Sujet Banque PT Physique 2A PT 2001

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On souhaite étudier le pompage ou mouvement vertical d'un véhicule ( V ) de masse M dans son déplacement sur un sol (S) (fig. 1). Le véhicule est constitué d'un châssis triangulaire soutenu par trois roues, l'une située à l'avant au centre ( O_1 ), les deux autres à l'arrière de chaque côté ( O_2, O_3 ) et surmonté d'une cabine parallélépipédique.

Chaque roue est liée au véhicule au moyen d'une suspension constituée par un ensemble piston-cylindre emprisonnant une certaine quantité d'air (fig. 2).
Chaque suspension possède une course utile de 20 cm et peut être assimilée à un ensemble ressort-amortisseur dont la constante de raideur K est donnée par:

avec:
Y : rapport C_p/C_v du gaz contenu dans la suspension
p : pression du gaz
A : aire de la section du piston
V : volume utilisé par le gaz comprimé
et l'amortissement visqueux par sa constante K '.

La position verticale du véhicule est repérée par z_V dans le référentiel galiléen proposé ayant son origine sur la ligne moyenne des déformations du sol. Sauf mention particulière, on supposera que le centre O d'une roue décrit le mouvement imposé par le sol dont la cote, selon la direction verticale, est repérée par z_s par rapport à ce même référentiel galiléen.

(fig. 2) constitution d'une suspension et schéma équivalent. Le centre de la roue suit le profil du sol et la course utile de chaque suspension est de 20 cm .

On considère le véhicule au repos.
En supposant que la masse M = 1, 00.10^3 kg du véhicule est répartie à égalité entre le châssis et la cabine, tous deux étant supposés homogènes, calculer numériquement:
a) les coordonnées x_G et y_G du centre de masse G en projection sur le plan xOy ;
b) les normes ( F_1, F_2 et F_3 ) des forces s'exerçant sur chacune des roues;
c) les constantes de raideur de chacune des suspensions ( K_1, K_2, K_3 ) permettant de situer le point d'équilibre statique au milieu de la course des suspensions
d) les pressions correspondantes ( P_1, P_2, P_3 ) de l'air des suspensions en considérant un diamètre de piston égal à 42 mm .

En considérant que le mouvement du véhicule est uniquement vertical, c'est-àdire sans mouvement de rotation,
e) proposer un schéma faisant apparaître le véhicule et une unique suspension le liant au sol ;
f) déterminer dans ce cas la valeur K_(eq) de la constante de raideur du ressort de cette suspension.

On supposera dans toute cette partie que le véhicule modélisé ne possède qu'un mouvement vertical ( sans aucun mouvement de rotation) avec une unique suspension de constante de raideur constante K = 1, 00.10^5 N.m^(− 1) et de constante d'amortissement constante K^′ = 4, 00 ⋅ 10^3 N ⋅ m^(− 1) ⋅ s (fig. 3). Sa masse est encore M = 1, 00 ⋅ 10^3 kg.

Nota bene: pour cette étude dynamique, l'origine de l'axe z est pris au point de repos statique (c'est-àdire que la suspension est en milieu de course).

(fig. 3) modèle dynamique utilisé pour le véhicule à l'arrêt.

Le véhicule à l'arrêt reçoit un impact vertical en G (centre de masse) assimilable à une impulsion initiale, c'est-àdire une énergie cinétique finie dispensée en un temps infiniment court, ce qui revient aux conditions initiales: z˙_0 ≠ 0, z_0 = 0.
a) Décrire ce qui est susceptible de se passer en faisant un croquis du mouvement vertical du véhicule en fonction du temps (aucun calcul n'est demandé).
b) Etablir l'équation différentielle du mouvement de G, faisant intervenir les grandeurs M, K et K^′.
c) Déterminer la solution en z_v avec les conditions initiales proposées. Préciser les valeurs numériques.
d) Expliquer pourquoi la pesanteur g n'intervient pas dans l'expression de la solution.

