Feuille d'entraînement : Mesures et incertitudes

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique 1 PC 2023, Q9

   Le cycliste parcourt la distance L' = 5{,}00\text{ km} = 5000\text{ m} à vitesse constante (régime permanent établi). Pour chacun des N = 10 essais avec le casque classique, la vitesse s'exprime par v_{c,i} = \frac{L'}{t_{c,i}} :

   Essai i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
   t_{c,i}\text{ (s)}	270	267	269	272	271	269	268	272	270	271
   v_{c,i}\text{ (m}\cdot\text{s}^{-1}\text{)}	18,52	18,73	18,59	18,38	18,45	18,59	18,66	18,38	18,52	18,45

   La valeur moyenne de la vitesse est :

   \langle v_c \rangle = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} v_{c,i} = \frac{185{,}26}{10} = 18{,}526\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 18{,}53\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

   \boxed{\langle v_c \rangle = 18{,}53\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

   L'écart-type expérimental (incertitude-type sur une mesure individuelle) vaut :

   \begin{aligned} u(v_c) &= \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (v_{c,i} - \langle v_c \rangle)^2} \\ &= \sqrt{\frac{1}{9} \times 0{,}118} \approx 0{,}115\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}

   L'incertitude-type de type A sur la moyenne est alors :

   u(\langle v_c \rangle) = \frac{u(v_c)}{\sqrt{N}} = \frac{0{,}115}{\sqrt{10}} \approx 0{,}036\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

   \boxed{u(\langle v_c \rangle) = 0{,}036\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

   Résultat

   $$⟨v_c⟩=18,53\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$$

   $$u(⟨v_c⟩)=0,036\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique 1 PC 2026, Q50

   D'après l'énoncé, la frange N=1 observée au sommet (\theta=0) est la dernière frange brillante avant l'apparition du film noir correspondant à une épaisseur quasi nulle (p=0). Cette frange est donc associée au premier ordre d'interférence constructive p=1, soit :

   h(0) = h_0 = \Delta h

   Le liquide s'écoulant vers le bas sous l'effet de la pesanteur, l'épaisseur du film croît avec l'angle \theta. L'écart d'épaisseur entre deux franges brillantes successives étant \Delta h (question Q46), l'épaisseur au niveau de la N-ième frange brillante vaut :

   h(\theta_N) = N \Delta h = N h_0

   En introduisant cette expression dans la loi proposée h(\theta) = h_0 \cos^{-\ell}(\theta), on obtient :

   N = \cos^{-\ell}(\theta_N) \iff \ln N = -\ell \ln(\cos\theta_N)

   Le paramètre \ell s'exprime donc pour chaque frange N \geqslant 2 par :

   \ell = -\frac{\ln N}{\ln(\cos\theta_N)}

   Calculons les valeurs de \ell à partir des données du tableau 1 :

   N	\theta (^\circ)	\ln N	-\ln(\cos\theta)	\ell
   2	28{,}4	0{,}693	0{,}128	5{,}41
   3	35{,}2	1{,}099	0{,}202	5{,}44
   4	39{,}3	1{,}386	0{,}256	5{,}41
   5	42{,}0	1{,}609	0{,}297	5{,}42
   6	44{,}1	1{,}792	0{,}331	5{,}41
   7	45{,}8	1{,}946	0{,}361	5{,}40
   8	47{,}2	2{,}079	0{,}387	5{,}38
   9	48{,}3	2{,}197	0{,}408	5{,}39

   Les valeurs obtenues sont remarquablement constantes sur l'ensemble des points expérimentaux, ce qui valide la loi en loi de puissance en \cos\theta. En faisant la moyenne, on obtient :

   \boxed{\ell \simeq 5{,}4}

   Résultat

   $$\ell \simeq 5,4$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3ENS Physique-Chimie L PC 2026, Q45

