ENS Mathématiques BCPST 2000Sujet

SESSION 2000

Filière BCPST

(Épreuve commune aux ENS: Ulm, Lyon et Cachan)

Durée : 4 heures

L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé pour toutes les épreuves d'admissibilité, sauf pour les épreuves de français et de langues. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

La notion de conflit entre organismes est fondamentale en biologie de l'évolution: concurrence pour l'accès aux ressources au sein d'une mème espèce, conflit entre une espèce prédatrice et ses proies, ou entre une espèce hôte et ses parasites. La théorie des jeux, issue de l'économie, permet de modéliser les effets d'un conflit sur la valeur sélective de chaque phénotype en présence. L'idée générale est que, dans son interaction conflictuelle avec un adversaire, un joueur donné adopte une certaine stratégie; le bilan de l'interaction se solde par un payoff, c'est à dire un gain ou une perte qui dépend de la stratégie du joueur et de celle adoptée par l'adversaire. Dans le contexte biologique, un coup du jeu représente l'interaction, la stratégie est vue comme un trait phénotypique, le payoff est répercuté sur le succès reproducteur, et la sélection naturelle remplace la rationalité des joueurs. L'étude proposée dans ce problème est motivée par la question de la diversification, au cours de l'évolution, des stratégies d'attaque et de résistance d'une espèce parasite et de son espèce hôte.

Dans tout le problème on considère un jeu à somme nulle opposant deux adversaires, c'est à dire qu'à chaque coup le payoff gagné (ou perdu) par un joueur est exactement égal à l'opposé du payoff perdu (ou gagné) par son adversaire.

On note R l'ensemble des nombres réels; N^∗, l'ensemble des nombres entiers strictement positifs ; M_(m, n)(R), l'ensemble des matrices à coefficients réels comportant m lignes et n colonnes. On suppose que les joueurs (1) et (2) disposent de m et n stratégies respectivement. Pour tout i ∈ {1, …, m} et tout j ∈ {1, …, n}, on note a_(ij) le payoff du joueur (1) contre le joueur (2) si (1) choisit la stratégie i et (2) choisit la stratégie j. On note A ∈ M_(m, n)(R) la 'matrice du jeu' dont les coefficients sont les réels a_(ij). Dans un jeu à somme nulle, le joueur (1) cherche une stratégie qui maximise son payoff, tandis que le joueur (2) cherche une stratégie qui minimise son propre payoff.

On peut traiter les Parties I à IV indépendamment les unes des autres à condition d'avoir pris connaissance des notions introduites dans la ou les Parties précédentes (indiquées en caractères gras). La Partie V vise à établir des résultats techniques sur la distribution de sommes de variables aléatoires indépendantes. Elle peut être résolue de manière complètement
indépendante des Parties I-IV. Cependant, on évitera d'aborder les questions V. 4 et V.5, plus difficiles, au détriment de la résolution du reste du problème.

Toutes les variables aléatoires qui interviennent sont réelles. E(X) désigne l'espérance mathématique d'une variable aléatoire X.P(U) désigne la probabilité d'un événement U. On utilise la notation ' ∙ pour indiquer la transposition du vecteur ou de la matrice ∙.