Le véhicule se déplace à vitesse constante V_a = 50 km ⋅ h^(− 1) sur un sol ondulé horizontal (fig. 4). L'ondulation est assimilée à une sinusoï de de période spatiale L = 2 m et d'amplitude z_(so) = 5 cm comptée à partir de la ligne moyenne.

(fig. 4) modèle dynamique utilisé pour le véhicule en mouvement.
Pour des raisons de simplicité, on supposera ici que le rayon de la roue est nul, c'est-àdire que le centre O de la roue suit exactement l'ondulation du sol.
a) Donner l'expression de la pulsation d'excitation ω de la suspension en fonction de la vitesse V_a du véhicule et de la période spatiale L .
b) Faire un schéma pour la mise en équation du système où seront explicitées les frces agissant sur celui-ci

ATTENTION à exprimer correctement les forces dues au ressort et à l'amortisseur.
c) Exprimer l'équation différentielle vérifiée par la coordonnée z_v, liant cette dernière à la coordonnée z_s.
d) Donner les expressions de la réponse complexe (Z_V_–)/(Z_S_–) ainsi que son module |(|Z_V_–)/(Z_S_–)|.
e) Représenter la courbe de Bode pour |(Z_V^–)/(Z_S_–)|. Préciser les points particuliers ( origine, asymptotes, extrema ) et donner leurs valeurs numériques .
f ) Calculer l'amplitude des oscillations du véhicule. Préciser la fréquence des oscillations que ressentirait un passager.
g ) A quelle(s) allure(s) ne faudrait-il surtout pas rouler sur ce sol ondulé ? Pour quelles raisons?
h) A la lueur des résultats obtenus, proposer un moyen de ralentissement des véhicules à l'entrée des zones urbaines.

On considère une source ponctuelle S de lumière blanche, Cette source est placée à une distance d de l'espace limité par 2 miroirs plans M_1 et M_2, parallèles et séparés par une distance a, Les miroirs ont une longueur 2d, Le dispositif est représenté figure 1 ; on ne considérera que les rayons situés dans le plan de la figure. De même les rayons qui se dirigent en dehors des miroirs sont arrêtés par un écran.
A.N. : a = 1 cm, d = 5 cm.

On remplace maintenant le système à miroirs ci-dessus, par un milieu diélectrique plan transparent d'indice n_1, inséré entre deux milieux d'indice n_2 (figure 2), l'ensemble étant placé dans un milieu d'indice r_3, avec la condition n > n_2 > n_3. A l'aide d'une lentille L_1, on focalise la lumière émise par une source monochromatique ponctuelle S à l'entrée du milieu 1. On ne considère que les rayons qui entrent dans milieu 1.

Données numériques :
n_1 = 1, 5227; n_2 = 1, 5200; n_3 (milieu extérieur) = 1, 0000; a = 1, 00 mm; L = 10, 00 cm.

Un faisceau de faible divergence (inclinaison des rayons par rapport à l'axe compris entre 0 et α_(max) ) issu d'une source ponctuelle est introduit dans un montage interférométrique de Michelson (figure 3). La source est monochromatique de longueur d'onde λ = 0, 508 nm (raie verte du cadmium). Sur la figure 3, on ne représente que le trajet d'un rayon lumineux incliné d'un angle α par rapport à l'axe de l'interféromètre. Ce rayon est divisé au point d'incidence A sur la lame séparatrice LS en deux rayons. Les miroirs M_1 et M_2 les renvoient vers la lame. Une lentille L placée dans le quatrième bras de l'interféromètre permet de diriger les 2 rayons en un point situé sur son plan focal image. On étudie la figure de franges formée sur l'écran par l'ensemble du faisceau. On ne tiendra pas compte des effets liés à l'épaisseur de la lame séparatrice LS. Le plan ( P_0 ) correspond à la position du miroir M_2 pour laquelle les 2 bras de l'interféromètre ont la même longueur.
Par construction, on observe l'égalité des trajets suivants :
AB = AE, BC = GH, CD = HI et FE = FG
On se propose, dans les questions 1 à 4 de calculer la différence ΔL des chemins optiques (ABCDJ) et (AEFGHIJ). Cette différence est décomposée en deux termes δ_1 et δ_2. Le terme δ_1 est relatif au passage des rayons dans la lentille tandis que le terme δ_2 est relatif à la distance e_0 du miroir mesurée par rapport à la position d'égalité des bras de l'interféromètre.

