 0 ?

Partie III - Étude de cas particuliers en dimension n

15. On fixe un vecteur x_0 de E et on suppose, dans cette question seulement, que F = {x_0}.

• a)Expliciter d_F. Soit x un élément de E. Expliciter Γ(x).
• b)Montrer que la fonction g : {E ⟶ ℝ; x ⟼ ‖x − x_0‖^2 est différentiable sur E et calculer son gradient.
• c)En déduire que d_F est différentiable sur E∖{x_0} et montrer que :
  ∀a ∈ E∖{x_0}, ∇d_F(a) = 1/(‖a − x_0‖)(a − x_0).
• d)Étude de la différentiabilité de d_F en x_0. Supposons que d_F soit différentiable en x_0.
  • i.Montrer que, pour tout vecteur h de E, on a :
    d_F(x_0 + th) = t⟨∇d_F(x_0), h⟩ + o_(t → 0)(t).
  • ii.Conclure.

16. On suppose, dans cette question seulement, que F est un sous-espace vectoriel de E, distinct de E.

• a)Montrer que pour tout vecteur x de E, Γ(x) est un singleton, et que π (défini dans le préambule du sujet) est le projecteur orthogonal sur F.
• b)Montrer que, pour tout élément a de E, d_F^2 est différentiable en a et calculer son gradient.
• c)En déduire que, pour tout élément a de E∖F, d_F est différentiable en a et calculer son gradient.
• d)On fixe un vecteur a de F. L'objet de cette question est l'étude de la différentiabilité de d_F en a.
  • i.On suppose que d_F est différentiable en a et on pose : u = ∇(d_F)(a).
    Soit h ∈ F^⊥. Montrer que : ⟨u, h⟩ = ‖h‖.
    Indication : on pourra procéder de manière analogue à la question 15.d.
  • ii.Conclure.

• 17.Dans cette question, on suppose que E = ℝ^2, dont les éléments sont notés en colonne, muni de sa structure euclidienne canonique et que : F = {(x/y) ∈ ℝ^2| y ⩽ 0 ou y ⩾ x^2}.
  L'objet de cette question est d'étudier la différentiabilité de d_F en 0_(ℝ^2).
  • a)Dessiner l'allure de F.
  • b)Montrer que F est un fermé de ℝ^2.
  • c)Montrer que 0_(ℝ^2) ∈ Fr(F).
  • d)Montrer que, pour tout vecteur u de ℝ^2, d_F(u) ⩽ ‖u‖^2.
    Indication : on pourra séparer les cas où u ∈ F et où u ∈ ℝ^2∖F.
  • e)En déduire que d_F est différentiable en 0_(ℝ^2) et donner son gradient en 0_(ℝ^2).

Partie IV - Distance à la sphère unité

• 18.Soit a un élément de E∖{0_E}. On pose u = 1/(‖a‖)a et on fixe un vecteur y de F.
  • a)Montrer qu'il existe un plan vectoriel P contenant a, u et y.
  • b)Montrer que S = F ∩ P est le cercle unité de P, pour la structure euclidienne sur P induite par celle de E.
  • c)Montrer que Γ(a) = {u}.
• 19.Montrer que, pour tout vecteur a de E : d_F(a) = |‖a‖ − 1|.
• 20.Montrer que, pour tout vecteur a de E tel que a ≠ 0_E et a ∉ F, d_F est différentiable en a et calculer son gradient.
• 21.Expliciter Γ(0_E).
• 22.Soit a un vecteur de F. Montrer que d_F n'est pas différentiable en a.
  Indication : On pourra calculer d_F(a + ta), pour tout t élément de ]-1, 1[.
• 23.On fixe un vecteur unitaire v.
  • a)Étudier la dérivabilité en 0 de φ : {] − 1, 1[, ⟶ ℝ; t, ⟼, d_F(tv).
  • b)Conclure quant à la différentiabilité de d_F en 0.

Partie V - Une condition nécessaire de différentiabilité à l'extérieur de F

• 24.a) Montrer que, pour tout t > 0, d_F(a + tu) − d_F(a) ⩽ t‖u‖.
  • b)En déduire que ‖u‖ ⩽ 1.

