Feuille d'entraînement : Ondes et signaux

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique MP 2026, Q14

   1. Définitions et exemples :

      • Une onde longitudinale est une onde pour laquelle la direction de la perturbation (déplacement de matière, déformation) est parallèle à la direction de propagation de l'onde.

        \text{\textit{Exemples} : une onde sonore dans un fluide, une onde de compression le long d'un ressort, ou les ondes sismiques primaires (ondes P).}

      • Une onde transversale est une onde pour laquelle la direction de la perturbation est perpendiculaire à la direction de propagation de l'onde.

        \text{\textit{Exemples} : la vibration d'une corde de Melde, une onde électromagnétique dans le vide, ou les ondes sismiques secondaires de cisaillement (ondes S).}

   2. Signification de c_{\mathrm{s}} :

      Dans l'équation de D'Alembert unidimensionnelle \dfrac{\partial^2 \underline{s}}{\partial z^2} - \dfrac{1}{c_{\mathrm{s}}^2} \dfrac{\partial^2 \underline{s}}{\partial t^2} = 0, la constante réelle positive c_{\mathrm{s}} représente la célérité (ou vitesse de propagation) de l'onde sismique dans le milieu considéré.

      \boxed{c_{\mathrm{s}} \text{ est la célérité de propagation de l'onde mécanique dans le sol (en }\mathrm{m\cdot s^{-1}}\text{).}}

   Résultat

   $$c_{\mathrm{s}}\text{ est la ceˊleˊriteˊ de propagation de l’onde meˊcanique dans le sol (en }\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}\text{).}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique 2 PC 2026, Q33

   L'état de repos est uniforme et stationnaire : \mu_0, p_0, T_0 sont constants et la vitesse au repos est nulle (v_0 = 0). Les grandeurs indicées par 1 sont des infiniment petits du premier ordre.

   1. Équation de conservation de la masse L'écoulement étant unidimensionnel suivant l'axe x, l'équation de conservation de la masse s'écrit :

   \frac{\partial \mu}{\partial t} + \frac{\partial(\mu v)}{\partial x} = 0

   En introduisant les grandeurs perturbées :

   \frac{\partial}{\partial t}(\mu_0 + \mu_1) + \frac{\partial}{\partial x}\big((\mu_0 + \mu_1)v_1\big) = 0

   Puisque \mu_0 est constante et que le terme \mu_1 v_1 est d'ordre 2, la relation linéarisée au premier ordre devient :

   \frac{\partial \mu_1}{\partial t} + \mu_0 \frac{\partial v_1}{\partial x} = 0

   2. Équation d'Euler En négligeant la pesanteur devant les forces de pression acoustiques, la projection de l'équation d'Euler sur l'axe x s'écrit :

   \mu \left( \frac{\partial v}{\partial t} + v \frac{\partial v}{\partial x} \right) = -\frac{\partial p}{\partial x}

   En y substituant les grandeurs perturbées :

   (\mu_0 + \mu_1)\left( \frac{\partial v_1}{\partial t} + v_1 \frac{\partial v_1}{\partial x} \right) = -\frac{\partial(p_0 + p_1)}{\partial x}

   Le terme convectif v_1 \frac{\partial v_1}{\partial x} ainsi que le produit \mu_1 \frac{\partial v_1}{\partial t} sont d'ordre 2. Sachant que p_0 est uniforme (\frac{\partial p_0}{\partial x} = 0), la linéarisation au premier ordre donne :

   \mu_0 \frac{\partial v_1}{\partial t} = -\frac{\partial p_1}{\partial x}

   3. Coefficient de compressibilité isentropique L'évolution acoustique étant supposée isentropique, on a par définition :

   \chi_S = \frac{1}{\mu}\left(\frac{\partial \mu}{\partial p}\right)_S \implies \mathrm{d}\mu = \mu \chi_S\,\mathrm{d}p

   Au premier ordre autour de l'état de repos (\mu_0, p_0), avec \chi_S évalué à l'état de référence :

   \mu_1 = \mu_0 \chi_S p_1

   En dérivant cette relation par rapport au temps, on obtient l'équation différentielle correspondante :

   \frac{\partial \mu_1}{\partial t} = \mu_0 \chi_S \frac{\partial p_1}{\partial t}

   Système des trois équations différentielles Les trois équations différentielles régissant l'évolution des perturbations du premier ordre forment le système :