   Examinons les grandeurs d'activation obtenues par le laboratoire 1 pour les deux méthodes (suivi spectrophotométrique par photolyse flash et méthode stopped-flow) d'après le tableau 1 :

   • Processus direct (« on ») :

     \begin{aligned} \Delta H_{\mathrm{on}}^\ddagger &: 63 \pm 2\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} \quad \text{et} \quad 63 \pm 4\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} \quad (\text{égalité stricte des valeurs centrales}) ; \\ \Delta S_{\mathrm{on}}^\ddagger &: 55 \pm 8\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} \quad \text{et} \quad 54 \pm 14\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} \quad (\text{écart de } 1\text{, très inférieur aux incertitudes}) ; \\ \Delta V_{\mathrm{on}}^\ddagger &: 19{,}6 \pm 5{,}7\text{ cm}^3\cdot\text{mol}^{-1} \quad \text{et} \quad 21{,}3 \pm 0{,}3\text{ cm}^3\cdot\text{mol}^{-1} \quad (21{,}3 \in [13{,}9\,;\,25{,}3]). \end{aligned}

   • Processus inverse (« off ») :

     \begin{aligned} \Delta H_{\mathrm{off}}^\ddagger &: 68 \pm 4\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} \quad \text{et} \quad 65 \pm 5\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} \quad (\text{intervalles } [64\,;\,72] \text{ et } [60\,;\,70] \text{ largement sécants}) ; \\ \Delta S_{\mathrm{off}}^\ddagger &: 14 \pm 13\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} \quad \text{et} \quad 3 \pm 16\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} \quad (\text{intervalles largement recouvrants}) ; \\ \Delta V_{\mathrm{off}}^\ddagger &: 18{,}5 \pm 3{,}2\text{ cm}^3\cdot\text{mol}^{-1} \quad \text{et} \quad 16{,}3 \pm 1{,}3\text{ cm}^3\cdot\text{mol}^{-1} \quad (\text{intervalles } [15{,}3\,;\,21{,}7] \text{ et } [15{,}0\,;\,17{,}6] \text{ sécants}). \end{aligned}

   Pour chacune des six grandeurs, les écarts entre les deux méthodes sont inférieurs aux incertitudes-types combinées :

   E_n = \frac{|x_1 - x_2|}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2}} < 1 < 2

   \boxed{\text{Il y a un excellent accord entre les valeurs obtenues par les deux méthodes au sein du laboratoire 1.}}

   Résultat

   $$\text{Il y a un excellent accord entre les valeurs obtenues par les deux meˊthodes au sein du laboratoire 1.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4ENS Physique-Chimie L PC 2026, Q46

   D'après le tableau 1, pour la méthode stopped-flow, les valeurs mesurées par les deux laboratoires pour \Delta H_{\mathrm{off}}^\ddagger sont :

   • Laboratoire n^\circ 1 : x_1 = 65\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} avec une incertitude-type u_1 = 5\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} ;
   • Laboratoire n^\circ 2 : x_2 = 83\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} avec une incertitude-type u_2 = 2\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}.

   L'écart normalisé (ou quotient de compatibilité) E_n est défini par :

   E_n = \frac{|x_1 - x_2|}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2}}

   En remplaçant par les valeurs numériques :

   \begin{aligned} |x_1 - x_2| &= |65 - 83| = 18\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} \\ \sqrt{u_1^2 + u_2^2} &= \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} \end{aligned}

   On obtient ainsi sous forme de fraction :

   \boxed{E_n = \frac{18}{\sqrt{29}}}

   Puisque 29 < 36, on a \sqrt{29} < 6, d'où :

   \boxed{E_n > \frac{18}{6} = 3}

   Cohérence des résultats : Au seuil de confiance habituel de 95\,\%, deux mesures indépendantes sont considérées comme statistiquement compatibles si l'écart normalisé vérifie E_n \le 2. Ici, on a E_n > 3 (la probabilité d'un tel écart sous l'hypothèse de fluctuations purement aléatoires est inférieure à 0{,}3\,\%) : les deux valeurs sont donc incontestablement incohérentes (ou incompatibles).

