Feuille d'entraînement : Diffusion et transferts thermiques

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Physique A PT 2026, Q47

   La lenteur des phases de compression et de détente (qui durent plusieurs minutes d'après le cahier des charges) entraîne deux conséquences directes sur la transformation subie par le gaz :

   • Caractère quasi-statique : La vitesse de déplacement du piston est extrêmement faible devant la vitesse du son dans le gaz. Les ondes de pression s'équilibrent quasi-instantanément, si bien que le gaz passe par une succession continue d'états d'équilibre mécanique interne, avec une pression P(t) uniforme à chaque instant.

   • Caractère isotherme : La cuve est métallique (bon conducteur thermique) et se trouve en contact thermique direct avec l'atmosphère extérieure, qui se comporte comme un thermostat à la température constante T_0 = 20\ ^\circ\mathrm{C}. La durée des phases de compression et de détente (plusieurs minutes) est bien supérieure au temps caractéristique de diffusion thermique à travers la cuve. Les transferts thermiques ont donc le temps d'assurer en permanence l'équilibre thermique avec le milieu extérieur :

     T(t) = T_0 = \text{cte}

   En supposant de surcroît l'absence de frottements mécaniques lors du glissement du piston, l'évolution du gaz est une transformation isotherme et réversible à la température T_0.

   \boxed{\text{Les évolutions du gaz sont isothermes à la température constante } T_0 = 20\ ^\circ\mathrm{C} \text{ (et quasi-statiques).}}

   Par conséquent, pour le gaz parfait contenu dans la cuve, le produit de la pression par son volume vérifie la loi de Boyle-Mariotte : P\,V_{\text{gaz}} = \text{cte}.

   Résultat

   $$\text{Les eˊvolutions du gaz sont isothermes aˋ la tempeˊrature constante }{T}_0=20{}^{\circ }\mathrm{C}\text{ (et quasi-statiques).}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Banque PT Physique B PT 2026, Q28

   Considérons le volume de contrôle fixe délimité par les sections droites aux abscisses x et x + \mathrm{d}x, traversé par un écoulement permanent de dioxygène liquide avec un débit massique D_m.

   Bilan enthalpique élémentaire : En régime permanent et en l'absence de parties mobiles (\mathcal{P}_u = 0) ainsi qu'en négligeant les variations d'énergies cinétique et potentielle, le premier principe en système ouvert s'écrit :

   \mathrm{d}\dot{H} = \delta \Phi

   où \mathrm{d}\dot{H} est le flux d'enthalpie algébriquement reçu par la tranche de fluide, soit :

   \mathrm{d}\dot{H} = D_m \, \mathrm{d}h = D_m \, c_{\text{dio}} \, \mathrm{d}\theta = D_m \, c_{\text{dio}} \, \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x} \, \mathrm{d}x

   Flux thermique traversant la paroi : La résistance thermique d'une géométrie cylindrique (conduction radiale et convection externe) est inversement proportionnelle à la longueur du cylindre :

   R_{th}(L) \propto \frac{1}{L}

   Par conséquent, la résistance thermique élémentaire \mathrm{d}R_{th} associée à un tronçon de longueur \mathrm{d}x est reliée à la résistance équivalente totale R_{th-eq} de la conduite de longueur L par :

   \mathrm{d}R_{th} = R_{th-eq} \, \frac{L}{\mathrm{d}x}

   Le flux thermique élémentaire \delta\Phi entrant de l'extérieur (à la température \theta_e) vers le fluide (à la température \theta(x)) s'exprime alors par :

   \delta\Phi = \frac{\theta_e - \theta(x)}{\mathrm{d}R_{th}} = \frac{\theta_e - \theta(x)}{R_{th-eq} L} \, \mathrm{d}x

   Équation différentielle : En égalant les deux expressions du flux :

   D_m \, c_{\text{dio}} \, \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x} \, \mathrm{d}x = \frac{\theta_e - \theta(x)}{R_{th-eq} L} \, \mathrm{d}x

   Ce qui donne l'équation différentielle vérifiée par \theta(x) :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x} + \frac{\theta(x) - \theta_e}{D_m \, c_{\text{dio}} \, R_{th-eq} \, L} = 0}

   ou, sous forme équivalente :

   D_m \, c_{\text{dio}} \, R_{th-eq} \, L \, \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x} + \theta(x) = \theta_e

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}x}+\frac{\theta (x)-{\theta }_e}{D_m{c}_{\text{dio}}{R}_{th-eq}L}=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Modelisation PC 2026, Q46

   Conformément au principe exposé par l'énoncé, la recherche s'effectue tant que la largeur de l'intervalle de recherche excède la précision p.