   \boxed{\left\{ \begin{aligned} \frac{\partial \mu_1}{\partial t} + \mu_0 \frac{\partial v_1}{\partial x} &= 0 \\[4pt] \mu_0 \frac{\partial v_1}{\partial t} + \frac{\partial p_1}{\partial x} &= 0 \\[4pt] \frac{\partial \mu_1}{\partial t} - \mu_0 \chi_S \frac{\partial p_1}{\partial t} &= 0 \end{aligned} \right.}

   Résultat

   $$\{\begin{array}{rl}\frac{\partial {\mu }_1}{\partial t}+{\mu }_0\frac{\partial v_1}{\partial x}& =0\\ {\mu }_0\frac{\partial v_1}{\partial t}+\frac{\partial p_1}{\partial x}& =0\\ \frac{\partial {\mu }_1}{\partial t}-{\mu }_0{\chi }_S\frac{\partial p_1}{\partial t}& =0\end{array}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique 2 PC 2026, Q34

   D'après la question Q33, le système d'équations linéarisées s'écrit :

   \begin{align*} \frac{\partial \mu_1}{\partial t} + \mu_0 \frac{\partial v_1}{\partial x} &= 0 \tag{1} \\ \mu_0 \frac{\partial v_1}{\partial t} &= -\frac{\partial p_1}{\partial x} \tag{2} \\ \mu_1 &= \mu_0 \chi_S p_1 \tag{3}\end{align*}

   En dérivant la relation (3) par rapport au temps t, on obtient :

   \frac{\partial \mu_1}{\partial t} = \mu_0 \chi_S \frac{\partial p_1}{\partial t}

   En injectant cette expression dans l'équation de conservation de la masse (1), et après simplification par \mu_0 > 0, il vient :

   \chi_S \frac{\partial p_1}{\partial t} + \frac{\partial v_1}{\partial x} = 0

   Dérivons cette équation par rapport au temps t :

   \chi_S \frac{\partial^2 p_1}{\partial t^2} + \frac{\partial^2 v_1}{\partial t \partial x} = 0

   Par ailleurs, dérivons l'équation d'Euler (2) par rapport à x :

   \mu_0 \frac{\partial^2 v_1}{\partial x \partial t} = -\frac{\partial^2 p_1}{\partial x^2} \implies \frac{\partial^2 v_1}{\partial x \partial t} = -\frac{1}{\mu_0}\frac{\partial^2 p_1}{\partial x^2}

   En vertu du théorème de Schwarz, l'inversion de l'ordre des dérivées partielles est licite :

   \frac{\partial^2 v_1}{\partial t \partial x} = \frac{\partial^2 v_1}{\partial x \partial t}

   On en déduit :

   \chi_S \frac{\partial^2 p_1}{\partial t^2} - \frac{1}{\mu_0} \frac{\partial^2 p_1}{\partial x^2} = 0

   soit l'équation de d'Alembert unidimensionnelle :

   \boxed{\frac{\partial^2 p_1}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 p_1}{\partial t^2} = 0}

   avec la célérité c des ondes acoustiques donnée par :

   \boxed{c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \chi_S}}}

   Résultat

   $$\frac{{\partial }^2{p}_1}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2{p}_1}{\partial t^2}=0$$

   $$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\chi }_S}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2026, Q30

   Le fil est fixé à ses deux extrémités au niveau des coupelles en x = -L/2 et x = +L/2. Les conditions aux limites s'écrivent donc à tout instant t :

   \boxed{s\!\left(-\frac{L}{2}, t\right) = 0 \quad \text{et} \quad s\!\left(\frac{L}{2}, t\right) = 0}

   En injectant la forme d'onde stationnaire s(x, t) = A \cos(\omega t + \varphi)\sin(kx + \psi) dans ces conditions, on obtient, pour une vibration d'amplitude non identiquement nulle (A \neq 0) :

   \begin{aligned} \sin\left(-k\frac{L}{2} + \psi\right) &= 0 \iff -k\frac{L}{2} + \psi = m_1 \pi \quad (m_1 \in \mathbb{Z}) \\ \sin\left(k\frac{L}{2} + \psi\right) &= 0 \iff k\frac{L}{2} + \psi = m_2 \pi \quad (m_2 \in \mathbb{Z}) \end{aligned}

   En effectuant la différence de ces deux équations :

   k L = (m_2 - m_1)\pi = p \pi \quad \text{avec } p \in \mathbb{N}^* \text{ (car } k > 0 \text{)}