   Explication : L'écart observé ne provient pas d'aléas de mesure mais d'une différence systématique dans le protocole. La légende du tableau 1 précise que « seule la nature de la solution tampon utilisée était différente dans chaque laboratoire ». La nature des espèces chimiques composant le tampon, le pH exact ou la force ionique du milieu modifient l'environnement électrostatique et la solvatation de la myoglobine, affectant ainsi l'énergie de dissociation du ligand et la barrière d'activation \Delta H_{\mathrm{off}}^\ddagger.

   Résultat

   $$E_n=\frac{18}{\sqrt{29}}$$

   $$E_n>\frac{18}{6}=3$$

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5. Exercice 5X-ENS Physique B PC 2025, Q41

   Dans la zone de dérive de longueur L, le champ magnétique \vec{B}_f est quasiment uniforme et dirigé selon l'axe Oz. L'électron y effectue un mouvement hélicoïdal à vitesse scalaire constante v. Sa composante de vitesse longitudinale le long de l'axe Oz vaut :

   v_z = v\cos\theta_f

   Le temps de vol mis par l'électron pour parcourir la distance L le long de l'axe est donc :

   t = \frac{L}{v_z} = \frac{L}{v\cos\theta_f}

   L'expérimentateur, mesurant ce temps de parcours t sur la distance axiale L, évalue la vitesse de l'électron par la relation :

   v_{\text{est}} = \frac{L}{t} = v\cos\theta_f

   L'incertitude (ou erreur systématique par défaut) commise sur la vitesse est donc :

   \frac{\Delta v}{v} = \frac{v - v_{\text{est}}}{v} = 1 - \cos\theta_f

   Puisque les angles \theta_f sont petits (\theta_f \ll 1), on effectue un développement limité à l'ordre 2 :

   1 - \cos\theta_f \approx \frac{\theta_f^2}{2} \approx \frac{\sin^2\theta_f}{2}

   D'après la relation établie à la question Q40, \sin\theta_f = \sqrt{\dfrac{B_f}{B_i}}\sin\theta_i. On en déduit :

   \frac{\Delta v}{v} \approx \frac{1}{2}\frac{B_f}{B_i}\sin^2\theta_i

   Les photoélectrons étant émis dans des directions aléatoires, la valeur de \sin\theta_i n'est pas connue a priori mais vérifie au plus \sin\theta_i \le 1. L'incertitude relative maximale sur la vitesse vaut ainsi :

   \boxed{\left(\frac{\Delta v}{v}\right)_{\max} = \frac{1}{2}\frac{B_f}{B_i}}

   Résultat

   $${\left(\frac{\Delta v}{v}\right)}_{\max }=\frac{1}{2}\frac{B_f}{B_i}$$

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6. Exercice 6E3A Physique-Chimie PC 2024, Q1-Q3

   D'après les résultats obtenus à la question Q2, les valeurs du champ de pesanteur aux altitudes z_0 = 20,0\text{ km} et z_1 = 25,0\text{ km} sont :

   g(z_0) \approx 9,736\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} \quad \text{et} \quad g(z_1) \approx 9,721\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}

   La variation absolue du champ de pesanteur sur l'intervalle d'altitude [z_0, z_1] vaut :

   \Delta g = g(z_0) - g(z_1) \approx 0,015\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}

   L'écart relatif correspondant par rapport à la valeur moyenne est :

   \frac{\Delta g}{g} \approx \frac{0,015}{9,73} \approx 1,5 \times 10^{-3} = 0,15\%

   Cette variation relative étant très faible (inférieure à 0,2\%), on peut légitimement considérer le champ de pesanteur comme uniforme sur toute la zone de vol comprise entre z_0 et z_1, avec une incertitude relative :

   \boxed{\frac{\Delta g}{g} \approx 0,15\%}

   Par rapport à la valeur approchée retenue pour la suite, g = 9,7\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, l'écart maximal reste inférieur à 0,4\%.