I.1. Montrer que le joueur (1) peut choisir une stratégie qui lui garantisse un gain au moins égal à max_(1 ≤ i ≤ m)min_(1 ≤ j ≤ n)a_(ij), et que le joueur (2) peut choisir une stratégie qui lui garantisse une perte au plus égale à min_(1 ≤ j ≤ n)max_(1 ≤ i ≤ m)a_(ij).
I.2. Montrer : max_(1 ≤ i ≤ m)min_(1 ≤ j ≤ n)a_(ij) ≤ min_(1 ≤ j ≤ n)max_(1 ≤ i ≤ m)a_(ij).
1.3. Lorsqu'il y a égalité, max_(1 ≤ i ≤ m)min_(1 ≤ j ≤ n)a_(ij) = min_(1 ≤ j ≤ n)max_(1 ≤ i ≤ m)a_(ij), on note v la valeur commune à ces deux termes. Montrer qu'il existe alors deux entiers i^∗ ∈ {1, …, m} et j^∗ ∈ {1, …, n} tels que v = a_(i^∗ j^∗), et pour tout i ∈ {1, …, m} et tout j ∈ {1, …, n}, a_(ij^∗) ≤ v ≤ a_(i^∗ j).
I.4. Réciproquement, montrer que s'il existe un couple (i^∗, j^∗) ∈ {1, …, m} × {1, …, n} tel que pour tout i ∈ {1, …, m} et tout j ∈ {1, …, n} on a a_(ij^∗) ≤ a_(i^∗ j^∗) ≤ a_(i^∗ j), alors on est dans le cas d'égalité max_(1 ≤ i ≤ m)min_(1 ≤ j ≤ n)a_(ij) = min_(1 ≤ j ≤ n)max_(1 ≤ i ≤ m)a_(ij), et cette valeur est égale à a_(i^∗ j^∗).

Dans ce cas, on dit alors que i^∗ et j^∗ sont les stratégies optimales des joueurs (1) et (2) respectivement, et que le couple (i^∗, j^∗) est un point-selle du jeu.
I.5. Montrer que si (i^∗, j^∗) et (k^∗, l^∗) sont deux points-selle du jeu, alors a_(i^∗ j^∗) = a_(k^∗ l^∗).
I.6. "Caillou-papier-ciseaux" est un célèbre jeu enfantin. Deux joueurs disposent chacun des trois stratégies "caillou", "papier" et "ciseaux". A chaque coup du jeu, les joueurs annoncent simultanément leur choix, "caillou", ou "papier", ou "ciseaux". En cas d'annonces identiques, le coup compte zéro pour les deux joueurs; sinon, "ciseaux" bat " papier ", qui bat " caillou ", qui bat " ciseaux ", et le gagnant rafle une unité au perdant. Ecrire la matrice du jeu. Ce jeu possède-t-il un point-selle?

Tournez la page S.V.P.

Soit p un entier ≥ 2. On désigne par Σ_p l'ensemble des vecteurs de R^p dont les coordonnées sont positives ou nulles et ont une somme égale à 1 . Un élément x de Σ_m est appelé «stratégie mixte " pour le joueur (1) ; et on appelle un élément y de Σ_n, une stratégie mixte pour le joueur (2). L'interprétation de la notion de stratégie mixte x = ^′(x_1, …, x_m) (respectivement y = ^t(y_1, …, y_n)) est que le joueur (1) [resp. (2)] joue chacune des stratégies i ∈ {1, …, m} avec probabilité x_i (resp. j ∈ {1, …, n} avec probabilité y_j ).
II.1. Montrer que le joueur (1) peut choisir une stratégie mixte qui lui garantisse un gain au moins égal à max_(x ∈ Σ_m)min_(y ∈ Σ_n)^t xAy, et que le joueur (2) peut choisir une stratégie mixte qui lui garantisse une perte au plus égale à min_(y ∈ Σ_n)max_(x ∈ Σ_n)^i xAy.
II.2. Montrer : max_(x ∈ Σ_m)min_(y ∈ Σ_n)^t xAy ≤ min_(y ∈ Σ_n)max_(x ∈ Σ_m)^t xAy.