   Le nombre d'onde est ainsi quantifié sous la forme :

   k_p = \frac{p\pi}{L}

   D'après la question Q29, on a k = \omega / c. Les pulsations propres possibles \omega_p s'en déduisent immédiatement :

   \boxed{\omega_p = \frac{p\pi c}{L} \quad (p \in \mathbb{N}^*)}

   En faisant la somme des deux équations précédentes, on a 2\psi = (m_1 + m_2)\pi. En choisissant le déphasage spatial \psi_p = \frac{p\pi}{2} (modulo \pi), la partie spatiale du mode propre p s'écrit :

   \sin\left(k_p x + \psi_p\right) = \sin\left[\frac{p\pi}{L}\left(x + \frac{L}{2}\right)\right]

   L'équation de d'Alembert étant linéaire et les conditions aux limites homogènes, le principe de superposition permet d'exprimer la forme transversale générale \xi(x, t) en régime libre comme la somme de tous les modes propres :

   \boxed{\xi(x, t) = \sum_{p=1}^{+\infty} A_p \cos(\omega_p t + \varphi_p) \sin\left[\frac{p\pi}{L}\left(x + \frac{L}{2}\right)\right]}

   où les constantes d'amplitude A_p et de phase temporelle \varphi_p sont fixées par les conditions initiales de position \xi(x, 0) et de vitesse \frac{\partial \xi}{\partial t}(x, 0) du fil.

   Résultat

   $$s\left(-\frac{L}{2},t\right)=0\text{et}s\left(\frac{L}{2},t\right)=0$$

   $${\omega }_p=\frac{p\pi c}{L}(p\in {\mathbb{N}}^{\ast })$$

   $$\xi (x,t)=\sum _{p=1}^{+\infty }{A}_p\cos ({\omega }_{p}t+{\phi }_p)\sin \left[\frac{p\pi }{L}\left(x+\frac{L}{2}\right)\right]$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5E3A Physique-Chimie PC 2026, Q21

   1. Définitions des vitesses de phase et de groupe

   • La vitesse de phase v_\varphi est la vitesse de propagation des surfaces d'égale phase (crêtes ou creux de l'onde pour une onde monochromatique) :

     v_\varphi = \frac{\omega}{k}

   • La vitesse de groupe v_g est la vitesse de propagation de l'enveloppe d'un paquet d'ondes, correspondant à la vitesse de transport de l'énergie :

     v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k}

   2. Expressions en fonction de g et k

   D'après la relation de dispersion établie à la question Q20 :

   \omega(k) = \sqrt{g k} = g^{1/2} k^{1/2}

   On en déduit l'expression de la vitesse de phase :

   v_\varphi = \frac{\sqrt{gk}}{k} = \sqrt{\frac{g}{k}}

   \boxed{v_\varphi = \sqrt{\frac{g}{k}}}

   Puis l'expression de la vitesse de groupe par dérivation :

   v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = \frac{1}{2} g^{1/2} k^{-1/2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{k}}

   \boxed{v_g = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{k}}}

   3. Relation reliant les deux vitesses

   En comparant directement les deux expressions obtenues :

   \boxed{v_g = \frac{1}{2} v_\varphi}

   Résultat

   $$v_{\phi }=\sqrt{\frac{g}{k}}$$

   $$v_g=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{k}}$$

   $$v_g=\frac{1}{2}{v}_{\phi }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6E3A Physique-Chimie PSI 2026, Q8

   L'équation locale de conservation de la masse (ou équation de continuité) pour un écoulement unidimensionnel dirigé selon \vec{u}_z s'écrit :

   \frac{\partial \varrho}{\partial t} + \frac{\partial (\varrho \tilde{v})}{\partial z} = 0

   En introduisant les champs perturbés \varrho(z, t) = \varrho_0 + \tilde{\varrho}(z, t) et \vec{v}(z, t) = \tilde{v}(z, t)\vec{u}_z, et sachant que l'état de repos est stationnaire et spatialement uniforme (\partial \varrho_0/\partial t = 0 et \partial \varrho_0/\partial z = 0), l'équation devient :

   \frac{\partial \tilde{\varrho}}{\partial t} + \varrho_0 \frac{\partial \tilde{v}}{\partial z} + \frac{\partial (\tilde{\varrho}\tilde{v})}{\partial z} = 0

