Agrégation mathématiques interne 2010, épreuve 2Sujet

Le sujet étudie l'équation fonctionnelle de Guichard f(z+1) - f(z) = g(z) et sa variante multiplicative aux q-différences. La partie I étudie cette équation sur les polynômes via l'opérateur de différence première, localement nilpotent, et la base des polynômes de Hilbert. La partie II construit l'espace des fonctions entières et ses propriétés. La partie III résout l'équation sur cet espace à l'aide des polynômes de Bernoulli modifiés, avec une application à la comparaison série-intégrale. La partie IV étudie la version multiplicative, liée à l'approximation diophantienne d'un irrationnel.

1. 1Partie I : l'équation (G) sur les polynômes et les opérateurs nilpotentsOn étudie l'opérateur de différence première sur les polynômes, localement nilpotent, la base des polynômes de Hilbert, et on applique ces résultats au calcul de sommes de puissances d'entiers.
2. 2Partie II : l'espace des fonctions entièresOn construit l'espace des fonctions entières, ses propriétés de stabilité, la notion de multiplicateur de cet espace, et on étudie l'opérateur de différence sur cet espace.
3. 3Partie III : résolution de l'équation de Guichard sur les fonctions entièresOn construit des polynômes de Bernoulli modifiés pour résoudre l'équation de Guichard sur l'espace des fonctions entières, avec une application au développement d'Euler-Maclaurin et à la comparaison série-intégrale.
4. 4Partie IV : la version multiplicative de l'équation de GuichardOn étudie l'équation aux q-différences f(qz) - f(z) = g(z), dont la résolubilité dépend de la vitesse d'approximation diophantienne de l'argument de q par des rationnels.