Dans la suite de cette partie on fixe m = 3 (tous les résultats établis en dimension 3 pourraient se généraliser en dimension supérieure). Soit O un point de l'espace affine R^3 définissant l'origine d'un repère orthonormé. Pour tout point a ∈ R^3 on note Oa le vecteur d'extrémités O et a. Sur l'espace affine R^3 on définit la distance euclidienne de deux points quelconques a et b, notée d(a, b), en posant: d(a, b) = √((a_1 − b_1)^2 + (a_2 − b_2)^2 + (a_3 − b_3)^2), où les réels a_1, a_2, a_3 et b_1, b_2, b_3 sont les coordonnées de a et b. Etant donnés n points a^((1)) = (a_(11), a_(21), a_(31)), a^((2)) = (a_(12), a_(22), a_(32)), …, a^((n)) = (a_(1n), a_(2n), a_(3n)) fixés, on définit l'enveloppe convexe C de ces n points a^((1)), a^((2)), …, a^((n)) comme étant l'ensemble des points a ∈ R^3 pour lesquels il existe n réels t_1, …, t_n (qui dépendent de a ) tous positifs ou nuls, de somme égale à 1 , et tels que

II.3. Montrer que, en effet, l'ensemble C est convexe, c'est à dire que quels que soient a ∈ C, b ∈ C et λ ∈ [0, 1], le point c défini par Oc = λOa + (1 − λ)Ob appartient à C.
II.4. On suppose que O n'appartient pas à C. On admet qu'il existe alors s = (s_1, s_2, s_3) ∈ C tel que d(O, s) = inf_(a ∈ C)d(O, a), ce qui signifie que s réalise la distance de O à C. Montrer que pour tout a ∈ C de coordonnées a_1, a_2, a_3, on a:

On pourra pour cela écrire que le point c défini par Oc = λOa + (1 − λ)Ob appartient à C quel que soit λ ∈ [0, 1], et utiliser la définition de s.
II.5. On définit les points e^((1)) = (1, 0, 0), e^((2)) = (0, 1, 0), e^((3)) = (0, 0, 1), et on considère ici l'enveloppe convexe C^′ des n + 3 points a^((1)), a^((2)), …, a^((n)), e^((1)), e^((2)), e^((3)). Montrer les deux propositions suivantes
(i) si O ∉ C^′, alors il existe x = ^i(x_1, x_2, x_3) ∈ Σ_3 tel que pour tout j ∈ {1, …, n},

(ii) si O ∈ C^′, alors il existe y = ^t(y_1, …, y_n) ∈ Σ_n tel que pour tout i ∈ {1, 2, 3},

II.6. En utilisant le résultat de la question précédente, montrer qu'on a :

ou (exclusif)

En déduire : max_(x ∈ Σ_m)min_(y ∈ Σ_n)^i xAy = min_(y ∈ Σ_n)max_(x ∈ Σ_m)xAy.

La quantité définie à la question II. 6 est appelée valeur du jeu défini par la matrice A.

On suppose dans cette Partie III que les coefficients de la matrice de jeu A ∈ M_(m, n)(R) sont des variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées. On note F : R → R leur fonction de répartition commune. On définit les évènements suivants:
U : «A possède un point-selle»,
U(i, j) : " (i, j) est un point-selle de A ",
V : «tous les coefficients de A sont distincts».
III.1. On suppose que la fonction F est continue. Montrer : P(U) = P(U ∩ V).
III.2. En utilisant le résultat de la question I.5, montrer : P(U) = m ⋅ n ⋅ P(U(1, 1) ∩ V).
III.3. En déduire : P(U) = (m!n!)/((m + n − 1)!). Comment varie P(U) quand m ou n augmente?
III.4. Soit A ∈ M_(2, 2)(R) dont les coefficients sont tirés selon la même loi de Bernoulli: P(A_(ij) = 0) = q, P(A_(ij) = 1) = 1 − q, où q ∈ ]0, 1[. Calculer la probabilité de l'existence d'un pointselle pour une telle matrice A. Commenter le résultat en le comparant à P(U) calculé à la question précédente.