   Le code des instructions 5 s'écrit (en respectant la majuscule employée dans l'instruction d'affichage ultérieure) :

   def Dichotomie(f, b, c, p):
       while abs(c - b) > p:
           m = (b + c) / 2
           if f(b) * f(m) > 0:
               b = m
           else:
               c = m
       return (b + c) / 2
   
   # Alias pour concorder strictement avec l'intitule de la question
   dichotomie = Dichotomie

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique-Chimie MP 2026, Q20

   Par analogie formelle avec la résistance électrique (R = \frac{U}{I}), la résistance thermique R_{\mathrm{th}} d'un élément conducteur reliant deux isothermes de températures T_1 et T_2 (T_1 > T_2) est définie par le quotient de la différence de température par le flux thermique (ou puissance thermique) \Phi qui le traverse de la face chaude vers la face froide :

   \boxed{R_{\mathrm{th}} = \frac{T_1 - T_2}{\Phi}}

   où T_1 - T_2 s'exprime en kelvins (\mathrm{K}), \Phi en watts (\mathrm{W}) et R_{\mathrm{th}} en \mathrm{K}\cdot\mathrm{W}^{-1}.

   Considérons un conducteur cylindrique de longueur l, d'axe (Oz), de section constante s perpendiculaire à (Oz), en régime stationnaire et sans source thermique interne. Le transfert s'effectue selon z : le profil de température ne dépend que de z, T(z), avec T(0) = T_1 et T(l) = T_2.

   D'après la loi de Fourier, le vecteur densité de flux thermique est :

   \vec{j} = -\lambda \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}\,\vec{u}_z

   Le flux thermique traversant une section droite s orientée suivant \vec{u}_z s'écrit :

   \Phi = \iint_s \vec{j}\cdot \vec{u}_z\,\mathrm{d}S = -\lambda s \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}

   En régime permanent et sans terme source, la conservation de l'énergie implique que le flux \Phi est indépendant de z. Par intégration entre z = 0 et z = l :

   \begin{aligned} \int_0^l \Phi\,\mathrm{d}z &= -\lambda s \int_{T_1}^{T_2}\mathrm{d}T \\ \Phi\, l &= \lambda s (T_1 - T_2) \end{aligned}

   On obtient ainsi :

   T_1 - T_2 = \frac{l}{\lambda s}\,\Phi

   Par identification avec la relation de définition, on en déduit l'expression de la résistance thermique :

   \boxed{R_{\mathrm{th}} = \frac{l}{\lambda s}}

   Résultat

   $$R_{\mathrm{th}}=\frac{T_1-T_2}{\Phi }$$

   $$R_{\mathrm{th}}=\frac{l}{\lambda s}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Physique-Chimie MP 2026, Q28

   Considérons comme système thermodynamique fermé le milieu contenu à l'instant t dans la coquille sphérique fixe délimitée par les sphères de rayons r et r+\mathrm{d}r.

   1. Volume et masse du système
   L'épaisseur \mathrm{d}r étant infinitésimale, le volume élémentaire de la coquille s'écrit :

   \mathrm{d}V = 4\pi r^2 \mathrm{d}r

   La Terre étant supposée homogène de masse volumique \mu, la masse de cette coquille est :

   \mathrm{d}m = \mu \, \mathrm{d}V = \mu \, 4\pi r^2 \mathrm{d}r

   2. Variation de l'énergie interne
   Le solide étant une phase condensée indilatable et incompressible, la variation d'énergie interne coïncide avec la variation d'enthalpie. Pendant la durée \mathrm{d}t, la température varie de \mathrm{d}T = \frac{\partial T}{\partial t}\mathrm{d}t ; la variation d'énergie interne du système vaut ainsi :

   \mathrm{d}U = \mathrm{d}m \, C \, \mathrm{d}T = \mu C 4\pi r^2 \frac{\partial T}{\partial t} \mathrm{d}t \mathrm{d}r

   3. Premier principe de la thermodynamique
   En l'absence de travail utile et de travail des forces de pression (solide indilatable), le premier principe s'écrit :

   \mathrm{d}U = \delta Q_{\text{cond}} + \delta Q_{\text{source}}

   • Transfert thermique par conduction :
     Le flux thermique traversant vers l'extérieur une sphère de rayon r est :

     \Phi(r) = \iint_{S(r)} \vec{j}(r,t)\cdot \vec{u}_r \, \mathrm{d}S = j(r,t) \times 4\pi r^2