N .B : nous soulignons que les flèches sont la représentation graphique de rayons lumineux et ne doivent pas être confondues avec la représentation d'une onde plane. Une onde plane correspond au cas d'un faisceau d'étendue spatiale transverse infinie, ce qui n'est pas le cas ici.

1 ) Principe de retour inverse.
1.a) En utilisant le principe de retour inverse de la lumière montrer que la différence de chemin optique imposée par la lentille à 2 rayons incidents parallèles séparés de la distance DI peut être entièrement ramenée à la distance δ_1 à l'entrée de la lentille (fig.4).

1.b) Donner l'expression de δ_1.

Remarque: Un calcul géométrique donne l'expression suivante que vous admettrez pour la distance DI: DI = 2e_0 tan(α).
2) Calculer le terme δ_2.
3) Montrer alors, en justifiant le calcul que la différence de chemin optique ΔL = 2 ⋅ e_0 ⋅ cos(α).
4) Calculer alors le déphasage Δφ entre les 2 rayons qui interfèrent.

La figure d'interférence observée dans le plan focal image de la lentille admet une symétrie de révolution par rapport à l'axe optique de la lentille. Dans la suite du problème, nous nous limiterons à l'observation de la distribution d'intensité sur l'écran suivant une droite de direction Ox passant par l'axe optique de la lentille.
5) Quelle est l'abscisse x sur l'écran de la frange d'interférence d'ordre p ? ( e_0 différent de 0 ). Pour cela, on effectuera un développement limité du second ordre sur les fonctions trigonométriques.
6) Quelle est la forme des franges d'interférence ? Déterminer la loi I(x) de l'intensité lumineuse ( on désignera par 2I_0 la valeur maximale de cette intensité).
7) On positionne les miroirs M_1 et M_2 de manière à avoir l'égalité des chemins optiques quelle que soit la valeur de l'angle α.
7.a) Décrire qualitativement la répartition d'intensité observée sur l'écran.
7.b) On introduit ensuite sur le trajet AB une lame mince parallèle d'indice n = 1, 600 et d'épaisseur l inconnue, disposée parallèlement au miroir M_1. Décrire qualitativement la répartition d'intensité observée sur l'écran.
7.c) On place au centre de l'écran (point O ) un photo détecteur et on observe 20 passages du signal par un maximum en déplaçant le miroir M_2 jusqu'à retrouver en tout point de l'écran l'éclairement obtenu à l'égalité des chemins optiques. Calculer l.
.. On retire la lame mince insérée dans le montage en 7. b et 7.c, on se propose maintenant de réaliser un système pour la mesure de déplacements (en valeur et en sens). Pour cela, on place une barrette linéaire de photodétecteurs dans le plan focal image de la lentille. La suite du problème va consister, étant donné le type de barrette retenu (caractérisé par la largeur des photodétecteurs), à fixer les valeurs numériques des composants optiques à utiliser à savoir : la distance focale de la lentille et la position précise des deux photodétecteurs à activer sur la barrette. De même nous chercherons à chiffrer les performances de l'instrument par la course maximale de mesure.

Pour ce faire, on réalise une asymétrie e sur la longueur des bras de l'interféromètre. Cet instrument de mesure doit permettre la mesure d'un petit déplacement e autour la position e_0. Ainsi, la distance entre le plan P_0 et le miroir M_2 s'écrit alors: E = e + e_0 avec e_0 fixée à 5 mm et e≪e_0.