On considère une suite double (A_(ij)), i ∈ N^∗, j ∈ N^∗, de variables aléatoires réelles. On définit la matrice de jeu A ∈ M_(m, n)(R) dont les coefficients sont les A_(ij) avec 1 ≤ i ≤ m et 1 ≤ j ≤ n. On note V_(mn)(A), ou plus simplement V_(mn), la variable aléatoire égale à la valeur du jeu défini par A (la notion de valeur d'un jeu a été introduite à la question II.6).
IV. 1. Soit ξ un réel quelconque. Montrer les inégalités:

On suppose désormais que les variables aléatoires A_(ij) sont indépendantes et distribuées identiquement à une variable aléatoire X. On suppose que X admet une densité.

On considère deux suites d'entiers notées (m_k)_(k ∈ N^∗) et (n_k)_(k ∈ N^∗) strictement croissantes. On pose V_k(A) = V_(m_k n_k)(A).
IV. 2. On suppose qu'il existe un réel H > 0 tel que E[exp(tX)] soit finie pour tout t ∈ ] − H, H[. On suppose de plus que lim_(k → + ∞)(lnm_k)/n_k = 0 et lim_(k → + ∞)m_k/(lnn_k) = ∞. En majorant
P[|V_(mn)(A)| ≥ ε] à l'aide des inégalités de la question IV.1, et en utilisant les Théorèmes 1 et 2 (cf. Partie V), montrer que pour tout ε > 0, on a : lim_(k → ∞)P[|V_k(A)| ≥ ε] = 0.
IV. 3. On suppose qu'il existe un réel r ≥ 2 tel que E(|X|^r) soit finie. On suppose de plus que m_k = O(n_k^(r − 1)) et n_k = O(m_k^(r − 1)). En majorant comme à la question précédente P[|V_(mn)(A)| ≥ ε] à l'aide des inégalités de la question IV.1, et en utilisant les Théorèmes 3 et 4 (cf. Partie V), montrer que pour tout ε > 0, on a : lim_(k → ∞)P[|V_k(A)| ≥ ε] = 0.

V. 1. Soit X une variable aléatoire réelle. On suppose que X admet une densité f. Montrer l'équivalence des trois propriétés :
(i) Il existe un réel H > 0 tel que E[exp(tX)] soit finie pour tout t ∈ ] − H, H[.
(ii) Il existe un réel a > 0 tel que E[exp(a|X|)] soit finie.
(iii) Il existe des réels b > 0 et c > 0 tels que pour tout réel x > 0, P(|X| ≥ x) ≤ bexp(− cx).

Montrer de plus que si E(X) = 0, alors (i), (ii) et (iii) sont aussi équivalentes à l'assertion :
(iv) Il existe des réels g > 0 et T > 0 tels que E[exp(tX)] ≤ exp(gt^2) pour tout t ∈ [ − T, T].

L'ensemble de ces équivalences constitue le Théorème 1 invoqué dans la Partie IV.
V. 2. On considère n variables aléatoires indépendantes X_1, X_2, …, X_n et on pose S = ∑_(k = 1)^n X_k. On suppose qu'il existe des réels strictement positifs g_1, …, g_n et T tels que pour tout k ∈ {1, …, n} et tout t ∈ [0, T] on a : E[exp(tX_k)] ≤ exp((g_k)/2t^2). On pose G = ∑_(k = 1)^n g_k. Montrer :

Pour cela, on pourra considérer la variable aléatoire positive exp(tS) et majorer P(S ≥ x) à l'aide de E[exp(tS)].