     La chaleur nette reçue par la coquille à travers ses deux surfaces limites en r (entrant) et r+\mathrm{d}r (sortant) pendant la durée \mathrm{d}t est :

     \begin{aligned} \delta Q_{\text{cond}} &= \big[\Phi(r) - \Phi(r+\mathrm{d}r)\big] \mathrm{d}t \\ &= -\mathrm{d}\Phi \, \mathrm{d}t = -\mathrm{d}\!\left(j \, 4\pi r^2\right) \mathrm{d}t \end{aligned}

   • Énergie issue des sources internes :
     Pendant la durée \mathrm{d}t, la radioactivité libère dans le volume \mathrm{d}V l'énergie thermique :

     \delta Q_{\text{source}} = p_v' \, \mathrm{d}V \, \mathrm{d}t = p_v' 4\pi r^2 \mathrm{d}r \mathrm{d}t

   En rassemblant ces contributions dans le bilan énergétique \mathrm{d}U = \delta Q_{\text{cond}} + \delta Q_{\text{source}}, on obtient la relation demandée :

   \boxed{\mu C 4\pi r^2 \frac{\partial T}{\partial t}\mathrm{d}t\mathrm{d}r = -\mathrm{d}\!\left(j 4\pi r^2\right)\mathrm{d}t + p_v' 4\pi r^2 \mathrm{d}r \mathrm{d}t}

   4. Signification physique des trois termes

   • \mu C 4\pi r^2 \frac{\partial T}{\partial t}\mathrm{d}t\mathrm{d}r représente le terme d'accumulation (ou de stockage) : c'est la variation élémentaire de l'énergie interne \mathrm{d}U emmagasinée par la coquille pendant la durée \mathrm{d}t.
   • -\mathrm{d}\!\left(j 4\pi r^2\right)\mathrm{d}t représente le terme d'échange conductif net : c'est l'énergie thermique nette reçue par conduction à travers les parois de la coquille pendant \mathrm{d}t.
   • p_v' 4\pi r^2 \mathrm{d}r \mathrm{d}t représente le terme de création ou de source : c'est l'énergie thermique générée au sein du volume de la coquille par la radioactivité pendant \mathrm{d}t.

   Résultat

   $$\mu C4\pi r^2\frac{\partial T}{\partial t}\mathrm{d}t\mathrm{d}r=-\mathrm{d}\left(j4\pi r^2\right)\mathrm{d}t+p_v^{\prime }4\pi r^2\mathrm{d}r\mathrm{d}t$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique-Chimie MPI 2026, Q15

   1. Définition de la résistance thermique

   Par analogie avec la résistance électrique reliant différence de potentiel et courant électrique (\Delta U = R\,I), la résistance thermique R_{\mathrm{th}} d'un conducteur thermique soumis à une différence de température T_1 - T_2 entre ses deux faces d'accès, et traversé par un flux thermique stationnaire \Phi orienté de la face à T_1 vers celle à T_2, est définie par :

   \boxed{R_{\mathrm{th}} = \frac{T_1 - T_2}{\Phi}}

   Elle s'exprime en \mathrm{K\cdot W^{-1}} (ou ^{\circ}\mathrm{C}\cdot\mathrm{W}^{-1}).

   2. Expression pour un conducteur cylindrique

   Considérons un barreau cylindrique d'axe Oz, de section constante s et de longueur l comprise entre z = 0 (à la température T_1) et z = l (à la température T_2 < T_1).

   D'après la loi de Fourier, le vecteur densité volumique de courant thermique s'écrit :

   \vec{j} = -\lambda\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}\,\vec{u}_z

   Le flux thermique à travers une section droite d'aire s orientée selon \vec{u}_z vaut :

   \Phi = \iint_s \vec{j}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = j\,s = -\lambda\,s\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}

   En régime stationnaire et sans terme source interne, la conservation de l'énergie impose que le flux \Phi soit constant le long de l'axe Oz. L'intégration entre z = 0 et z = l conduit à :

   \int_{T_1}^{T_2} \mathrm{d}T = -\frac{\Phi}{\lambda s}\int_0^l \mathrm{d}z \implies T_1 - T_2 = \frac{l}{\lambda s}\,\Phi

   On en déduit l'expression de la résistance thermique de conduction :

   \boxed{R_{\mathrm{th}} = \frac{l}{\lambda s}}

   Résultat

   $$R_{\mathrm{th}}=\frac{T_1-T_2}{\Phi }$$

   $$R_{\mathrm{th}}=\frac{l}{\lambda s}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CCINP Physique-Chimie MPI 2026, Q23

   Considérons le système fermé constitué par la matière contenue dans la coquille sphérique comprise entre les rayons r et r+\mathrm{d}r, à un instant t donné.