   Résultat

   $$\frac{\Delta g}{g}\approx 0,15\%$$

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7. Exercice 7CentraleSupélec Physique 1 PC 2023, Q10

   L'écart entre les vitesses moyennes mesurées vaut :

   \Delta\langle v \rangle = \langle v_p \rangle - \langle v_c \rangle = 19{,}25 - 18{,}53 = 0{,}72\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

   L'incertitude-type associée à cette différence de moyennes indépendantes s'écrit :

   u(\Delta\langle v \rangle) = \sqrt{u(\langle v_c \rangle)^2 + u(\langle v_p \rangle)^2} = \sqrt{0{,}036^2 + 0{,}041^2} \approx 0{,}055\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

   L'écart mesuré représente ainsi plus de 13 fois l'incertitude-type associée :

   \frac{\Delta\langle v \rangle}{u(\Delta\langle v \rangle)} \approx \frac{0{,}72}{0{,}055} \approx 13 \gg 2.

   Par ailleurs, l'observation des histogrammes de la figure 7 montre que même pour des mesures individuelles, les deux distributions sont très nettement disjointes, le recouvrement n'intervenant que de manière très marginale (autour de 18{,}8\text{ à }18{,}9\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, dans les ailes des distributions).

   \boxed{\text{La démarche expérimentale est pleinement pertinente : la répétabilité des mesures permet de distinguer nettement l'effet du casque.}}

   Résultat

   $$\text{La deˊmarche expeˊrimentale est pleinement pertinente : la reˊpeˊtabiliteˊ des mesures permet de distinguer nettement l’effet du casque.}$$

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8. Exercice 8CentraleSupélec Physique 1 PC 2023, Q11

   D'après l'équation (I.2) établie à la question Q3, la vitesse limite en régime permanent vérifie :

   v_{\lim} = \sqrt{\frac{K}{SC_x}} \iff SC_x = \frac{K}{v_{\lim}^2}

   Pour évaluer l'incertitude sur SC_x par la méthode de Monte-Carlo, on tire un échantillon de N vitesses distribuées selon une loi normale d'espérance vitesseMoyenne et d'écart-type incertitudeType. Pour chaque vitesse tirée, on calcule la valeur de SC_x correspondante, puis on en déduit l'estimation (moyenne empirique) et son incertitude-type (écart-type empirique).

   Voici le code proposé :

   import numpy as np
   import numpy.random as rd
   
   def MonteCarlo2(vitesseMoyenne, incertitudeType, N, K):
       generateur = rd.default_rng()
       # Tirage de N vitesses selon une loi normale
       v = generateur.normal(vitesseMoyenne, incertitudeType, N)
       # Calcul vectoriel de SCx pour chaque vitesse simulee
       scx = K / (v**2)
       # Evaluation de SCx et de l'incertitude-type associee
       scx_moyen = np.mean(scx)
       u_scx = np.std(scx, ddof=1)
       return scx_moyen, u_scx

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9. Exercice 9CentraleSupélec Physique 2 PC 2023, Q19

   D'après la question Q18, la masse m s'exprime par :

   m = \frac{\zeta e^2 U U'}{h g v}

   Dans le cadre du Système international révisé :

   • la constante de Planck h et la charge élémentaire e sont des constantes fixées par convention, donc sans incertitude :

     \frac{\Delta h}{h} = 0 \quad \text{et} \quad \frac{\Delta e}{e} = 0

   • les grandeurs quantiques et électriques sont connues avec une précision relative de 10^{-9} :

     \frac{\Delta \zeta}{\zeta} \sim 10^{-9}, \quad \frac{\Delta U}{U} \sim 10^{-9}, \quad \frac{\Delta U'}{U'} \sim 10^{-9}