Ce résultat constitue le Théorème 2 invoqué dans la Partie IV.
V. 3. On se propose dans cette question et la suivante d'établir le résultat qui constitue le Théorème 3 invoqué dans la Partie IV :

Soit (X_n), n ∈ N^∗, une suite de variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées. On définit S_n = ∑_(k = 1)^n X_k. On suppose qu'il existe un réel t > 0 tel que P(|X_1| ≥ n) = o(n^(− t − 1)); on suppose de plus que pour tout ε > 0, lim_(n → ∞)P(n^(− 1)|S_n| ≥ ε) = 0. Alors, pour tout ε > 0, on a : P(n^(− 1)|S_n| ≥ ε) = o(n^(− t)).
V. 3. 1. Soit Y une variable aléatoire. On définit une variable aléatoire Y˜, dite 'symétrisée' de Y, en posant Y˜ = Y − Z où Z et Y sont indépendantes et identiquement distribuées. Par ailleurs, on appelle médiane de Y tout réel, noté μ(Y), tel que P(Y ≥ μ(Y)) ≥ 1/2 et P(Y ≤ μ(Y)) ≥ 1/2. Soit ζ un réel strictement positif. En considérant les évènements U = {Y − μ(Y) ≥ ζ}, V = {Z − μ(Z) ≤ 0} et W = {Y˜ ≥ ζ}, et en prenant μ(Y) = μ(Z), montrer :

Montrer aussi que pour tout réel a, on a :

On se place sous les hypothèses du Théorème 3. On définit la suite de variables aléatoires symétrisées (X˜_n) à partir de la suite (X_n) en écrivant X˜_n = X_n − Y_n où X_n et la variable aléatoire Y_n sont identiquement distribuées, et (Y_1, …, Y_n) et (X_1, …, X_n) sont indépendantes. On pose S˜_n = ∑_(k = 1)^n X˜_k. On note μ_n une médiane de la variable aléatoire n^(− 1)S_n.
V. 3. 2. Montrer : P(|X˜_1| ≥ n) = o(n^(− i − 1)).
V. 3. 3. Soit ε un réel strictement positif. Montrer que si P(n^(− 1)|S˜_n| ≥ ε) = o(n^(− t)), alors :

V. 3. 4. Montrer: lim_(n → ∞)μ_n(n^(− 1)S_n) = 0.
V. 3. 5. Achever alors la preuve du Théorème 3.

La question V. 4 est donc destinée à prouver que, pour tout ε > 0, P(n^(− 1)|S˜_n| ≥ ε) = o(n^(− t)).
V. 4. 1. Pour tout n ∈ N^∗ et tout entier k ∈ {1, …, n}, on pose X˜_(nk) = X˜_k si |X˜_k| < n, X˜_(nk) = 0 si |X˜_k| ≥ n. On définit alors S˜_(nn) = ∑_(k = 1)^n X˜_(nk). Soit ε un réel strictement positif. Ecrire une majoration de n^t P(n^(− 1)|S˜_n| ≥ ε) en fonction de n^(t + 1)P(|X˜_1| ≥ n), et n^t P(n^(− 1)|S˜_(nn)| ≥ ε).

Soit h un entier pair, h > 2t + 1. Dans la suite de cette question V.4, on fixe k entiers strictement positifs h_1, h_2, …, h_k tels que h = 2h_1 + 2h_2 + … + 2h_k.
V. 4. 2. Montrer qu'il existe une constante K > 0 telle que, pour tout n ∈ N^∗ :

V. 4. 3. Pour i ∈ {1, …, k}, on pose E_(h_i) = E(|X˜_(n1)|^(2h_i)). En procédant à une intégration par parties, et en utilisant le résultat de la question V.3.2, montrer que E_(h_i) = O(1) si 2h_i < t + 1, E_(h_i) = o(lnn) si 2h_i = t + 1, et E_(h_i) = o(n^(2h_i − t − 1)) si 2h_i > t + 1.
V. 4. 4. Soient α, β, γ les nombres d'entiers h_i, i ∈ {1, …, k}, respectivement plus petits que, égaux à, et plus grands que (t + 1)/2. On pose aussi λ = ∑_(h_i < (t + 1)/2)(2h_i − 1). Montrer que dans l'ïnégalité V.4.2, le membre de droite est o(n^(t − (β + γ)t − λ)(lnn)^β), et que cette quantité est ellemême o(1). Conclure.