   Le volume de cette coquille est, au premier ordre en \mathrm{d}r :

   \mathrm{d}\tau = 4\pi r^2\,\mathrm{d}r

   Sa masse est donc :

   \mathrm{d}m = \mu\,\mathrm{d}\tau = \mu\,4\pi r^2\,\mathrm{d}r

   Appliquons le premier principe de la thermodynamique à cette coquille (solide indéformable, donc sans travail des forces de pression : W = 0) entre les instants t et t+\mathrm{d}t :

   \mathrm{d}U = \delta Q

   1. Variation d'énergie interne :
   La capacité thermique de la coquille étant C\,\mathrm{d}m, la variation d'énergie interne s'écrit :

   \mathrm{d}U = \mathrm{d}m\,C\,\mathrm{d}T = \mu\,C\,4\pi r^2\,\frac{\partial T}{\partial t}\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}r

   2. Énergie thermique reçue de l'extérieur par conduction :

   • À travers la surface intérieure de rayon r, la normale orientée vers l'extérieur de la coquille est -\vec{u}_r. Le flux thermique entrant dans la coquille est :

     \Phi_{\text{entrant}}(r) = \vec{j}(r,t)\cdot(-\vec{u}_r) \cdot \big(-4\pi r^2\big) = j(r,t)\,4\pi r^2

   • À travers la surface extérieure de rayon r+\mathrm{d}r, la normale orientée vers l'extérieur de la coquille est +\vec{u}_r. Le flux thermique sortant est :

     \Phi_{\text{sortant}}(r+\mathrm{d}r) = j(r+\mathrm{d}r,t)\,4\pi (r+\mathrm{d}r)^2

   Le flux conductif net reçu par la coquille est donc :

   \Phi_{\text{net}} = \Phi_{\text{entrant}}(r) - \Phi_{\text{sortant}}(r+\mathrm{d}r) = -\mathrm{d}\big(j\,4\pi r^2\big)

   D'où l'énergie thermique reçue par conduction pendant la durée \mathrm{d}t :

   \delta Q_{\text{cond}} = \Phi_{\text{net}}\,\mathrm{d}t = -\mathrm{d}\big(j\,4\pi r^2\big)\,\mathrm{d}t

   3. Énergie thermique créée par les sources internes :
   La puissance volumique volumique de source radioactive étant notée p_v', l'énergie thermique dégagée au sein de la coquille pendant \mathrm{d}t s'écrit :

   \delta Q_{\text{source}} = p_v'\,\mathrm{d}\tau\,\mathrm{d}t = p_v'\,4\pi r^2\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}t

   En sommant les contributions aux échanges thermiques \delta Q = \delta Q_{\text{cond}} + \delta Q_{\text{source}}, on obtient bien :

   \boxed{\mu C 4\pi r^2 \frac{\partial T}{\partial t}\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}r = -\mathrm{d}\big(j 4\pi r^2\big)\,\mathrm{d}t + p_v' 4\pi r^2\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}t}

   Signification physique des trois termes :

   • \mu C 4\pi r^2 \frac{\partial T}{\partial t}\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}r : terme de stockage (ou d'accumulation) thermique, représentant la variation d'énergie interne de la coquille de masse \mathrm{d}m pendant la durée \mathrm{d}t.
   • -\mathrm{d}\big(j 4\pi r^2\big)\,\mathrm{d}t : bilan des échanges thermiques conductifs à travers les frontières en r et r+\mathrm{d}r, c'est-à-dire l'excédent de chaleur entrant sur la chaleur sortant pendant \mathrm{d}t.
   • p_v' 4\pi r^2\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}t : terme de création (ou de source volumique) thermique, correspondant à l'énergie calorifique libérée par les désintégrations radioactives au sein de la coquille pendant \mathrm{d}t.