   • la vitesse v et l'accélération de la pesanteur g sont mesurées avec une précision relative de 10^{-8} :

     \frac{\Delta v}{v} = 10^{-8} \quad \text{et} \quad \frac{\Delta g}{g} = 10^{-8}

   En supposant les incertitudes indépendantes, la propagation quadratique des incertitudes relatives-types donne :

   \begin{aligned} \frac{u(m)}{m} &= \sqrt{\left(\frac{u(v)}{v}\right)^2 + \left(\frac{u(g)}{g}\right)^2 + \left(\frac{u(U)}{U}\right)^2 + \left(\frac{u(U')}{U'}\right)^2 + \left(\frac{u(\zeta)}{\zeta}\right)^2} \\ &= \sqrt{(10^{-8})^2 + (10^{-8})^2 + 3 \times (10^{-9})^2} \\ &= 10^{-8} \times \sqrt{1 + 1 + 0{,}03} \approx \sqrt{2} \times 10^{-8} \approx 1{,}4 \times 10^{-8} \end{aligned}

   Une majoration au sens des incertitudes maximales mènerait à :

   \frac{\Delta m}{m} \le \frac{\Delta v}{v} + \frac{\Delta g}{g} + \frac{\Delta U}{U} + \frac{\Delta U'}{U'} + \frac{\Delta \zeta}{\zeta} = 2{,}3 \times 10^{-8}

   Dans les deux cas, la précision relative théorique sur la mesure du kilogramme est de l'ordre de :

   \boxed{\frac{\Delta m}{m} \approx 10^{-8}}

   (plus précisément comprise entre 1{,}4 \times 10^{-8} et 2{,}3 \times 10^{-8}).

   Résultat

   $$\frac{\Delta m}{m}\approx 10^{-8}$$

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10. Exercice 10CentraleSupélec Physique 2 PC 2023, Q41

    Pour cinq sources d'incertitudes indépendantes de valeurs relatives similaires u_i \approx u_0 (i \in \{1,\dots,5\}), la variance relative combinée s'obtient par sommation quadratique :

    u_c^2 = \sum_{i=1}^{5} u_i^2 \approx 5\, u_0^2 \implies u_c \approx \sqrt{5}\, u_0 \approx 2{,}24\, u_0

    Cette situation d'équirépartition des incertitudes rend toute amélioration ultérieure extrêmement difficile pour deux raisons physiques et métrologiques :

    1. Loi de propagation quadratique et gain marginal : si un progrès technique majeur permettait de rendre négligeable l'une des sources (u_1 \to 0), l'incertitude combinée deviendrait u'_c = \sqrt{4}\, u_0 = 2\, u_0. Le gain relatif sur l'incertitude totale ne serait que de :

       1 - \frac{2}{\sqrt{5}} \approx 10{,}6\,\%

       Pour réduire notablement l'incertitude globale (par exemple la diviser par 2), il est indispensable d'améliorer simultanément l'ensemble des cinq sources d'incertitude.

    2. Verrous technologiques indépendants et multidisciplinaires : les cinq composantes relèvent de domaines de pointe totalement distincts :

       • métrologie dimensionnelle (détermination du volume intérieur à quelques nanomètres près) ;
       • métrologie thermique (stabilité et homogénéité en température du point triple) ;
       • physico-chimie et spectrométrie de masse (pureté chimique et composition isotopique du gaz rare) ;
       • acoustique et traitement du signal (correction des perturbations dues aux transducteurs et à la couche limite visco-thermique) ;
       • thermodynamique statistique (extrapolation à pression nulle via les coefficients du viriel).

    Chacune de ces composantes se trouvant déjà à la limite ultime de l'état de l'art technologique, franchir un ordre de grandeur supplémentaire nécessiterait des avancées de rupture simultanées dans cinq branches métrologiques différentes, ce qui constitue une limite pratique quasi infranchissable.

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