   Dans le cadre de l'approximation acoustique (perturbations du premier ordre), le terme \tilde{\varrho}\tilde{v} est un infiniment petit du second ordre. En négligeant ce terme non linéaire devant les termes d'ordre un, on obtient l'équation linéarisée de conservation de la masse :

   \boxed{\frac{\partial \tilde{\varrho}}{\partial t} + \varrho_0 \frac{\partial \tilde{v}}{\partial z} = 0}

   Résultat

   $$\frac{\partial \tilde{\varrho }}{\partial t}+{\varrho }_0\frac{\partial \tilde{v}}{\partial z}=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7E3A Physique-Chimie PSI 2026, Q11

   Rappelons les trois équations obtenues aux questions Q8, Q9 et Q10 :

   • conservation de la masse :

     \frac{\partial \tilde{\varrho}}{\partial t} + \varrho_0 \frac{\partial \tilde{v}}{\partial z} = 0 \tag{1}

   • équation d'Euler acoustique :

     \varrho_0 \frac{\partial \tilde{v}}{\partial t} = -\frac{\partial \tilde{p}}{\partial z} \tag{2}

   • relation de couplage thermodynamique :

     \tilde{\varrho} = \varrho_0 \chi_s \tilde{p} \tag{3}

   En injectant la relation (3) dans l'équation de conservation de la masse (1), sachant que \varrho_0 et \chi_s sont des constantes de l'état de repos, il vient :

   \varrho_0 \chi_s \frac{\partial \tilde{p}}{\partial t} + \varrho_0 \frac{\partial \tilde{v}}{\partial z} = 0 \iff \chi_s \frac{\partial \tilde{p}}{\partial t} + \frac{\partial \tilde{v}}{\partial z} = 0 \tag{4}

   Pour éliminer la vitesse acoustique \tilde{v}, dérivons l'équation (4) par rapport au temps t :

   \chi_s \frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial t^2} + \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial t \partial z} = 0

   et dérivons l'équation d'Euler (2) par rapport à l'espace z :

   \varrho_0 \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial z \partial t} = -\frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial z^2}

   D'après le théorème de Schwarz, pour des champs de classe \mathscr{C}^2, les dérivées croisées commutent : \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial t \partial z} = \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial z \partial t}. En substituant \frac{\partial^2 \tilde{v}}{\partial t \partial z} = -\frac{1}{\varrho_0} \frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial z^2}, on obtient :

   \chi_s \frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial t^2} - \frac{1}{\varrho_0} \frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial z^2} = 0 \iff \frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial z^2} = \varrho_0 \chi_s \frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial t^2}

   En posant la constante c_s définie par :

   \frac{1}{c_s^2} = \varrho_0 \chi_s

   la surpression \tilde{p}(z,t) vérifie l'équation aux dérivées partielles :

   \boxed{\frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial z^2} = \frac{1}{c_s^2} \frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial t^2}}

   Résultat

   $$\frac{{\partial }^2\tilde{p}}{\partial z^2}=\frac{1}{c_s^2}\frac{{\partial }^2\tilde{p}}{\partial t^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8ENS Physique U PSI 2026, Q1

   L'équation aux dérivées partielles (1) reliant le laplacien spatial du champ de surpression p(\vec{r},t) à sa dérivée temporelle seconde :

   \Delta p - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0

   est l'équation de d'Alembert (ou équation des ondes de d'Alembert).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9ENS Physique U PSI 2026, Q2

   La fonction proposée s'écrit en coordonnées cartésiennes :

   p_{\vec{k},\omega}(\vec{r}, t) = p_{\vec{k},\omega}^{(0)} \cos(k_x x + k_y y + k_z z - \omega t).

   Calculons les dérivées partielles spatiales :

   \begin{aligned} \frac{\partial p_{\vec{k},\omega}}{\partial x} &= - k_x p_{\vec{k},\omega}^{(0)} \sin(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t), \\ \frac{\partial^2 p_{\vec{k},\omega}}{\partial x^2} &= - k_x^2 p_{\vec{k},\omega}^{(0)} \cos(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t) = - k_x^2 p_{\vec{k},\omega}(\vec{r}, t). \end{aligned}

   Il en va de même selon y et z, d'où pour le laplacien scalaire :

   \Delta p_{\vec{k},\omega} = \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) p_{\vec{k},\omega} = -(k_x^2 + k_y^2 + k_z^2) p_{\vec{k},\omega} = - k^2 p_{\vec{k},\omega}(\vec{r}, t).

