Agrégation mathématiques interne 2010, épreuve 1Sujet

Le sujet étudie les suites linéaires récurrentes à valeurs dans un espace vectoriel, via la notion de polynôme minimal, annulateur de la suite pour l'opérateur de décalage. La partie I introduit cette notion et l'exemple des suites u_n = W^t A^n V associées à une matrice. La partie II caractérise les suites scalaires récurrentes par la nullité, à partir d'un rang, de déterminants de Hankel. La partie III relie ces polynômes à l'algèbre linéaire via une forme bilinéaire modulo un polynôme F. La partie IV présente l'algorithme de Berlekamp-Massey, qui calcule ce polynôme via Euclide étendu.

1. 1Partie I : polynôme minimal d'une suite linéaire récurrenteOn définit l'annulateur et le polynôme minimal d'une suite pour l'opérateur de décalage, on étudie des exemples explicites et le cas des suites u_n = W^t A^n V associées à une matrice A.
2. 2Partie II : caractérisation par les déterminants de HankelOn démontre qu'une suite scalaire est linéaire récurrente si et seulement si les déterminants de Hankel associés s'annulent à partir d'un certain rang, avec une méthode de calcul du polynôme minimal.
3. 3Partie III : polynômes minimaux en algèbre linéaireOn construit une forme bilinéaire symétrique modulo un polynôme F et on l'utilise pour relier le polynôme minimal d'une suite associée à une matrice au pgcd de deux polynômes, avec une estimation probabiliste sur un corps fini.
4. 4Partie IV : l'algorithme de Berlekamp-MasseyOn développe, à partir de l'algorithme d'Euclide étendu, un algorithme efficace pour calculer le polynôme minimal d'une suite linéaire récurrente scalaire connaissant une majoration de son degré.