Matrices semblables à leurs multiples

Résolution.

1. 1. Soient $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et $\alpha \in \mathbb{C}$. Notons $\text{Sp}(M)$ l'ensemble des valeurs propres de $M$. Par hypothèse, $M$ et $\alpha M$ sont semblables, donc elles ont le même spectre :
      $$\text{Sp}(M) = \text{Sp}(\alpha M)$$
      Or, par linéarité de la valeur propre, on sait que :
      $$\text{Sp}(\alpha M) = \{ \alpha \lambda \mid \lambda \in \text{Sp}(M) \}$$
      Ainsi, pour toute valeur propre $\lambda$ de $M$, le complexe $\alpha \lambda$ est aussi une valeur propre de $M$.
      $$\boxed{\lambda \in \text{Sp}(M) \implies \alpha \lambda \in \text{Sp}(M)}$$

   2. Supposons par l'absurde qu'il existe une valeur propre $\lambda \neq 0$. D'après la question précédente, par récurrence immédiate, pour tout entier naturel $k$ :
      $$\alpha^k \lambda \in \text{Sp}(M)$$
      Si $|\alpha| > 1$, alors $|\alpha^k \lambda| = |\alpha|^k |\lambda| \xrightarrow[k \to +\infty]{} +\infty$. Si $0 < |\alpha| < 1$, alors $|\alpha^k \lambda| = |\alpha|^k |\lambda| \xrightarrow[k \to +\infty]{} 0$. Dans les deux cas (puisque $|\alpha| \neq 1$ et $\lambda \neq 0$), l'ensemble $\{ \alpha^k \lambda \mid k \in \mathbb{N} \}$ contient une infinité de valeurs distinctes. Cela contredit le fait que le spectre d'une matrice de taille $n$ contient au plus $n$ éléments. Par conséquent, la seule valeur propre possible est $0$ :
      $$\boxed{\text{Sp}(M) = \{0\}}$$
      Comme nous sommes sur $\mathbb{C}$, le polynôme caractéristique de $M$ est scindé. Puisque $0$ est l'unique valeur propre, on en déduit que :
      $$\chi_M(X) = X^n$$
      D'après le théorème de Cayley-Hamilton, $M^n = 0$, donc $M$ est nilpotente.

   3. Si $M$ est nilpotente, alors $M$ est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte $T$. Alors $2M$ est semblable à $2T$, qui est aussi une matrice triangulaire supérieure stricte. Toutefois, la nilpotence seule ne suffit pas à garantir la similitude entre $M$ et $2M$. D'après les questions précédentes, la condition nécessaire est que $M$ soit nilpotente. Réciproquement, si $M$ est nilpotente, elle est semblable à sa forme de réduction (par exemple via les noyaux itérés). Pour $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, la condition est :
      $$\boxed{M \text{ est nilpotente}}$$

2. Posons $\mathbb{K} = \mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$. Les éléments non nuls forment le groupe multiplicatif $\mathbb{K}^\times = \{ \bar{1}, \bar{2}, \dots, \overline{p-1} \}$. Considérons la matrice diagonale $M \in \mathcal{M}_{p-1}(\mathbb{K})$ définie par :
   $$M = \text{diag}(\bar{1}, \bar{2}, \dots, \overline{p-1})$$
   Cette matrice n'est pas nilpotente car elle est inversible (son déterminant est $(\overline{p-1})! \neq \bar{0}$). Soit $a \in \mathbb{K}^\times$. La matrice $aM$ est la matrice diagonale :
   $$aM = \text{diag}(a \cdot \bar{1}, a \cdot \bar{2}, \dots, a \cdot \overline{p-1})$$
   L'application $\phi_a : x \mapsto ax$ est une bijection de $\mathbb{K}^\times$ vers lui-même. Ainsi, les coefficients diagonaux de $aM$ sont exactement les mêmes que ceux de $M$, à l'ordre près. Deux matrices diagonales ayant les mêmes coefficients diagonaux à une permutation près sont semblables (via une matrice de permutation). On a donc bien trouvé une matrice $M$ non nilpotente telle que :
   $$\boxed{\forall a \in \mathbb{K}^\times,   M \sim aM}$$