Détail de la démarche de conception du système :
Le miroir mobile M_2 se déplace à la vitesse constante v , nous admettons la loi E = e_0 + vt, soit e = v t

Le photo détecteur numéro k fournit un courant i_k(t) proportionnel à l'intensité lumineuse I_k(t) au centre du détecteur : i˙_k(t) = a ⋅ I_k(t).

étape 1:
La position du premier photodétecteur est fixée sur l'axe optique de la lentille: x_1 = 0. Détermination de la position x_2 du second photodétecteur à valider de façon à ce que les signaux i˙_1(t) et i˙_2(t) soient en quadrature à l'instant t = 0 : questions 8, 9, 10.
étape 2:
Le critère de tolérance sur la quadrature des signaux il(t) et i2(t) permet alors la détermination de la plage de déplacement maximale e_(max) de mesure: question 11.
étape 3:
Un critère fixe la différence de phase acceptable estimée à l'instant t = 0 entre les signaux h˙_2(t) et i˙_3(t). Cela permet la détermination de la taille des photodétecteurs d : question 12.
étape 4:
Application numérique, de la taille des photo détecteurs on déduit la focale de la lentille et la position du photodétecteur no2: question 13.
8) -Donner l'expression générale I(x, e) de l'intensité lumineuse au point d'abscisse x pour un déplacement e du miroir autour de la position e_0.

Montrer que b courant délivré par le photodétecteur au centre de l'écran ( x_1 = 0, photo détecteur n^∘1 ) prend la forme: i_1(e) = a.I(x_1, e) = a.I_0(1 + cos(φ_1(e))) et détailler l'expression de φ_1(e).
9) Montrer que le courant délivré par le photodétecteur au point d'abscisse x_2 (photodétecteur n^∘2 ) prend la forme: b˙(e) = a.I(x_2, e) = a.I_0(1 + cos(φ_2(e)) ) et détailler l'expression de φ_2(e).
10) Préciser la position x_2 pour laquelle: φ_2(0) − φ_1(0) = π/2.
11) A partir des courant i˙(t) et i˙(t), on génère les signaux i^′_1(t) et i^′_2(t), en supprimant la composante continue du signal. Le critère de calcul retenu pour dire que les signaux i^′_1(t) et i_2^′(t) sont quasiment en quadrature est: φ_2(e_(max)) − φ_1(e_(max)) = π/2 − π/36. Calculer la course maximale e_(max) du miroir mobile M_2 pour laquelle les signaux issus des photo détecteurs 1 et 2 peuvent être supposés quasiment en quadrature.
12) La courant délivré par le photodétecteur au point d'abscisse x_3 (photodétecteur n^∘3 )s'écrit : i_3(e) = a.I(x_3, e) = a.I_0.(1 + cos(φ_3(e))). Le critère retenu pour choisir l'écart centre à centre entre les photodétecteurs 2 et 3 est: φ_2(e_(max)) − φ_3(e_(max)) = π/2 − π/36. On remarquera que, pour e = 0, le profil d'intensité lumineuse sur la droite Ox de l'écran s'écrit : I(x, 0) = I_0(1 + cos(φ(x, 0))) avec φ(x, 0) qui suit une loi quadratique en x . Montrer que la longueur d d'un photo détecteur vaut :
d = B = √((17)/(18)) et préciser l'expression de B.
13) Application numérique: calculer la distance focale de la lentille pour une dimension des photo détecteurs d = 9μ m.
14) Calculer la position x_2 idéale théorique du centre de la photodiode délivrant le signal i˙_2(t).
15) Les signaux issus des photo détecteurs positionnés en x_1 = 0 et x_2 ≠ 0 sont envoyés respectivement sur les voies 1 et 2 d'un oscilloscope réglé en mode XY.
Décrire qualitativement la courbe tracée par le spot électronique lorsque te miroir se déplace de la position e_0 à la position e_0 + e. Préciser le sens de déplacement du spot si e est positif.

Annexe : Feuille pour la partie II-A.