   Pour la dérivée temporelle seconde :

   \begin{aligned} \frac{\partial p_{\vec{k},\omega}}{\partial t} &= \omega p_{\vec{k},\omega}^{(0)} \sin(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t), \\ \frac{\partial^2 p_{\vec{k},\omega}}{\partial t^2} &= -\omega^2 p_{\vec{k},\omega}^{(0)} \cos(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t) = -\omega^2 p_{\vec{k},\omega}(\vec{r}, t). \end{aligned}

   En injectant ces résultats dans l'équation de d'Alembert (1), on obtient :

   \Delta p_{\vec{k},\omega} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 p_{\vec{k},\omega}}{\partial t^2} = \left(-k^2 + \frac{\omega^2}{c^2}\right) p_{\vec{k},\omega}(\vec{r}, t) = 0.

   Pour que cette égalité soit vérifiée en tout point \vec{r} et à tout instant t pour une solution non identiquement nulle, il faut et il suffit que :

   \omega^2 - c^2 k^2 = 0.

   Puisque \omega \geqslant 0 et k \geqslant 0, la condition s'écrit :

   \boxed{\omega = c k}

   Cette équation reliant la pulsation \omega au vecteur d'onde (ici sa norme k) s'appelle la relation de dispersion.

   Résultat

   $$\omega =ck$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10ENS Physique U PSI 2026, Q7

    Considérons une particule fluide de masse constante \mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}V occupant un parallélépipède de dimensions (\mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z) et de volume \mathrm{d}V = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z, animée de la vitesse \vec{v}(\vec{r}, t) dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

    Sa quantité de mouvement est :

    \mathrm{d}\vec{q} = \mathrm{d}m\,\vec{v} = \rho\,\mathrm{d}V\,\vec{v}.

    Le taux de variation temporel de \mathrm{d}\vec{q} s'écrit, pour cette particule fermée (\mathrm{d}m = \text{cte}) :

    \frac{\mathrm{d}(\mathrm{d}\vec{q})}{\mathrm{d}t} = \mathrm{d}m\,\frac{\mathrm{D}\vec{v}}{\mathrm{D}t} = \rho\,\mathrm{d}V\left[\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v}\right].

    Le fluide étant parfait et les forces volumiques extérieures (comme la pesanteur) étant négligées, les seules forces agissant sur la particule sont les forces de pression. Évaluons la composante de la résultante de ces forces selon \vec{e}_x :

    • sur la face d'abscisse x, normale sortante -\vec{e}_x, la force reçue est P(x, y, z, t)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_x ;
    • sur la face d'abscisse x + \mathrm{d}x, normale sortante +\vec{e}_x, la force reçue est -P(x+\mathrm{d}x, y, z, t)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_x.

    Le bilan selon \vec{e}_x donne :

    \mathrm{d}F_{p,x} = [P(x, y, z, t) - P(x+\mathrm{d}x, y, z, t)]\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = -\frac{\partial P}{\partial x}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z.

    Comme P(\vec{r}, t) = P_0 + p(\vec{r}, t) avec P_0 uniforme, \dfrac{\partial P}{\partial x} = \dfrac{\partial p}{\partial x}. En sommant sur les trois directions d'espace, la résultante des forces de pression s'écrit :

    \mathrm{d}\vec{F}_p = -\vec{\operatorname{grad}} p \,\, \mathrm{d}V.

    D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à la particule fluide :

    \rho\,\mathrm{d}V\left[\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v}\right] = -\vec{\operatorname{grad}} p \,\, \mathrm{d}V.

    Dans le cadre de l'approximation acoustique :

    • la vitesse v est du premier ordre en perturbation, donc le terme convectif (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} \sim v^2/\lambda est d'ordre 2, tout à fait négligeable devant \dfrac{\partial \vec{v}}{\partial t} \sim \omega v = \dfrac{c}{\lambda} v dès lors que v \ll c ;
    • la masse volumique \rho = \rho_0 + \rho est remplacée au premier ordre par \rho_0.

    En simplifiant par \mathrm{d}V, on obtient la relation d'Euler acoustique linéarisée :

    \boxed{\rho_0 \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \simeq -\vec{\operatorname{grad}} p}

    Résultat

    $${\rho }_0\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}\simeq -\overrightarrow{\mathrm{grad}}p$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question