• 25.a) Montrer que pour tout x ∈ [a, y],
  ‖x − y‖ = d_F(a) − ‖a − x‖.
  • b)En déduire que pour tout x ∈ [a, y],
    d_F(x) = ‖x − y‖.

26. On fixe t ∈ ]0, d_F(a)] et on pose v = 1/(d_F(a))(a − y).

• • a)Montrer que
    d_F(a − tv) = d_F(a) − t.
  • b)Montrer que
    ⟨u, v⟩ = 1 = ‖u‖‖v‖.
  • c)En déduire que u = v et conclure.

Partie VI - Étude de la réciproque

• 27.Dans cette question, on se propose de montrer que :
  ∀V ∈ 𝒱(π(a)), ∃U ∈ 𝒱(a), ∀x ∈ U, Γ(x) ⊂ V.
  On va l'établir à l'aide d'un raisonnement par l'absurde. On suppose donc qu'il existe un voisinage ouvert V ∈ 𝒱(π(a)) de π(a) tel que :
  ∀U ∈ 𝒱(a), ∃x ∈ U, Γ(x)⊄V.
  On dispose ainsi d'une suite (x_p)_(p ∈ ℕ) convergeant vers a et d'une suite (y_p)_(p ∈ ℕ) telles que :
  ∀p ∈ ℕ, y_p ∈ Γ(x_p) et y_p ∉ V.
  On pose : M = sup_(p ∈ ℕ)‖x_p − a‖.

• a)Justifier succinctement que M est bien défini, puis montrer que (y_p)_(p ∈ ℕ) est bornée.

• b)Justifier succinctement l'existence de ℓ.
• c)Montrer que ℓ ∈ F ∩ (E∖V).
• d)Montrer que ℓ ∈ Γ(a), puis conclure.

28. On pose: R = ‖a − π(a)‖.

• a)Justifier que R > 0 et expliciter B¯(a, R) ∩ F.
• b)Soit x un élément de B(a, R). On fixe un élément y de Γ(x).
  On considère la fonction φ : {ℝ ⟶ ℝ; t ⟼ ‖(1 − t)x + ty − a‖^2 − R^2.
  • i.Montrer que φ est un trinôme du second degré. Que dire du signe des racines de ce trinôme?
  • ii.Montrer que [x, y] ∩ S(a, R) est un singleton. On note p(x, y) le point d'intersection.
    Il existe donc un unique t_(x, y) ∈ [0, 1] vérifiant : p(x, y) = (1 − t_(x, y))x + t_(x, y)y.
  • iii.Que vaut φ(t_(x, y)) ? En déduire une expression de t_(x, y).
• c)Montrer que :
  ∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ B(a, R), ‖x − a‖ < η ⟹ ∀y ∈ Γ(x), ‖p(x, y) − y‖ < ε.
• d)En déduire que :
  ∀V ∈ 𝒱(π(a)), ∃U ∈ 𝒱(a), ∀x ∈ U, ∀y ∈ Γ(x), p(x, y) ∈ V.

29. Pour tout x élément de B(a, R), on note y_x un élément de Γ(x). Montrer que :

• a) ∀x ∈ B(a, R), ‖x − p(x, y_x)‖^2 − ‖a − p(x, y_x)‖^2 = 2⟨x − a, a − p(x, y_x)⟩ + ‖x − a‖^2;
• b) ‖x − p(x, y_x)‖^2 − ‖a − p(x, y_x)‖^2 = 2⟨x − a, a − π(a)⟩ + O_(x → a)(‖x − a‖).

30. Montrer que : d_F^2(x) = d_F^2(a) + ⟨x − a, 2(a − π(a))⟩ + O_(x → a)(‖x − a‖).
31. En déduire que d_F est différentiable en a et calculer son gradient.
32. Soit Ω un ouvert inclus dans E∖F. On suppose que, pour tout x ∈ Ω, Γ(x) est un singleton.
    Montrer que d_F est de classe 𝒞^1 sur Ω.