   Résultat

   $$\mu C4\pi r^2\frac{\partial T}{\partial t}\mathrm{d}t\mathrm{d}r=-\mathrm{d}\left(j4\pi r^2\right)\mathrm{d}t+p_v^{\prime }4\pi r^2\mathrm{d}r\mathrm{d}t$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Physique-Chimie PSI 2026, Q1

   La première loi de Fick exprime que le flux de particules s'effectue dans le sens opposé au gradient de concentration :

   \vec{\jmath}(x, t) = - D \, \vec{\nabla} C(x, t) = - D \, \frac{\partial C}{\partial x}(x, t) \, \vec{e}_x

   soit, en projection sur l'axe (Ox) :

   \boxed{j(x, t) = - D \, \frac{\partial C}{\partial x}(x, t)}

   Les unités du Système International (S.I.) pour chaque grandeur sont :

   • C(x, t) : concentration atomique (ou volumique) en \mathrm{m^{-3}} (ou \mathrm{atome \cdot m^{-3}}) ;
   • \vec{\jmath}(x, t) et j(x, t) : vecteur densité de courant de particules (flux surfacique de matière) en \mathrm{m^{-2} \cdot s^{-1}} (ou \mathrm{atome \cdot m^{-2} \cdot s^{-1}}) ;
   • D : coefficient de diffusion (diffusivité) en \mathrm{m^2 \cdot s^{-1}} ;
   • x : abscisse spatiale en \mathrm{m}.

   Résultat

   $$j(x,t)=-D\frac{\partial C}{\partial x}(x,t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CCINP Physique-Chimie PSI 2026, Q2

   On choisit comme système le volume de contrôle mésoscopique (système ouvert) constitué par la tranche fixe de substrat comprise entre les plans d'abscisses x et x + \mathrm{d}x, de section droite S orthogonale à l'axe (Ox), et de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x.

   Le nombre d'atomes de phosphore présents dans ce volume à l'instant t vaut :

   \mathrm{d}N(t) = C(x,t)\,S\,\mathrm{d}x

   Entre les instants t et t + \mathrm{d}t, la variation de cette population s'écrit :

   \mathrm{d}(\mathrm{d}N) = \mathrm{d}N(t + \mathrm{d}t) - \mathrm{d}N(t) = \frac{\partial C}{\partial t}(x,t)\,\mathrm{d}t\,S\,\mathrm{d}x

   Comme il n'y a ni création ni disparition d'atomes au sein du substrat (absence de source ou de réaction chimique), cette variation est uniquement due aux échanges de matière à travers les frontières :

   • en x, le nombre d'atomes entrant selon \vec{e}_x pendant \mathrm{d}t est : \delta N_{\text{ent}} = j(x,t)\,S\,\mathrm{d}t ;
   • en x + \mathrm{d}x, le nombre d'atomes sortant selon \vec{e}_x pendant \mathrm{d}t est : \delta N_{\text{sort}} = j(x + \mathrm{d}x,t)\,S\,\mathrm{d}t.

   Le bilan de conservation de la matière s'écrit alors :

   \begin{aligned} \mathrm{d}(\mathrm{d}N) &= \delta N_{\text{ent}} - \delta N_{\text{sort}} \\ \frac{\partial C}{\partial t}(x,t)\,\mathrm{d}t\,S\,\mathrm{d}x &= \left[j(x,t) - j(x + \mathrm{d}x,t)\right] S\,\mathrm{d}t \\ \frac{\partial C}{\partial t}(x,t)\,\mathrm{d}t\,S\,\mathrm{d}x &= - \frac{\partial j}{\partial x}(x,t)\,\mathrm{d}x\,S\,\mathrm{d}t \end{aligned}

   En simplifiant par le facteur non nul S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t, on obtient l'équation locale de conservation de la matière à une dimension :

   \boxed{\frac{\partial C}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0}

   Résultat

   $$\frac{\partial C}{\partial t}+\frac{\partial j}{\partial x}=0$$

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10. Exercice 10CCINP Physique-Chimie TSI 2026, Q8

    Les trois modes de transfert thermique sont :

    1. La conduction thermique (ou diffusion thermique) : transfert d'énergie thermique de proche en proche au sein de la matière sous l'effet de l'agitation microscopique (chocs intermoléculaires, vibrations du réseau cristallin, électrons libres), sans déplacement macroscopique de matière. Il régit les transferts au sein des solides et des fluides immobiles.
    2. La convection : transfert d'énergie thermique au sein d'un fluide en écoulement, s'effectuant avec déplacement macroscopique de matière. On distingue la convection naturelle (induite par les gradients de masse volumique d'origine thermique) et la convection forcée (mise en mouvement par un dispositif mécanique externe tel qu'un ventilateur ou une pompe).
    3. Le rayonnement thermique : transfert d'énergie thermique par émission et absorption d'ondes électromagnétiques (ou photons) par tout corps à température non nulle. C'est le seul mode de transfert pouvant s'effectuer dans le vide, sans support matériel, à l'image du rayonnement solaire atteignant la Terre.

    Indice, stratégie et pièges de cette question